精品解析：山东省泰安市新泰市新泰中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

新泰中学2024级高二上学期第一次大单元测试 数学试题 2025.09 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上， 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内向量 2. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 3. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 6. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A B. C. D. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 13. 已知直线的倾斜角是，则直线的斜率是______． 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2024级高二上学期第一次大单元测试 数学试题 2025.09 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上， 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 2. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断直线的方向向量和平面的法向量的位置关系，从而判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 所以∥或 故选：C. 3. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 4. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得 【详解】由于向量，，所以. 故 故选：D 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 6. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 7. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解. 【详解】∵，，∴， ∵，∴． ∵，∴ ． ∴． 故选：A． 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 则 故选：A 【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共面向量基本定理可设，求解即可. 【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），， 即，解得，，所以. 故答案为：. 13. 已知直线的倾斜角是，则直线的斜率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义直接求解. 【详解】由直线的倾斜角是，得直线的斜率. 故答案为： 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】过和分别作，， ，， ， ， ， 则，即， ， ， ， ， 二面角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【小问1详解】 因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 【小问2详解】 因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过向量垂直的坐标表示即可求证； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 在三棱柱中，平面，，且为棱的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 则 ，， 所以 ， ， 则 ， 所以 ，即 ； 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则 ， 易知平面的一个法向量为 ， 设平面与平面的夹角为 ， 所以 ； 【小问3详解】 易知， 所以点到平面的距离为：. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 小问1详解】 建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，，所以点坐标为. 那么，，. 设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得 所以. 已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【小问1详解】 取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角余弦值为． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $