精品解析：广西来宾市金秋实验学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

来宾市金秋实验学校2025年秋季学期9月月考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点在空间直角坐标系中的（ ） A. 轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 第一象限内 2. 在空间直角坐标系中，向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（　　） A. 1 B. C. D. 2 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. A､C均有可能 5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 倾斜角为45°的直线l经过两点（m，2）和（2m+2，3m），则m的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ） A. (，3，) B. (200，，100) C. (，，) D. (，3，0) 11. 在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）. A. 点关于平面对称的点是 B. 点关于轴对称的点是 C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则线段AB的长为___________． 13. 已知点，则直线的倾斜角为________________ 14. 已知空间向量满足，，则与的夹角为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 16. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 17. 如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： （1）； （2）； （3）. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. （1）求证： （2）求的长； 19. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾市金秋实验学校2025年秋季学期9月月考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点在空间直角坐标系中的（ ） A. 轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 第一象限内 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标平面和坐标轴上点的坐标特点即可判断. 【详解】因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3. 已知，且，则（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量基本定理求解. 【详解】解：因为，所以， 解得，， 所以. 故选：D 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. A､C均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，判断两个向量共线或垂直即可. 【详解】已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 所以 所以 所以l∥α或l⊂α 故选：D 【点睛】本题主要考查空间向量法判断直线与平面的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 推导出,从而得到，即可求出 【详解】由题意得：∵的坐标为， ∴, ∴ ∴． 故选：A 【点睛】求直线的方向向量的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标． 6. 已知，，，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断ABD选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于BD选项，，则，B对D错； 对于C选项，，则与不共线，C错. 故选：B. 7. 倾斜角为45°的直线l经过两点（m，2）和（2m+2，3m），则m的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线斜率定义和两点斜率公式得到，解方程即可. 【详解】根据， 解得：. 故选C 【点睛】本题主要考查直线斜率的定义和两点求斜率公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 8. 在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可. 【详解】A：，因此本选项正确； B：，因此本选项正确； C：，因此本选项不正确； D：，因此本选项不正确， 故选：AB 10. 若(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ） A. (，3，) B. (200，，100) C. (，，) D. (，3，0) 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解. 【详解】因为，，,, 所以与，，均共线，与不共线， 所以，，可以作为平面α的法向量 故选：ABC. 11. 在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）. A. 点关于平面对称的点是 B. 点关于轴对称的点是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得. 【详解】点关于平面对称的点是，故A正确. 点关于轴对称的点是，故B不正确. ，，， ，，故C、D均正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则线段AB的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中两点间距离公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为点，， 根据空间中两点间距离公式，可得. 故答案为：. 13. 已知点，则直线的倾斜角为________________ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 14. 已知空间向量满足，，则与的夹角为_________． 【答案】##60° 【解析】 【分析】根据题设知可构成三角形，利用余弦定理求与的夹角. 【详解】由，即首尾相连可构成三角形， 所以， 又，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【解析】 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 16. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 , 则； 【小问3详解】 ，则 17. 如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【小问1详解】 ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 ∵是的中点， ∴； 【小问3详解】 ∵是的中点， ∴. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. （1）求证： （2）求的长； 【答案】（1）证明如下： 因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，可得， 所以的长为. 19. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $