精品解析：福建省泉州实验中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

泉州实验中学2027届高二上学期9月月考数学试卷 考试日期：2025.9.30 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 2. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 4. 已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 5. 已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A. 18 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 6. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 7. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 8. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐一分析即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以A与B不可能为互斥事件，故A错误； 对于B，因为， 所以若，则A与B相互独立，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则与B相互独立， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可判断A；根据余弦定理，可得，进而证得平面，即可判断B；据题设，可得是等腰三角形，进而求得，从而判定C；根据空间向量的共面定理推论可判定D. 【详解】选项A，在平行六面体中， ，正确； 选项B，设， 因为， ， 又，与AB，AD所成的角均为， 所以，又O为BD中点，则， 又，，，平面， 所以平面，由于平面，故， 由于，则，所以四边形为矩形，正确； 选项C，因为四边形ABCD为菱形，，所以， 所以，即是等腰三角形， 又， 所以， 所以，即，错误； 选项D，若，由于， 所以M，B，D，四点共面，故点M在平面内，正确． 故选：ABD 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，，，，； 对于A，，，， ，，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面，A正确； 对于B，，，， 即直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 平面，平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为，C正确； 对于D，，设，则， ，又， ， 到直线的距离， 当时，， 即点到直线距离的最小值为，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从3个球中任取2个，共有3种取法． 颜色全相同的情况只有1种． 所以颜色不相同的概率为． 故答案为：. 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 16. 如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 （1）若点分别为和的中点，求间的距离. （2）（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，通过平方即可求解； （2）由异面直线夹角的向量法求解即可. 【小问1详解】 所以 所以 即间的距离为 【小问2详解】 由（1）知，，， 又， 所以 =×=， 又|， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. 17. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 18. 如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）． （1）若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明； （2）将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值； （3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）3； （3）在线段上存在点在靠近的三等分点处，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用底面菱形画轴，证明线面垂直； （2）利用向量法求点到平面距离； （3）假设存在点，由二面角的余弦值列方程，确定点位置. 【小问1详解】 连接，，所以是等边三角形， 取中点，则，因为，所以， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以，又， 且平面，所以平面. 【小问2详解】 点与平面内任意一点的连线中，长度最小值是点到平面的距离. 由（1）所建坐标系可得：. 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 所以点到平面的距离， 即这些线段长度的最小值是3. 【小问3详解】 设存在点满足条件，设，则 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则由图可知为锐角， 所以，解得或（舍） 所以在线段上存在点在靠近的三等分点处，使得二面角的余弦值为. 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“”的概率； （2）求事件“为偶数”的概率； （3）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）分、均为奇数，、均为偶数两种情况，根据古典概型的概率公式求解； （3）先求证是二面角的平面角，再在、中利用正弦定理得出，进而得出，再分类得出满足条件的样本点个数，最后利用古典概型的概率公式即可. 【小问1详解】 由于、是从8个数字中选取两个不同的数字， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个， 又因为满足的基本事件有 ，，，，，，，，，，，， 共12个样本点， 根据古典概率知识得：； 【小问2详解】 用表示“、均为奇数”的事件， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可知事件包含12个样本点， 用表示“、均为偶数”的事件，同上可知，事件也包含12个样本点， 又从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 根据古典概率知识得：， 记“为偶数”为事件，则， 故； 【小问3详解】 如图，取边的中点，连结， 因为、均是边长为的正三角形， 所以， 因，平面，因此平面， 因平面，则，从而是二面角的平面角， 又，则， 在中利用正弦定理得，则， 同理在中利用正弦定理得，， 当二面角的平面角大于时，，则， 则， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在， 从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2027届高二上学期9月月考数学试卷 考试日期：2025.9.30 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 2. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 4. 已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A. 18 B. C. D. 6 6. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 10. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为___________. 13. 袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是______． 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 16. 如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 （1）若点分别为和的中点，求间的距离. （2）（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 18. 如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）． （1）若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明； （2）将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值； （3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“”的概率； （2）求事件“为偶数”的概率； （3）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $