6.3.3余角和补角讲义2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

6.3.3余角和补角 学习目标 1. 理解余角、补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角或补角； 2. 掌握余角和补角的性质，并能运用性质解决简单问题； 3. 能运用方程思想解决与余角、补角有关的计算问题； 4. 区分余角和补角，熟练进行相关角度的计算。 知识点讲解 一、余角的定义 如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称“互余”。 · 数学表达：若，则与互为余角。 · 注意：“互为余角”是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“余角”。 二、补角的定义 如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称“互补”。 · 数学表达：若，则与互为补角。 · 注意：与余角类似，“互为补角”也是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“补角”。 三、余角和补角的性质 1. 同角（或等角）的余角相等 · 若，，则； · 若，，，则。 2. 同角（或等角）的补角相等 · 若，，则； · 若，，，则。 例题解析 例1：直接计算余角和补角 已知，求的余角和补角的度数。 解： 的余角的度数为的补角的度数为 答：的余角是，补角是。 例2：余角性质的应用 已知与互为余角，与互为余角，求证：。 证明： 因为与互为余角 所以 所以 因为与互为余角 所以 所以 所以 例3：方程思想解决余角与补角的关系 一个角的补角比它的余角的 3 倍大，求这个角的度数。 解： 设这个角的度数为 则它的余角的度数为，补角的度数为 根据题意，得 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 答：这个角的度数是。 例4：综合应用余角与补角的定义 已知的余角是的补角的，且，求的度数。 解： 因为 所以的余角的度数为 设的度数为 则的补角的度数为 根据题意，得 两边同时乘 3，得 移项，得 计算，得 答：的度数是。 巩固练习 选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个角的余角一定是锐角 B. 一个角的补角一定是钝角 C. 若，则是余角，是余角 D. 若，则，，互为补角 2. 已知，则的余角和补角的度数分别是（ ） A.，.，.，.， 3. 若与互为补角，与互为补角，则与的关系是（ ） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 无法确定 4. 一个角的余角比它本身小，则这个角的度数是（ ） A.... 5. 若的补角是它的余角的 4 倍，则的度数为（ ） A.... 填空题 1. 若，则的余角的度数是______，补角的度数是______。 2. 已知的补角是，则的余角的度数是______。 3. 若，且的补角是，则的度数是______。 4. 一个角的补角是它的 4 倍，则这个角的度数是______。 5. 若的余角等于它本身，则的度数是______。 解答题 1. 已知与互为余角，，求的度数。 2. 求证：等角的余角相等。（写出已知、求证、证明过程） 3. 一个角的补角与它的余角的度数之比是 5:2，求这个角的度数。 4. 已知和互为补角，且比大，求和的度数。 巩固练习答案 选择题 1. A 解析：A. 余角和为，故余角一定小于，是锐角，正确； B.的补角是（锐角），错误； C. 应说“与互为余角”，错误； D. 补角是两个角的关系，错误。 2. A 解析：余角为，补角为，故选 A。 3. C 解析：同角的补角相等，，，故，选 C。 4. B 解析：设这个角为，则 ，解得 ，选 B。 5. C 解析：设，则 ，解得 ，选 C。 填空题 1. ； 解析：余角：；补角：。 2. 解析：，余角为。 3. 解析：，。 4. 解析：设这个角为，则 ，解得 。 5. 解析：设，则 ，解得 。 解答题 1. 解： 因为与互为余角 所以 因为 所以 答：的度数是。 2. 已知：，，。 求证：。 证明： 因为 所以 因为 所以 因为 所以 3. 解： 设这个角的度数为 则它的余角为，补角为 根据题意，得 交叉相乘，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 答：这个角的度数是。 4. 解： 设的度数为，则的度数为 因为和互为补角 所以 即 合并同类项，得 移项，得 系数化为 1，得 所以 答：的度数是，的度数是。 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.3余角和补角 学习目标 1. 理解余角、补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角或补角； 2. 掌握余角和补角的性质，并能运用性质解决简单问题； 3. 能运用方程思想解决与余角、补角有关的计算问题； 4. 区分余角和补角，熟练进行相关角度的计算。 知识点讲解 一、余角的定义 如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称“互余”。 · 数学表达：若，则与互为余角。 · 注意：“互为余角”是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“余角”。 二、补角的定义 如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称“互补”。 · 数学表达：若，则与互为补角。 · 注意：与余角类似，“互为补角”也是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“补角”。 三、余角和补角的性质 1. 同角（或等角）的余角相等 · 若，，则； · 若，，，则。 2. 同角（或等角）的补角相等 · 若，，则； · 若，，，则。 例题解析 例1：直接计算余角和补角 已知，求的余角和补角的度数。 例2：余角性质的应用 已知与互为余角，与互为余角，求证：。 例3：方程思想解决余角与补角的关系 一个角的补角比它的余角的 3 倍大，求这个角的度数。 例4：综合应用余角与补角的定义 已知的余角是的补角的，且，求的度数。 。 巩固练习 选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个角的余角一定是锐角 B. 一个角的补角一定是钝角 C. 若，则是余角，是余角 D. 若，则，，互为补角 2. 已知，则的余角和补角的度数分别是（ ） A.，.，.，.， 3. 若与互为补角，与互为补角，则与的关系是（ ） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 无法确定 4. 一个角的余角比它本身小，则这个角的度数是（ ） A.... 5. 若的补角是它的余角的 4 倍，则的度数为（ ） A.... 填空题 1. 若，则的余角的度数是______，补角的度数是______。 2. 已知的补角是，则的余角的度数是______。 3. 若，且的补角是，则的度数是______。 4. 一个角的补角是它的 4 倍，则这个角的度数是______。 5. 若的余角等于它本身，则的度数是______。 解答题 1. 已知与互为余角，，求的度数。 2. 求证：等角的余角相等。（写出已知、求证、证明过程） 3. 一个角的补角与它的余角的度数之比是 5:2，求这个角的度数。 4. 已知和互为补角，且比大，求和的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $