圆的方程专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 考点目录 圆的定义与方程 以圆为背景的位置关系问题 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的切线 切线长定理 以圆为背景的最值问题 考点一 圆的定义与方程 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的值可以为（    ） A．29 B．25 C．16 D．41 【答案】C 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得， 检验四个选项，只有C选项满足. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【答案】 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 【答案】 【详解】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为. 又圆经过坐标原点，即，整理得. 当半径最小时，，则圆心为. 故圆的方程为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是 . 【答案】 【详解】因为圆的圆心为,半径为1， 设关于直线的对称点为, 所以，解得, 圆关于直线对称的圆的半径是1， 所以圆的方程为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，圆的方程为，圆过，， ，，解得，， 圆的方程为. （2）设，则，， ， ，， ， ，为定值得证. 11．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）所求圆的标准方程为：， 即. （2）所求圆的直径式方程为：， 即. （3）设所求圆的方程为. 由题意得：，解得. 所以所求圆的一般方程为. 12．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【答案】(1); (2). 【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即； （2）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由可得外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 考点二 以圆为背景的位置关系问题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 7．（24-25高二下·河南开封·期末·多选）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 10．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 11．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 考点三 以圆为背景的弦长问题 1．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖南娄底·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【详解】 根据题意和圆的性质知点为的中点， 连接交于，则， 在中，， ∴， ∴， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选： 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为圆的半径为2，所以， 故选：B 5．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 6．（24-25高二上·福建莆田·开学考试·多选）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 【答案】BD 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，半径，A选项错误，B选项正确； 所以圆心到直线的距离，C选项错误； 弦的长，D选项正确； 故选：BD． 7．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】：和圆：的圆心和半径分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即， 故答案为： 9．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 11．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 【答案】 【详解】由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 12．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 13．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 14．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程． (2)过点作直线与圆相切，且直线与交于A，B两点． ①求的取值范围； ②求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意可知，解得， 故的方程为． （2） ①依题意可知直线的斜率存在且不为0，可设， 由直线与圆相切，得，整理得． 将代入，可得， 整理得， 则，即． 因，将代入并整理得， 解得，故的取值范围为． ②设，则， 于是 ， 将代入得： ． 15．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题可知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为， 联立，得， 设，， 则且， 解得，，， ， 解得，所以l的方程为． （ⅱ）证明：直线，令，得， 同理可得，故，． 记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为， 所以 由（1）知，，， 所以 ， 所以，为定值． 考点四 以圆为背景的切线 1．（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 2．（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 5．（24-25高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知点关于轴的对称点， 又圆，即，则圆心，半径， 故， 根据对称性可知，光线经过的路程即为， 故选：C. 6．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【详解】如图： 圆的圆心坐标为，且A、B在以PC为直径的圆上， 由圆的直径式方程，得以为直径的圆的方程. （直径式方程应用直径对应圆周角为直角，利用向量垂直坐标表示得到）， 所求直线方程为. 故答案为： 8．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若直线与圆相切，则 . 【答案】9 【详解】圆，即的圆心，半径， 依题意，，解得. 故答案为：9 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【答案】 【详解】设，如下图， 因为为圆的切线， 所以，所以， 所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为， 因为，所以， 所以经过四点的圆的方程为， 显然与的相交弦为， 所以所在直线的方程为， 即为， 故答案为：. 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． （2）∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 12．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为 （2）由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 考点五 切线长定理 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 2．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·广西钦州·期末·多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接，    则，则， 当时， 取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：BC 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习·多选）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 【答案】ABC 【详解】     根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 5．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点， ，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即， 又线段的垂直平分线为，，圆的半径， 圆的方程为：. （2） ，，， ，， 四边形的面积. 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 9．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆. (1)若线段端点的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)坐标为，面积最小值为2 【详解】（1）设，中点，则，得， 代入圆中，化简得圆. （2）设，由圆的几何性质可知， 所以当时，最小，的面积取最小值. 又因为， 所以直线的方程为.则， 即点的坐标为.此时的面积最小值为. 10．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； （2）因为是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此与全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为.    11．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 12．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 考点六 以圆为背景的最值问题 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（   ） A．若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B．直线与圆交于点A、B，若，则 C．点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D．过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 【答案】BCD 【详解】对A：因为圆O上恰有3个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离为2， 则或，故A错误； 对B：因为直线与圆交于点A、B，且，所以圆心到直线的距离为：. 由.故B正确； 对C：如图： 设，则（*）. 以为直径的圆的方程为：. 与圆相减得：.即为两圆公共弦所在的直线方程. 将（*）代入可得：. 由，即直线过定点. 所以点M到直线AB的距离的最大值为线段的长度（此时）， 因为，故C正确； 对D：如图： 设直线的参数方程为：（为参数），将其代入圆的方程得： ， 化简得：. 设对应的参数分别为：，，则. 因为，所以. 所以. 又，故D正确. 故选：BCD 3．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 4．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 5．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. （2）即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 7．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 【答案】(1)相离 (2)最大值为，最小值为 (3)或 【详解】（1）圆可化为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离； （2）由(1)可知圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为； （3） 设圆的半径为， 两圆相切，且， 当圆与圆外切时，，当圆与圆内切时，， 圆心为， 圆的方程为或. 8．（24-25高二上·四川·期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线l：，即， 所以直线l恒过点． （2）圆C的圆心为． 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为． （3）由于点D在圆内部， 所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．． ，，即的最小值为. 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）若选①：方法一：设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即； 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即， 所以圆的圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选②：因为，所以是直角三角形， 所以的外接圆圆心为斜边的中点， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选③：因为，所以圆心为边的中点，为圆的直径， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； （2）依题意：， 圆心到直线：的距离为， 又因为，所以，即， 所以的最小值为3. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 考点目录 圆的定义与方程 以圆为背景的位置关系问题 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的切线 切线长定理 以圆为背景的最值问题 考点一 圆的定义与方程 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的值可以为（    ） A．29 B．25 C．16 D．41 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 6．（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是 . 9．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 11．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 12．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 考点二 以圆为背景的位置关系问题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南开封·期末·多选）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 10．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 11．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 考点三 以圆为背景的弦长问题 1．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南娄底·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 5．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（24-25高二上·福建莆田·开学考试·多选）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 7．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 8．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 9．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 11．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 12．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 13．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 14．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程． (2)过点作直线与圆相切，且直线与交于A，B两点． ①求的取值范围； ②求（用含的式子表示）． 15．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 考点四 以圆为背景的切线 1．（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 8．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若直线与圆相切，则 . 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 12．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求直线的方程. 考点五 切线长定理 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 2．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·广西钦州·期末·多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习·多选）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 5．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 9．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆. (1)若线段端点的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标. 10．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 11．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 12．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 考点六 以圆为背景的最值问题 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（   ） A．若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B．直线与圆交于点A、B，若，则 C．点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D．过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 3．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 4．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 5．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 7．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 8．（24-25高二上·四川·期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $