精品解析：安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪个函数在定义域上是偶函数，且在上单调递增（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 函数在上有且只有一个零点，则（ ） A. 1 B. - C. D. - 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若为奇函数，，则（ ） A. 函数图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 是函数一个周期 D. 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征，其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度为θ ℃，满足公式θ=θ0+（θ1-θ0）e-0.25t.现将一壶水温为90 ℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为55 ℃时口感最佳，若空气的温度为20 ℃，则从沏茶开始，大约经过____分钟饮用口感最佳.（参考数据:ln 3≈1.099，ln 2≈0.693.结果要四舍五入，精确到整数） 13. 已知，且，则的最小值为____. 14. 已知函数，若是真命题，则实数的取值范围是____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，; （2）请从①，②，③中选一个并填入横线处进行解答. 已知集合，若满足　　　　，求实数m的取值范围.  注:若选多个作答，则按第一个解答计分. 16. （1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 17. 已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. （1）若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; （2）若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若在上恒成立，求a的取值范围; （2）当时，证明: 19 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且. （ⅰ）求的极值点的个数. （ⅱ）证明：当，且时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次解不等式和对数型复合函数定义域求出集合，再由交集定义即可得解. 【详解】由得，所以， 由得，所以，所以. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，；BC选项，利用不等式的性质可得；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，因为，所以，A错误； BC选项，因为，所以，， 所以，，BC错误； D选项，，故，D正确 故选：D 3. 下列哪个函数在定义域上是偶函数，且在上单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，以及函数的单调性的定义和判断方法，结合指数函数、对数函数，以及三角函数的性质，逐项判断，即可求解. 详解】对于A，由，即， 所以为奇函数，所以A不符合题意； 对于B，由，可得， 则且，所以为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，其定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， 任取，且，则 ， 因为且，可得， 所以，即，所以在上为单调递增函数，所以C符合题意； 对于D，由函数，可得其定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， 当时，， 令，任取，且， 则， 因为且，可得， 所以，即，所以在为单调递减函数， 又因为在上为单调递减函数， 所以函数在上单调递减函数， 即函数在上为单调递减函数，所以D不符合题意. 故选：C. 4. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出参数，再由不等式的性质求范围. 【详解】设， 所以，解得，所以， 所以，所以的取值范围为. 故选：B 5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 6. 若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 7. 已知正数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式、对数的运算公式与换底公式即可求得. 【详解】因为正数a，b满足，所以（*）， 当且仅当时，即，时等号成立. 由（*）可得. 又， 当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为1. 故选：D. 8. 函数在上有且只有一个零点，则（ ） A. 1 B. - C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的零点只有一个列式，再构造函数，根据导函数得出函数单调性得出最小值即可计算求出参数范围，再构造，结合导函数单调性及零点个数计算求参. 【详解】函数在上有且只有一个零点等价于方程在上有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根. 令，则， 函数单调递增，当时，，当时，， 所以存在，使得，则=， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 由，解得， 所以， 令，其中， 则==. 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递减，且，所以， 所以，解得. 故选：A. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指对数及三角函数的性质比较大小即可. 【详解】由， 所以. 故选：ABC 10. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若为奇函数，，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 是函数的一个周期 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及中心对称的性质即可判断选项A；结合选项A有，再两边求导，结合轴对称的性质即可判断选项B；根据选项B中轴对称及题意中的中心对称即可推导出的一个周期，进而即可判断选项C；先用赋值法求出，再结合的对称性及周期性即可得到，从而即可求出，进而即可判断选项D． 【详解】对于选项A，因为函数为奇函数， 则，即， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于选项B，由选项A有，则， 又，则，所以的图象关于直线对称，故B错误； 对于选项C，由，即，则， 又结合选项B有，则，即， 则，所以是函数的一个周期，故C正确； 对于选项D，由，令，则，得， 又结合选项B有，结合选项C有，即，， 所以，故D错误． 故选：AC． 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由所给条件两边同除以，变形可得，构造函数，利用函数单调性可得判断B，代入可判断A，得出，利用函数单调性可得出判断C，由的单调性及即可求出的范围判断D. 【详解】因为， 所以，即，所以. 设，则， 所以函数在上单调递增，所以，即，即，故B正确； 因为，所以，故A错误； 因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故C错误； 因为，所以，易知函数在上单调递减， 所以，所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征，其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度为θ ℃，满足公式θ=θ0+（θ1-θ0）e-0.25t.现将一壶水温为90 ℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为55 ℃时口感最佳，若空气的温度为20 ℃，则从沏茶开始，大约经过____分钟饮用口感最佳.（参考数据:ln 3≈1.099，ln 2≈0.693.结果要四舍五入，精确到整数） 【答案】3 【解析】 【分析】根据公式，代入数据得，变形、化简，即可得出答案. 【详解】由题意得，所以，整理得， 即，解得. 故答案为：3. 13. 已知，且，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意有，令，利用基本不等式得，利用的单调性即可求解. 【详解】由题意有：，令， 因为，所以， 所以，易知函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若是真命题，则实数的取值范围是____. 【答案】. 【解析】 【分析】先化简得到，且在上单调递增，根据题意，即 ，为真命题，令，结合二次函数性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，所以 又由为单调递增函数，可得在上单调递增， 因为是真命题， 即是真命题， 即为是真命题， 又因为函数为单调递增函数，所以， 即为真命题， 令， 当时，即时，可得， 令，解得； 当时，即时，可得， 令，解得，因为，所以不等式的解集为空集， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，; （2）请从①，②，③中选一个并填入横线处进行解答. 已知集合，若满足　　　　，求实数m的取值范围.  注:若选多个作答，则按第一个解答计分. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而利用交并补的意义求解即可； （2）选①②③均可得，利用子集的意义分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由，得，所以， 所以，解得，所以， 由，得或， 所以或， 所以，或， 或. 【小问2详解】 若选①. 因为，所以， 当，即时，，符合题意; 当时，或，所以或. 综上所述，实数m的取值范围为. 若选②. 因为，所以， 当，即时，，符合题意; 当时，或，所以或. 综上所述，实数m的取值范围为. 若选③. 因为，所以， 当，即时，，符合题意; 当时，或，所以或. 综上所述，实数m的取值范围为. 16. （1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由结合已知条件可求出最大值； （2）已知条件可变形为，故对可配凑为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1），且， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为16. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7. 17. 已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. （1）若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; （2）若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得对任意，存在，使得成立，解得，进而可得，即可求得答案. （2）根据x的范围，先求得的值域，进而可得是在区间上值域的子集，根据二次函数图像与性质，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 因为函数为区间上的“243阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 所以对任意，存在，使得，即， 所以， 所以，解得b=2，即实数b值为2. 【小问2详解】 当时，， 所以， 因为是的“2阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 因为，所以， 所以是在区间上值域的子集. 当时，， 令， 当时，在上单调递增， ， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，在上单调递减， ， 所以，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）若在上恒成立，求a的取值范围; （2）当时，证明:. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由恒成立得出的大致范围，然后求出函数的单调性，先增后减有最大值，最大值小于0即可； （2）将不等式进行变形，得到证明，利用凹凸翻转构造函数，得到两个函数各自的最值，即，即证. 【小问1详解】 因为，则； ，由，得；由，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时，等价于，等价于 令，，则， 由，得，由，得； 所以在在上单调递增，在上单调递减，所以 令，，则， 易知函数在上单调递增，，； 故存在，使得，即， 且由，得，由，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 所以，即，证毕. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且. （ⅰ）求的极值点的个数. （ⅱ）证明：当，且时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，对分类讨论，分析导函数的正负取值范围即可得解； （2）（ⅰ）求出函数的导数，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，由此得出的符号，可得的单调性，据此判断极值点个数； （ⅱ）结合（ⅰ）中的单调性，可得，再构造，由导数得出函数单调性，利用单调性得出，再由函数的单调性可得，即证. 【小问1详解】 ， 当时，由，解得，由，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，或，由，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， ，令，， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，故的极值点的个数为0; （ⅱ）由（ⅰ）知，在上单调递减，且， 又，所以， 令，， 则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在上单调递减，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $