函数的单调性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的单调性讲义 函数的概念与性质：函数的单调性讲义 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性 已知单调性求参数问题 抽象函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 【知识点解析】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递增函数，称为的单调递增区间. 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递减函数，称为的单调递减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 2.单调性的证明方法 （1）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （2）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （3）导数法（这个方法高二才学习，高一暂不使用） （4）作商法 （5）换元法 ※一个函数的增区间或减区间可能有多个，但不能用并集将他们连接起来. 比如初中我们常见的反比例函数，若，则函数在上单调递减，在上单调递减. 但此时我们不能说这个函数在上单调递减，这是错的. 【例题分析】 考向一 由图像判断函数单调性 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数且． (1)求实数值并作出函数的图象； (2)由图指出的增区间． 【答案】(1)，图象见解析； (2)，. 【详解】（1）由函数，且，得， 所以，函数， 函数的图象如图所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为，． 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为. (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【详解】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 考向二 由作差法证明函数单调性 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2). 【详解】（1）任取、且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 6．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，且， ， ，，，， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 考点二 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 【知识点解析】 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减. 则，为和中更小的那一个. ②若函数在上单调递减，在上单调递增. 则，为和中更大的那一个. 【例题分析】 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 设，且， 则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. （2）由（1）得，，，即时，的值域， ∵在上为减函数，∴时，值域， ∵，使得，∴， ∴，解得，故实数a的取值范围为. 5．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性的应用----解不等式 (1) 若在上单调递增，且，则. (2) 若在上单调递减，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 【例题分析】 考向一 利用单调性比大小 1．（24-25高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B 4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 考向二 利用单调性解不等式 1．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 当时，代表同号， 所以等式的解集是. 故选：B. 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 5．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增；证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数，且，， 所以，解得，所以； （2）函数在上单调递增，理由如下： ，且， ， 因为，，所以，， 所以，所以，所以， 所以在上的单调递增； （3）由（1）可得，解得，解得或， 所以， 又因为，由，可得， 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为. 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）任取，且， 则 ∵，∴， 则，即， ∴在上是增函数． （2）由题可知，解得. 故不等式的解集为. 8．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．即复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 2.常见初等函数的单调性 函数 单调性 一次函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 二次函数 ①若，则函数在上单调递增，上单调递减. ②若，则函数在上单调递减，上单调递增. 反比例函数 ①若，则函数在上单调递增，在上单调递增. ②若，则函数在上单调递减，在上单调递减. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 6．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】（开闭区间均可） 【详解】由得，又在上递减，在上是增函数， 所以的减区间是， 故答案为：（写成开区间也正确）． 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数，且， 外层函数在上为减函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 考点五 单调性的应用：分段函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 【例题分析】 1．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 4．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 6．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题知，，解得：. 故答案为：. 8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 考点六 单调性的应用：二次函数的单调性 【知识点解析】 1. 对于一元二次函数，且 （、 为已知数） （1）若，则函数在单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值； （2）若，则函数在单调递减，在处取得最大值，在处取得最小值； （3）若，则函数在单调递减，在单调递增，在处取得最小值. 若在处取得最大值，若在处取得最大值. 2.对于含参的二次函数，最重要的是明确其开口与对称轴，进而得到函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， 不等式，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为在区间上单调递增， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，所以. （2）因为图象为抛物线，开口向上且对称轴为，在上不单调， 所以， 即实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)设函数在，上的最小值为，求函数的表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于函数在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围是. （2）当时，； 当时，. 当时，. 所以. 5．（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知函数， (1)若时，求的解集； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， ，即，即， 解得，所以不等式的解集为； （2）的对称轴是， 又在上单调递减， ，解得，即的取值范围为； （3）因为的对称轴为， 当，即时，， 当，即时， . 6．（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若函数区间不是单调函数，求实数的取值范围； (3)若不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3). 【详解】（1）因为不等式的解集为, 所以和是方程的两个根， 所以，解得. （2）因为函数在区间上不是单调函数, 所以,解得. （3）不等式的解集为R, 即的解集为R, 当时，原不等式恒成立，满足题意; 当时，由题意得，解得, 综上所述：. 考点七 已知单调性求参数问题 【知识点解析】 1．根据函数的性质处理参数问题。如一次函数决定函数单调性，二次函数开口与对称轴决定函数的单调性. 2．根据单调性的定义处理参数问题，作差变形再根据定义处理. 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知，函数定义域为. (1)求的值（用含a的式子表示）； (2)函数在单调递增，求a的取值范围； (3)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由函数可得，； （2）任意，且， 则 因为函数在单调递增，所以. 因为，所以，， 所以， 即时，恒成立. 因为，所以， 所以，且当时，. 所以要使恒成立，则. 即实数a的取值范围为. （3）由（1）可知，， 所以不等式可化为. 由函数定义域为，则； 故当时，无意义，故不等式的解集为； 当时，由（2）知，在单调递增， 所以不等式， 由，则，， 则不等式， 故不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 2．（24-25高一上·重庆·期中）函数是定义在上的增函数． (1)求的最大值； (2)解不等式：． 【答案】(1) 【详解】（1），则 . 因为， 所以，，. 又因为在上单调递增， 所以，，， 所以，， . 因为，， 所以，， 所以，， 即的最大值为. （2）易知， 则由可得出. 因为在上单调递增，所以. 由可得，. 当时，有，解得，所以； 当时，有，解得或，所以. 综上所述，或. 同理，解，可得或. 所以，由可得，或. 所以，不等式的解集为. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设， 则. ∵，∴，， ∴，即， ∴在内单调递增. （2）设，则 . ∵，， ∴， ∴要使，只需恒成立， 若，则当时，， 当时，， ∴. 综上所述，a的取值范围为. 考点八 抽象函数的单调性 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (4)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 2．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 4．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上是减函数，证明见解析； (3)． 【详解】（1）在中， 令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下： 任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）由题意， 由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立， 所以．所以的范围是， 课后提升训练 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下， 可知该函数的单调递减区间是. 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意，当时，都有成立， 得函数在上单调递增，而函数， 则，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，根据反比例函数性质知在区间上单调递增，故A错误； 对B，在上单调递减，故B正确； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，，其在上单调递增，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 5．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，在上单调递减； 当时，， 要使得函数是上的减函数， 需满足，解得， 则的取值范围是， 故选：A 6．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试·多选）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·辽宁大连·期中·多选）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 【答案】或 【详解】，对称轴为，开口向下， 当时，即，此时函数在单调递增，故时，函数取最小值， ，当时，函数取最大值，解得， 当时，即，此时函数在单调递减，故时，函数取最大值， ，当时，函数取最小值，解得， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，故时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，当时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上可知：或 故答案为：或 10．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 11．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 13．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 14．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)， 【详解】（1）函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则)==， 因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上是减函数. （2）因为函数在区间上是减函数， 所以，. 15．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数满足、，；，. (1)求的值； (2)证明是上的增函数； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：令，得到，解得. （2）解：、，，则，所以，， 则 ，即， 所以是上的增函数. （3）解：因为是上的增函数，且，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 16．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2)设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【详解】（1）任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递减， 同理，任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递增； （2）①， 当时，，故，， 当时，，由（1）知，在上单调递减， 在上单调递增， 故在，即处取得最小值，最小值为； ②时，，， 对任意实数恒成立， 等价于对任意的， 只需在上，满足， 即， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增， 故，， 故，解得或（舍去）， 由于，故此时解集为， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故，的最大值为或， 若，即，则最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，即，最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，则在上单调递减， 故，， ，解得， 由于，故此时解集为， 综上，实数的取值范围时. 18．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）答案见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． （2）（i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念与性质：函数的单调性讲义 函数的概念与性质：函数的单调性讲义 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性 已知单调性求参数问题 抽象函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 【知识点解析】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递增函数，称为的单调递增区间. 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递减函数，称为的单调递减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 2.单调性的证明方法 （1）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （2）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （3）导数法（这个方法高二才学习，高一暂不使用） （4）作商法 （5）换元法 ※一个函数的增区间或减区间可能有多个，但不能用并集将他们连接起来. 比如初中我们常见的反比例函数，若，则函数在上单调递减，在上单调递减. 但此时我们不能说这个函数在上单调递减，这是错的. 【例题分析】 考向一 由图像判断函数单调性 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数且． (1)求实数值并作出函数的图象； (2)由图指出的增区间． 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为. (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 考向二 由作差法证明函数单调性 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 6．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 考点二 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 【知识点解析】 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减. 则，为和中更小的那一个. ②若函数在上单调递减，在上单调递增. 则，为和中更大的那一个. 【例题分析】 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性的应用----解不等式 (1) 若在上单调递增，且，则. (2) 若在上单调递减，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 【例题分析】 考向一 利用单调性比大小 1．（24-25高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 考向二 利用单调性解不等式 1．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增； (2)求关于的不等式的解集. 8．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．即复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 2.常见初等函数的单调性 函数 单调性 一次函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 二次函数 ①若，则函数在上单调递增，上单调递减. ②若，则函数在上单调递减，上单调递增. 反比例函数 ①若，则函数在上单调递增，在上单调递增. ②若，则函数在上单调递减，在上单调递减. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 6．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间是 ． 考点五 单调性的应用：分段函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 【例题分析】 1．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 7．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 考点六 单调性的应用：二次函数的单调性 【知识点解析】 1. 对于一元二次函数，且 （、 为已知数） （1）若，则函数在单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值； （2）若，则函数在单调递减，在处取得最大值，在处取得最小值； （3）若，则函数在单调递减，在单调递增，在处取得最小值. 若在处取得最大值，若在处取得最大值. 2.对于含参的二次函数，最重要的是明确其开口与对称轴，进而得到函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 4．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)设函数在，上的最小值为，求函数的表达式. 5．（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知函数， (1)若时，求的解集； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 6．（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若函数区间不是单调函数，求实数的取值范围； (3)若不等式的解集为R，求实数的取值范围． 考点七 已知单调性求参数问题 【知识点解析】 1．根据函数的性质处理参数问题。如一次函数决定函数单调性，二次函数开口与对称轴决定函数的单调性. 2．根据单调性的定义处理参数问题，作差变形再根据定义处理. 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知，函数定义域为. (1)求的值（用含a的式子表示）； (2)函数在单调递增，求a的取值范围； (3)当时，解关于x的不等式． 2．（24-25高一上·重庆·期中）函数是定义在上的增函数． (1)求的最大值； (2)解不等式：． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 考点八 抽象函数的单调性 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (4)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 4．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 课后提升训练 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试·多选）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 8．（24-25高一上·辽宁大连·期中·多选）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 9．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 10．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 13．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 14．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 15．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数满足、，；，. (1)求的值； (2)证明是上的增函数； (3)若，求的取值范围. 16．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2)设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 18．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $