第8讲：二次函数一元二次方程与不等式重点题型强化【7个重点题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第8讲：二次函数一元二次方程与不等式重点题型强化】 【知识梳理】 一、核心知识关联梳理 二次函数、一元二次方程与不等式三者紧密相连，二次函数是核心载体，一元二次方程是其函数值为0的特殊情况，一元二次不等式则是函数值与0比较的结果，具体关联如下： 1.基础表达式对应 设二次函数为（），对应的一元二次方程为，一元二次不等式分为两类： 当时，不等式对应函数值大于0的区间，对应函数值小于0的区间； 当时，不等式方向与函数值区间对应关系相反，可通过两边同乘-1转化为的情况求解（注意不等号方向改变）。 2.关键要素互通 判别式：既是一元二次方程根的存在性判断依据，也是二次函数图像与x轴交点个数的决定因素，同时直接影响一元二次不等式解集的形式： 若：方程有两个不等实根（），函数图像与x轴交于两点、，不等式（）的解集为，（）的解集为； 若：方程有两个相等实根，函数图像与x轴相切于，不等式（）的解集为，（）的解集为； 若：方程无实根，函数图像与x轴无交点，不等式（）的解集为，（）的解集为。 根与系数关系（韦达定理）：若方程有实根，则，，可用于求解与根相关的不等式问题（如根的分布、含根的代数式取值范围等）。 二、教材例题与高考真题高频考点提炼 1.考点一：一元二次不等式的求解 教材例题特征：多直接给出具体二次不等式（如），考查通过因式分解或求根公式求根，结合二次项系数符号确定解集的步骤。 高考真题延伸：常与参数结合，需讨论参数对判别式、根的大小的影响，例如： 真题示例：解关于x的不等式（）； 解题关键：先对a分类（a=0时为一次不等式，a≠0时为二次不等式），a≠0时因式分解为，再讨论与1的大小关系（分、、、四类），确定解集。 2.考点二：二次函数与一元二次方程根的分布 教材例题特征：多考查“已知函数图像与x轴交点情况，求参数范围”，例如已知与x轴有两个交点，求m的取值范围（利用求解）。 高考真题延伸：侧重“根的限定分布”（如根在某区间内、两根一正一负、两根都大于某个数等），需结合判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组，例如： 真题示例：若方程的两根均在区间内，求m的取值范围； 解题关键：设，需满足：①（保证有实根）；②对称轴（保证根的中点在区间内）；③（左端点函数值正，避免根小于1）；④（右端点函数值正，避免根大于3），联立解得。 3.考点三：三个“二次”与恒成立问题 教材例题特征：基础恒成立问题，如“当x∈R时，恒成立，证明”。 高考真题延伸：常结合具体区间的恒成立，需分情况讨论或转化为函数最值，例如： 真题示例：若对任意，恒成立，求a的取值范围； 解题关键：方法一（分类讨论）：①对称轴（即）时，在[1,2]递增，最小值，得；②对称轴（即）时，最小值，得，无解；③对称轴（即）时，在[1,2]递减，最小值，得，无解；综上。方法二（分离参数）：由得，，因在[1,2]递增，最小值为2，故。 三、常考结论总结 1.不等式解集与二次项系数符号的关系：若一元二次不等式的解集为（），则必有；若解集为，则必有（可快速判断二次项系数符号）。 2.二次函数最值与不等式的联系：对二次函数（），恒成立等价于；恒成立等价于（时最值性质相反）。 3.根的分布常用结论： 方程（）有一正一负根等价于（无需考虑判别式，因乘积为负时恒成立）； 方程有两个正根等价于；有两个负根等价于。 4.含参数二次不等式的“定号”结论：若对任意x∈R恒成立，则；若对任意x∈R恒成立，则（注意：若题干未说明是二次不等式，需先讨论a=0的情况，避免漏解）。 5.韦达定理与不等式结合的结论：若方程有实根，则 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：含参一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·阶段练习）已知函数． (1)当时，若“”为真命题，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，即可求解； （2）由题意得，根据的情况，比较和的大小，由一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 当时，满足题意， 当时，由，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）当时， 所以， 当时，， 所以原不等式的解集为：； 当时，，原不等式解为：， 所以原不等式的解集为：； 当时，，原不等式解为：或， 所以原不等式的解集为：； 当时，原不等式化为：， 所以原不等式的解集为：； 当时，，原不等式解为：或， 所以原不等式的解集为：； 综上所述，当时，所以原不等式的解集为：； 当时，所以原不等式的解集为：； 当时，所以原不等式的解集为：； 当时，所以原不等式的解集为：； 当时，所以原不等式的解集为：. 【例题2】（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6 【分析】（1）由得，根据与1的大小分类讨论即可求解； （2）由已知得，利用韦达定理得，进而得，令，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）， 当，即时， ，      当，即时，无解， 当，即时， ， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若该不等式的解集为或，求实数的值； (2)解该不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）根据2是方程的根可得，即可代入不等式求解， （2）对分类讨论，即可结合一元二次不等式的性质求解. 【详解】（1）由题意知，2是方程的一个根， 所以，解得， 所以，解得或，所以； （2）若，解得，所以该不等式的解集为； 若，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为或； 若时，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为． 【相似题2】（25-26高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B．{或} C． D．{或} 【答案】C 【分析】根据题设条件确定参数范围和参数之间的数量关系，将其代入所求不等式计算即得. 【详解】由的解集为，可得， 且方程的解为，则，即， 故，即，又， 即得，解得， 即关于x的不等式的解集为. 故选：C. 【解题策略】 一、核心解题步骤（共5步） 步骤1：判断不等式“类型”——先讨论“二次项系数是否为0” 含参不等式中，二次项系数（记为）是否为0，直接决定不等式是“一次不等式”还是“二次不等式”，需优先讨论： 若：不等式退化为一元一次不等式，直接求解（注意一次项系数是否为0，避免出现“0x＞b”的矛盾/恒成立情况）； 若：不等式为一元二次不等式，进入后续步骤。 步骤2：分析二次函数“开口方向”——确定的正负 二次项系数的正负决定二次函数的开口方向，直接影响最终解集的“区间方向”（如“两根之外”或“两根之间”），需明确： 若：开口向上； 若：开口向下（可先将不等式两边同乘，转化为的情况，注意不等号方向反转）。 步骤3：判断方程“根的存在性”——计算判别式 判别式决定一元二次方程是否有实根，进而决定不等式解集的“结构”（如“全体实数”“空集”“区间”），分三类讨论： 若：方程无实根，结合开口方向判断： 时，解集为，解集为； 时，解集为，解集为； 若：方程有两个相等实根，结合开口方向判断： 时，解集为，解集为； 时，解集为，解集为； 若：方程有两个不等实根，进入步骤4。 步骤4：比较“根的大小关系”——用参数表示根并分类 设方程的两个实根为（可通过求根公式或因式分解得出，如，），需讨论参数对与大小的影响： 若根的表达式中不含参数（如时，，）：直接确定； 若根的表达式含参数（如，）：需解不等式（或），根据参数范围确定与的大小（注意参数的正负对不等式解的影响，如时，解需变号）。 步骤5：结合“开口方向+根的大小”——确定最终解集 根据二次函数开口方向（的正负）和根的大小（或），按“开口向上取‘两根之外’，开口向下取‘两根之间’”的原则写解集： 若且： 的解集为； 的解集为； 若且（或转化为后）： 的解集为； 的解集为。 二、实例演示：解不等式（） 第一步：讨论二次项系数与否 当时，不等式变为，解得； 当时，不等式为二次不等式，因式分解为。 第二步：分析开口方向（的正负） 若：开口向上，后续按“开口向上”规则分析； 若：开口向下，可先将不等式变为（乘变号），即（开口向上）。 第三步：计算判别式 ，恒有实根，根为，。 第四步：比较根的大小（与） 当时：解，得；解，得；当时，（等根）； 当时：，故（恒成立）。 第五步：确定解集 ：（开口向上），解集为； ：解集为； ：（开口向上，），解集为； ：不等式变为，解集为； ：（开口向上，），解集为。 三、解题注意事项 1.分类讨论“不重不漏”：优先按“二次项系数是否为0”分层，再按“Δ符号”“根的大小”细分，避免遗漏、等特殊情况； 2.参数范围“明确边界”：比较根的大小时，需注意参数的正负（如时，解无需变号，因本身为负）； 3.转化思想“简化计算”：当时，可通过乘转化为的情况，减少开口方向的讨论量； 4.结果“合并同类情况”：若不同参数范围对应相同解集，可合并表述（如本例中无同类情况，无需合并）。 【题型二：一元二次不等式整数解问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 【例题2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数. 【详解】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 【相似题2】（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 【解题策略】 一、基础型：已知不等式求整数解（3步） 1.解不等式定区间：按“二次项系数→判别式→根”得解集（如、）； 2.按开闭列整数：根据区间端点（如不含端点，含端点），筛选整数； 3.验证（可选）：代入原不等式确认。 实例1：求整数解 解集，整数为1,2,3，验证符合，结果。 二、进阶型：已知整数解求参数范围（4步） 1.定区间形式： （一次不等式）：判断是否符合题意； ：按正负定“中间型（时）”或“两端型（时）”解集。 2.锁整数边界： 中间型（如整数解）：，； 两端型（如整数解）：限制区间仅含这些整数（如确保含-2不含-3）。 3.转参数不等式：用根与参数关系（韦达、求根公式）列不等式组。 4.求解+验证边界：解组后验证参数边界（防整数解个数变化）。 实例2：已知（）整数解仅-1,0，求 解集中间型，需、，结合列： ，解得，验证符合。 三、核心注意 1.区间开闭决定是否含端点整数； 2.参数边界必验证（防整数解增减）； 3.正负定解集类型（上开下闭）； 4.空集：解集无整数时需说明。 【题型三：“三个二次之间的关系”】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 【答案】AB 【分析】根据一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系一一判定选项即可. 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 故选：AB 【例题2】【多选题】（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】【多选题】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式的解集性质可知，且和是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解. 【详解】对于A，由关于的不等式的解集为可得，故A正确； 对于B，易知和是方程的两个不等实根，所以，又，所以，即B正确； 对于C，令，显然，所以不满足， 将代入可得，即，所以C错误； 对于D，由AB分析可知，即，又， 所以不等式可化为，也即，解得， 因此不等式的解集为，即D错误； 故选：AB 【相似题2】【多选题】（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】CD 【分析】根据集合子集的个数列出方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集， 所以方程只有一解，所以，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A错误. B，，当且仅当时等号成立，故B错误. C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，所以，故D正确， 故选：CD 【解题策略】 一、基础关联：明确“三个二次”的表达式与对应关系（步骤1） 先统一“三个二次”的基础形式，锁定变量与参数，建立初始关联： 1.设核心载体——二次函数：（，决定开口方向：向上，向下）； 2.对应特殊情况——一元二次方程：当时，即（方程的根=函数图像与x轴交点的横坐标）； 3.对应范围问题——一元二次不等式：当（或）时，即（或）（不等式的解集=函数图像在x轴上方/下方的x取值范围）。 示例：若二次函数为，则对应方程为，对应不等式为（或）。 二、核心互通：分析关键要素的“三向影响”（步骤2） 通过“判别式”“根与系数关系”“函数单调性”三个关键要素，打通三个二次的内在联系，分情况讨论： 1.判别式：定“根的存在性+图像交点+解集结构” 符号 一元二次方程 二次函数 一元二次不等式（时） 有两个不等实根 与x轴交于、 ：；： 有两个相等实根 与x轴相切于 ：；： 无实根 与x轴无交点 ：；： 2.根与系数关系（韦达定理）：关联“方程根”与“函数系数” 若方程有实根，则，，可用于： 由根的性质（如正根、负根、根的和/积范围）求函数系数的参数范围； 验证函数与方程的对应性（如已知根，反求函数表达式）。 3.函数单调性：辅助“区间内不等式解集”判断 二次函数的对称轴为，对称轴将定义域分为两个单调区间： ：对称轴左侧递减，右侧递增； ：单调性相反； 可结合单调性判断“区间内函数值的正负”，进而缩小不等式解集范围（如求上的解集，需先看对称轴与区间的位置关系）。 三、实际应用：分题型用“三个二次”关系解题（步骤3） 根据常见题型，将关联逻辑转化为具体解题动作： 题型1：求解一元二次不等式 1.定函数：写出对应二次函数，判断的正负（时，不等式两边乘-1变号，转化为）； 2.解方程：计算，求方程的根（无实根则直接定解集）； 3.定解集：根据的正负和根的大小，结合函数图像（上方/下方）写不等式解集。 实例：解不等式 步骤1：转化为（），对应函数； 步骤2：，方程根，； 步骤3：，对应图像下方，解集为。 题型2：已知方程根的分布，求参数范围 1.定函数：设，明确的正负（影响图像开口方向）； 2.列条件：根据“根的分布要求”（如根在内、两根一正一负等），结合以下要素列不等式组： ：保证有实根（若要求“有根”则）； 对称轴：根的中点位置（如两根都大于，则对称轴）； 区间端点函数值：、的正负（如根在内，时且）； 3.解组：求解不等式组，得参数范围。 实例：若方程的两根均在内，求的范围 步骤1：函数（）； 步骤2：列条件：； 步骤3：解得。 题型3：二次不等式恒成立问题 1.定类型：判断是“全体实数恒成立”还是“区间内恒成立”； 2.用函数最值： 全体实数恒成立（）：恒成立；恒成立且； 区间内恒成立：恒成立（时，最小值在对称轴或区间端点取）； 3.解参数：通过最值条件列不等式，求参数范围。 四、核心总结 1.桥梁：二次函数图像是连接方程（根）与不等式（解集）的关键，画图可直观辅助分析； 2.关键：先定的正负（开口），再用定根的情况，最后结合函数值正负/单调性定范围； 3.易错：参数问题需分（一次函数）和（二次函数）讨论，避免漏解 【题型四：一元二次不等式恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，讨论是否为分别计算得出，再结合充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为， 当时，恒成立符合题意； 当时，，可得； 所以； “”是“”的充分不必要的条件； 所以“”是“”的充分不必要的条件. 故选：A. 【例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知命题“”是真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意分和讨论，即可求解. 【详解】当时，原不等式转化为，不符合题意， 当时，不符合题意； 当时，，解得. 综上，a的取值范围为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到为真命题，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为“”为假命题，可得为真命题， 即对于任意恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以取得最小值，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 【解题策略】 一、类型1：对全体实数恒成立（3步） 步骤1：判断“是否为二次不等式”——先讨论二次项系数 恒成立问题需先排除“非二次”情况（时退化为一次/常数不等式），避免漏解： 若：不等式变为（或），判断是否对全体恒成立： 若：不等式为常数（如），仅当时恒成立，时不成立； 若：一次不等式无法对全体恒成立（如时，时不等式不成立）； 若：为一元二次不等式，进入下一步。 步骤2：分析二次函数“开口方向”与“判别式” 设二次函数，恒成立条件由“开口方向”和“图像与x轴交点”共同决定（即的正负与的符号）： 恒成立不等式 核心条件（） 原理（结合函数图像） 对恒成立 开口向上，图像无x轴交点（全在x轴上方） 对恒成立 开口向下，图像无x轴交点（全在x轴下方） 对恒成立 开口向上，图像与x轴相切或无交点（不低于x轴） 对恒成立 开口向下，图像与x轴相切或无交点（不高于x轴） 步骤3：求解参数范围（若含参） 若不等式含参数（如、、为参数），根据步骤2的条件列不等式（组），解出参数范围。 实例1：若对全体恒成立，求的范围 步骤1：讨论：不等式变为，对不恒成立（如时不成立）； 步骤2：，需满足； 步骤3：解：（因，舍去），故。 二、类型2：对指定区间恒成立（4步） 步骤1：定二次函数与开口方向 设（，先判断或，确定函数开口方向）。 步骤2：找二次函数的“对称轴”——判断单调性区间 对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系，确定在上的单调性（即最值点位置）： 开口方向 对称轴与区间的位置关系 在上的单调性 最值点 （开口向上） 单调递增 最小值，最大值 先减后增 最小值，最大值 单调递减 最小值，最大值 （开口向下） 单调递减 最大值，最小值 先增后减 最大值，最小值 单调递增 最大值，最小值 步骤3：将“恒成立”转化为“最值满足条件” 根据不等式方向，结合最值点列条件： 若在恒成立：需（最小值都大于0，全体值必大于0）； 若在恒成立：需（最大值都小于0，全体值必小于0）； 若或：对应将“>”“<”改为“≥”“≤”即可。 步骤4：求解参数范围（若含参） 根据步骤3的最值条件列不等式（组），解出参数范围（注意验证区间端点的等号情况）。 实例2：若在恒成立，求的范围 步骤1：，（开口向上）； 步骤2：对称轴，分三类讨论位置： ①（即）：在递增，最小值； ②（即）：先减后增，最小值； ③（即）：在递减，最小值； 步骤3：恒成立需： ①时，，结合得； ②时，，结合得； ③时，，无交集； 步骤4：综上，。 三、核心易错点与总结 1.必讨论：全体实数恒成立时，可能是有效解（如恒成立），不可直接按二次不等式求解； 2.区间内恒成立“找对最值点”：开口向上优先看最小值，开口向下优先看最大值，对称轴位置是判断最值点的关键； 3.参数边界验证：如实例2中时，，仍满足，需保留等号； 4.口诀辅助记忆：全体恒成立“开口定方向，判别定交点”；区间恒成立“对称轴定单调，最值定条件”。 【题型五：一元二次不等式有解问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【答案】 ． 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 故答案为：（1），（2） 【例题2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 【相似题2】（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 【解题策略】 一、核心前提：明确“有解”与“恒成立”的差异 问题类型 核心逻辑（以，为例） 有解 存在x使（函数图像至少有一部分在x轴上方） 恒成立 所有x使（函数图像全在x轴上方） 二、类型1：对全体实数有解（3步） 步骤1：判断“是否为二次不等式”——先讨论二次项系数 先排除“非二次”情况（时退化为一次/常数不等式），避免漏解： 若：不等式变为（或、、），判断是否存在x满足： 若：一次不等式必有解（如，时，时）； 若：不等式为常数（如），时有解（全体），时无解； 若：为一元二次不等式，进入下一步。 步骤2：结合“开口方向”与“判别式”定有解条件 设二次函数，有解条件由“开口方向”和“图像与x轴交点”（）决定，具体如下表： 恒成立不等式 核心条件（） 原理（结合函数图像） 对有解 ①：（开口向上，图像与x轴相交/相切，存在x使）；②：（开口向下，图像与x轴相交，存在x使） 避免“全下”或“全上”的极端情况 对有解 ①：（开口向上，图像与x轴相交，存在x使）；②：（开口向下，图像与x轴相交/相切，存在x使） 同上，反向判断 对有解 ①：恒有解（开口向上，x→±∞时）；②： 开口向上时必存在x使 对有解 ①：；②：恒有解（开口向下，x→±∞时） 开口向下时必存在x使 步骤3：求解参数范围（若含参） 根据步骤2的有解条件列不等式（组），解出参数范围（注意排除“无解”的参数区间）。 实例1：若对全体有解，求的范围 步骤1：讨论：不等式变为，解为，有解，故符合； 步骤2：，分两类： ①：需，结合得； ②：需（因时，故恒成立），故符合； 步骤3：综上，（注意：若题目限定“二次不等式”，则排除，范围为）。 三、类型2：对指定区间有解（4步） 步骤1：定二次函数与开口方向 设（），先判断（开口向上）或（开口向下），确定函数图像趋势。 步骤2：找对称轴——判断区间内单调性 对称轴，根据与区间的位置关系，确定在上的单调性，进而找到“可能使不等式成立的最值点”（与恒成立不同，有解只需最值满足“存在性”）。 步骤3：将“有解”转化为“最值满足条件” 核心逻辑：存在x∈[m,n]使不等式成立，等价于“函数在区间上的极端值（最大值/最小值）满足不等式”，具体如下： 不等式方向 开口方向 有解条件（核心：极端值满足） 原理 在有解 （开口向上） （区间最大值>0，必有x使） 开口向上，最大值在区间端点 在有解 （开口向下） （区间最大值>0，顶点或端点） 开口向下，最大值在顶点或端点 在有解 （开口向上） （区间最小值<0，顶点或端点） 开口向上，最小值在顶点或端点 在有解 （开口向下） （区间最小值<0，端点） 开口向下，最小值在区间端点 步骤4：求解参数范围（若含参） 根据步骤3的最值条件列不等式（组），解出参数范围（验证边界值是否满足“有解”）。 实例2：若在有解，求的范围 步骤1：，（开口向上）； 步骤2：对称轴，无需细分单调性，直接找最小值（因有解需）； 步骤3：开口向上，在的最小值为（若，则最小值为）： 有解条件为“最小值<0”，等价于“或”（无需考虑，因端点若小于0，必满足有解；若端点大于0，再看顶点）： ； ； （若且，则需，即，但此时与（）矛盾，故只需考虑端点）； 步骤4：综上，（验证：，在内，有解）。 四、核心易错点与总结 1.必讨论：全体实数有解时，可能是有效解（如实例1中时不等式有解），不可直接按二次不等式求解； 2.区分“有解”与“恒成立”的最值方向： 有解：看最大值，看最小值； 恒成立：看最小值，看最大值； 3.区间有解“无需全分类单调性”：若端点已满足不等式（如实例2中），可直接判定有解，无需细分对称轴位置； 4.口诀辅助记忆：全体有解“开口定趋势，判别定交点”；区间有解“开口定最值，极端定存在”。 【题型六：一元二次不等式与基本不等式结合】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）若，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式，其中. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法求解. （2）按分类讨论求解含参的一元二次不等式. 【详解】（1）由，得，当且仅当时取等号， 则，解得，因此， 又，当且仅当时取等号， 则，而，解得， 所以的取值范围分别为. （2）当时，解不等式，得； 当时，，解方程，得， 因此不等式的解为或； 当时，，不等式恒成立，解集为； 当时，，不等式，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【例题2】（21-22高二上·河南·期中）已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得： 故选：C. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 【相似题2】（25-26高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用基本不等式把用的不等关系表示，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】因为，，所以，，又因为， 等号当且仅当，即时取等号，所以， 由可得，整理得， 解得，等号当且仅当，时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 【解题策略】 一、核心前提：明确基本不等式的使用条件 基本不等式（以均值不等式为例）：对正数，有（当且仅当时取等号），使用需满足“一正（）、二定（和/积为定值）、三相等（等号可取得）”，这是与一元二次不等式衔接的关键（一元二次不等式常用来验证“一正”和“三相等”的可行性）。 二、类型1：以一元二次不等式为条件，用基本不等式求最值（4步） 步骤1：解一元二次不等式，确定变量范围 先通过解一元二次不等式（含变量），得到的取值区间（如），明确变量的正负性（判断是否满足基本不等式“一正”）和边界值（后续验证“三相等”是否在范围内）。 步骤2：分析目标式，构造基本不等式的“和/积结构” 将待求最值的目标式（如、等）整理为基本不等式可应用的形式： 若目标式是“和”（如，）：需保证“积为定值”（，满足“二定”）； 若目标式是“积”（如）：需结合已知条件（如），转化为“和为定值”，再用。 步骤3：应用基本不等式，初步求最值 根据目标式结构套用基本不等式，得到最值的“理论值”，同时记录等号成立的条件（如时）。 步骤4：结合一元二次不等式的范围，验证最值可行性 关键验证两点：①等号成立的条件是否在步骤1求得的变量区间内；②变量的正负性是否满足基本不等式“一正”。若满足，则“理论值”为实际最值；若不满足，需结合函数单调性求最值。 实例1：已知，求的最小值 1.解不等式定范围：解，得，即（，满足“一正”）； 2.构造基本不等式结构：目标式，（积为定值，满足“二定”）； 3.应用基本不等式：由，得，等号成立条件为即（舍去）； 4.验证可行性：在内，故最小值为。 三、类型2：以基本不等式为桥梁，解一元二次不等式求参数（4步） 步骤1：分析已知条件，用基本不等式建立变量关系 根据题干中“正数变量”“和/积定值”等条件（如且），应用基本不等式将“变量关系”转化为“关于某一变量（或参数）的不等式”（如）。 步骤2：将基本不等式的结果转化为一元二次不等式 若题干含参数（如中的），需将步骤1得到的“变量不等式”代入题干条件，消去变量，得到仅含参数的一元二次不等式（如由，结合，得，再整理为关于的二次不等式）。 步骤3：解一元二次不等式，初步确定参数范围 按“含参一元二次不等式解题步骤”（先定二次项系数、再判判别式、最后定解集），解步骤2得到的不等式，得到参数的初步范围。 步骤4：验证基本不等式等号成立条件，缩小参数范围 基本不等式的“等号成立条件”（如）是变量关系的“临界情况”，需验证该条件下参数是否满足题干要求（如是否使一元二次不等式恒成立），若不满足，需剔除对应参数区间。 实例2：已知，且，若对任意满足条件的恒成立，求的范围 1.用基本不等式建关系：由，得（均值不等式）。设，则，代入得，整理为； 2.解不等式定变量范围：解，得（舍去，因）。又由得，结合，得； 3.转化为参数的二次不等式：恒成立（），等价于（分离参数）。对，用基本不等式得，等号成立条件为（，满足）； 4.验证定参数范围：的最小值为，故（验证时，恒成立，符合）。 四、核心易错点与总结 1.基本不等式“三条件”必验证：尤其“等号成立条件”是否在一元二次不等式的变量范围内（如实例1中在内，实例2中），否则最值无效； 2.变量正负性优先判断：若一元二次不等式的变量范围含负数，需先分段（如时，令，再用基本不等式）； 3.参数问题“分离参数”优先：如实例2中分离为，避免直接解含参二次不等式的复杂讨论； 4.逻辑链口诀：条件型（不等式定范围→基本不等式求最值）；桥梁型（基本不等式建关系→二次不等式解参数）。 【题型七：一元二次不等式的实际问题】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【例题2】（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 【相似题2】（23-24高一上·江苏南通·期中）如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） (1)试确定道路修建方案，使得； (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）延长、相交于点，利用可推出为的中点，可得出，设，，由可得出，可推出，求出的取值范围，并求出、的表达式，由可求得结果； （2）求出，可得出“效能比”的表达式，结合二次函数的基本性质可求得“效能比”的最大值. 【详解】（1）延长、相交于点， 因为，，，所以，， 所以，，则为的中点，所以，， 由区域Ⅲ是以为底的梯形，可得， 于是，则， 设，，所以，，故， 由图可知，，所以，， 所以，，， 因为，则，即，所以，， 所以，当道路米时，. （2）因为， 广场效能比为， 设，则二次函数的图象开口向上， 当时，函数取得最小值，即， 所以，， 所以，此规划下该广场效能比的最大值为． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、多选题 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列叙述中正确的是（    ） A．已知关于x的不等式的解集为，则 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 3．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，关于的不等式恰有3个整数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·新疆·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为9 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ． 7．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 8．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 9．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 10．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 11．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，， (1)若.求实数的取值集合； (2)若关于的不等式的解集是集合B，求关于的不等式的解集． 12．（25-26高一上·河南·开学考试）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 13．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． (3)，解关于的不等式． 14．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）对于函数，已知，当时，， (1)若存在正实数、，使不等式有解，求实数的取值范围； (2)求的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B ACD AB AB ABD 1．B 【分析】将原不等式常变量分离，通过换元法，结合一元二次方程根的判别式法进行求解即可. 【详解】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 2．ACD 【分析】根据一元二次不等式的求解以及其性质可判断A和C选项，根据分式不等式的解法可判断B选项，利用绝对值不等式的解法可判断D选项. 【详解】选项A：若不等式的解集为，说明二次函数开口向上，故，故A正确； 选项B：不等式等价于且，解得，而选项B包含（分母为0，无意义），故B错误； 选项C：解不等式，令，得或； 因二次项系数，二次函数开口向上， 故解集为两根之间的区间，故C正确； 选项D：不等式等价于或， 解得或，解集为，D正确. 故选：ACD. 3．AB 【分析】根据不等式的解集可得，是方程的根，且，可判断A；再利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式即可判断；再根据的关系判断D. 【详解】关于的不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故选项A正确； 则，解得， 所以，即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为，故选项D错误. 故选：AB. 4．AB 【分析】因式分解求的解集，再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再建立不等式求解即可. 【详解】关于x的不等式，即， 因为，故二次函数开口向下， 又因为，所以，因为不等式有3个整数解， ∴不等式的解为， 所以解集里的整数是三个， ∴, ∴. 故选：AB 5．ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集得到且，，再由、及基本不等式求最值，判断各项的正误. 【详解】由题设的两个根分别为，结合对应一元二次不等式的解集， 所以，可得，则， 所以，，则，可得，，A对， 所以，故时取最大值为，B对， 由，故时取最小值为，C错， 由，当且仅当时取等号， 所以有最小值为9，D对. 故选：ABD 6．18 【分析】设，由得，化成关于的一元二次方程，由方程有实数解得到，解不等式求得的最大值即可. 【详解】设，则，代入已知式得， 化简得， 由，解得或. 因为，，所以，故. 所以. 故答案为：18. 7． 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可. 【详解】若,得,符合题意； 若，由题知，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 8．(1)3 (2) 【分析】（1）根据三个二次的关系将问题转化成1和b是方程的两个实数根，利用韦达定理求出即得答案； （2）先利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由题意将恒成立问题转化成求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和b是方程的两个实数根，且 故有，解得，故. （2）由（1）得，则即， 故， 当且仅当时等号成立，由，解得， 即当时，取得最小值为. 又由对恒成立，可得， 即，解得. 故的取值范围为. 9．(1) (2)米 (3)米，米；最大面积为平方米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合已知条件得出，再根据相似三角形的性质得出相应边成比例，从而得出关于的表达式，最后根据矩形面积公式得出与的关系式． （2）根据（1）的结论结合题给条件列不等式，解不等式求出的范围，从而得出的长度范围． （3）对函数进行变形求最大值，从而得出面积的最大值及对应的边长． 【详解】（1） 四边形为矩形，为矩形对角线上的点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ． （2）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， 要使矩形活动区域的面积不小于平方米，则， 原不等式化简得，解得， 的长度为米． （3）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， ， 当时，函数取最大值， 又， 米，米，最大面积为平方米． 10．(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，0和是方程的根，且， 所以，解得，. （2）由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得， 则的取值范围为. （3）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 11．(1) (2)答案见详解. 【分析】（1）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可； （2）利用三个二次关系计算参数，再含参讨论解不等式即可. 【详解】（1）由可知， 若，此时，即时，显然符号题意； 若，此时，要满足题意需，解之得； 综上所述的取值集合为 （2）因为不等式的解集是集合B，即是方程的两个根， 所以，则， 所以即， 若，此时不等式解集为， 若，此时不等式解集为， 若，此时不等式解集为， 综上所述：时，解集为；时，解集为；时，解集为. 12．(1)（写也对） (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论； （3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论， 【详解】（1）若，则方程为， 即，故.（写也对） （2）由，可得. 因为， 所以，整理得，且， 解得或，经检验符合题意. （3）因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或 13．(1)4，1 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得一元二次方程的根，从而利用韦达定理列方程组求得实数的值； （2）由含参不等式恒成立，分离参数结合基本不等式得最值即可得实数a取值范围； （3）根据含参一元二次不等式分类讨论得解集. 【详解】（1）因为的解集为， 所以是方程的两根， 所以，解得； （2）因为，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 则， 所以的取值范围为； （3）由得 当时，， 当时，， 当时，或， 当时，， 当时，无解， 当时，， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为． 14．(1) (2)36 【分析】（1）存在性问题转化为最值问题，先由“1”的代换求的最小值，再求解的二次不等式； （2）由已知得，将转化为，再由“1”的代换求最小值. 【详解】（1）当时，，又， 所以，即，所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以若存在正实数、，有解，即， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. （2）由（1），即， 所以 =， 当且仅当时取等号. 故的最小值是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第8讲：二次函数一元二次方程与不等式重点题型强化】 【知识梳理】 一、核心知识关联梳理 二次函数、一元二次方程与不等式三者紧密相连，二次函数是核心载体，一元二次方程是其函数值为0的特殊情况，一元二次不等式则是函数值与0比较的结果，具体关联如下： 1.基础表达式对应 设二次函数为（），对应的一元二次方程为，一元二次不等式分为两类： 当时，不等式对应函数值大于0的区间，对应函数值小于0的区间； 当时，不等式方向与函数值区间对应关系相反，可通过两边同乘-1转化为的情况求解（注意不等号方向改变）。 2.关键要素互通 判别式：既是一元二次方程根的存在性判断依据，也是二次函数图像与x轴交点个数的决定因素，同时直接影响一元二次不等式解集的形式： 若：方程有两个不等实根（），函数图像与x轴交于两点、，不等式（）的解集为，（）的解集为； 若：方程有两个相等实根，函数图像与x轴相切于，不等式（）的解集为，（）的解集为； 若：方程无实根，函数图像与x轴无交点，不等式（）的解集为，（）的解集为。 根与系数关系（韦达定理）：若方程有实根，则，，可用于求解与根相关的不等式问题（如根的分布、含根的代数式取值范围等）。 二、教材例题与高考真题高频考点提炼 1.考点一：一元二次不等式的求解 教材例题特征：多直接给出具体二次不等式（如），考查通过因式分解或求根公式求根，结合二次项系数符号确定解集的步骤。 高考真题延伸：常与参数结合，需讨论参数对判别式、根的大小的影响，例如： 真题示例：解关于x的不等式（）； 解题关键：先对a分类（a=0时为一次不等式，a≠0时为二次不等式），a≠0时因式分解为，再讨论与1的大小关系（分、、、四类），确定解集。 2.考点二：二次函数与一元二次方程根的分布 教材例题特征：多考查“已知函数图像与x轴交点情况，求参数范围”，例如已知与x轴有两个交点，求m的取值范围（利用求解）。 高考真题延伸：侧重“根的限定分布”（如根在某区间内、两根一正一负、两根都大于某个数等），需结合判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组，例如： 真题示例：若方程的两根均在区间内，求m的取值范围； 解题关键：设，需满足：①（保证有实根）；②对称轴（保证根的中点在区间内）；③（左端点函数值正，避免根小于1）；④（右端点函数值正，避免根大于3），联立解得。 3.考点三：三个“二次”与恒成立问题 教材例题特征：基础恒成立问题，如“当x∈R时，恒成立，证明”。 高考真题延伸：常结合具体区间的恒成立，需分情况讨论或转化为函数最值，例如： 真题示例：若对任意，恒成立，求a的取值范围； 解题关键：方法一（分类讨论）：①对称轴（即）时，在[1,2]递增，最小值，得；②对称轴（即）时，最小值，得，无解；③对称轴（即）时，在[1,2]递减，最小值，得，无解；综上。方法二（分离参数）：由得，，因在[1,2]递增，最小值为2，故。 三、常考结论总结 1.不等式解集与二次项系数符号的关系：若一元二次不等式的解集为（），则必有；若解集为，则必有（可快速判断二次项系数符号）。 2.二次函数最值与不等式的联系：对二次函数（），恒成立等价于；恒成立等价于（时最值性质相反）。 3.根的分布常用结论： 方程（）有一正一负根等价于（无需考虑判别式，因乘积为负时恒成立）； 方程有两个正根等价于；有两个负根等价于。 4.含参数二次不等式的“定号”结论：若对任意x∈R恒成立，则；若对任意x∈R恒成立，则（注意：若题干未说明是二次不等式，需先讨论a=0的情况，避免漏解）。 5.韦达定理与不等式结合的结论：若方程有实根，则 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：含参一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·阶段练习）已知函数． (1)当时，若“”为真命题，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【例题2】（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若该不等式的解集为或，求实数的值； (2)解该不等式． 【相似题2】（25-26高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B．{或} C． D．{或} 【解题策略】 一、核心解题步骤（共5步） 步骤1：判断不等式“类型”——先讨论“二次项系数是否为0” 含参不等式中，二次项系数（记为）是否为0，直接决定不等式是“一次不等式”还是“二次不等式”，需优先讨论： 若：不等式退化为一元一次不等式，直接求解（注意一次项系数是否为0，避免出现“0x＞b”的矛盾/恒成立情况）； 若：不等式为一元二次不等式，进入后续步骤。 步骤2：分析二次函数“开口方向”——确定的正负 二次项系数的正负决定二次函数的开口方向，直接影响最终解集的“区间方向”（如“两根之外”或“两根之间”），需明确： 若：开口向上； 若：开口向下（可先将不等式两边同乘，转化为的情况，注意不等号方向反转）。 步骤3：判断方程“根的存在性”——计算判别式 判别式决定一元二次方程是否有实根，进而决定不等式解集的“结构”（如“全体实数”“空集”“区间”），分三类讨论： 若：方程无实根，结合开口方向判断： 时，解集为，解集为； 时，解集为，解集为； 若：方程有两个相等实根，结合开口方向判断： 时，解集为，解集为； 时，解集为，解集为； 若：方程有两个不等实根，进入步骤4。 步骤4：比较“根的大小关系”——用参数表示根并分类 设方程的两个实根为（可通过求根公式或因式分解得出，如，），需讨论参数对与大小的影响： 若根的表达式中不含参数（如时，，）：直接确定； 若根的表达式含参数（如，）：需解不等式（或），根据参数范围确定与的大小（注意参数的正负对不等式解的影响，如时，解需变号）。 步骤5：结合“开口方向+根的大小”——确定最终解集 根据二次函数开口方向（的正负）和根的大小（或），按“开口向上取‘两根之外’，开口向下取‘两根之间’”的原则写解集： 若且： 的解集为； 的解集为； 若且（或转化为后）： 的解集为； 的解集为。 二、实例演示：解不等式（） 第一步：讨论二次项系数与否 当时，不等式变为，解得； 当时，不等式为二次不等式，因式分解为。 第二步：分析开口方向（的正负） 若：开口向上，后续按“开口向上”规则分析； 若：开口向下，可先将不等式变为（乘变号），即（开口向上）。 第三步：计算判别式 ，恒有实根，根为，。 第四步：比较根的大小（与） 当时：解，得；解，得；当时，（等根）； 当时：，故（恒成立）。 第五步：确定解集 ：（开口向上），解集为； ：解集为； ：（开口向上，），解集为； ：不等式变为，解集为； ：（开口向上，），解集为。 三、解题注意事项 1.分类讨论“不重不漏”：优先按“二次项系数是否为0”分层，再按“Δ符号”“根的大小”细分，避免遗漏、等特殊情况； 2.参数范围“明确边界”：比较根的大小时，需注意参数的正负（如时，解无需变号，因本身为负）； 3.转化思想“简化计算”：当时，可通过乘转化为的情况，减少开口方向的讨论量； 4.结果“合并同类情况”：若不同参数范围对应相同解集，可合并表述（如本例中无同类情况，无需合并）。 【题型二：一元二次不等式整数解问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例题2】【多选题】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【相似题2】（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、基础型：已知不等式求整数解（3步） 1.解不等式定区间：按“二次项系数→判别式→根”得解集（如、）； 2.按开闭列整数：根据区间端点（如不含端点，含端点），筛选整数； 3.验证（可选）：代入原不等式确认。 实例1：求整数解 解集，整数为1,2,3，验证符合，结果。 二、进阶型：已知整数解求参数范围（4步） 1.定区间形式： （一次不等式）：判断是否符合题意； ：按正负定“中间型（时）”或“两端型（时）”解集。 2.锁整数边界： 中间型（如整数解）：，； 两端型（如整数解）：限制区间仅含这些整数（如确保含-2不含-3）。 3.转参数不等式：用根与参数关系（韦达、求根公式）列不等式组。 4.求解+验证边界：解组后验证参数边界（防整数解个数变化）。 实例2：已知（）整数解仅-1,0，求 解集中间型，需、，结合列： ，解得，验证符合。 三、核心注意 1.区间开闭决定是否含端点整数； 2.参数边界必验证（防整数解增减）； 3.正负定解集类型（上开下闭）； 4.空集：解集无整数时需说明。 【题型三：“三个二次之间的关系”】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 【例题2】【多选题】（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】【多选题】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【相似题2】【多选题】（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【解题策略】 一、基础关联：明确“三个二次”的表达式与对应关系（步骤1） 先统一“三个二次”的基础形式，锁定变量与参数，建立初始关联： 1.设核心载体——二次函数：（，决定开口方向：向上，向下）； 2.对应特殊情况——一元二次方程：当时，即（方程的根=函数图像与x轴交点的横坐标）； 3.对应范围问题——一元二次不等式：当（或）时，即（或）（不等式的解集=函数图像在x轴上方/下方的x取值范围）。 示例：若二次函数为，则对应方程为，对应不等式为（或）。 二、核心互通：分析关键要素的“三向影响”（步骤2） 通过“判别式”“根与系数关系”“函数单调性”三个关键要素，打通三个二次的内在联系，分情况讨论： 1.判别式：定“根的存在性+图像交点+解集结构” 符号 一元二次方程 二次函数 一元二次不等式（时） 有两个不等实根 与x轴交于、 ：；： 有两个相等实根 与x轴相切于 ：；： 无实根 与x轴无交点 ：；： 2.根与系数关系（韦达定理）：关联“方程根”与“函数系数” 若方程有实根，则，，可用于： 由根的性质（如正根、负根、根的和/积范围）求函数系数的参数范围； 验证函数与方程的对应性（如已知根，反求函数表达式）。 3.函数单调性：辅助“区间内不等式解集”判断 二次函数的对称轴为，对称轴将定义域分为两个单调区间： ：对称轴左侧递减，右侧递增； ：单调性相反； 可结合单调性判断“区间内函数值的正负”，进而缩小不等式解集范围（如求上的解集，需先看对称轴与区间的位置关系）。 三、实际应用：分题型用“三个二次”关系解题（步骤3） 根据常见题型，将关联逻辑转化为具体解题动作： 题型1：求解一元二次不等式 1.定函数：写出对应二次函数，判断的正负（时，不等式两边乘-1变号，转化为）； 2.解方程：计算，求方程的根（无实根则直接定解集）； 3.定解集：根据的正负和根的大小，结合函数图像（上方/下方）写不等式解集。 实例：解不等式 步骤1：转化为（），对应函数； 步骤2：，方程根，； 步骤3：，对应图像下方，解集为。 题型2：已知方程根的分布，求参数范围 1.定函数：设，明确的正负（影响图像开口方向）； 2.列条件：根据“根的分布要求”（如根在内、两根一正一负等），结合以下要素列不等式组： ：保证有实根（若要求“有根”则）； 对称轴：根的中点位置（如两根都大于，则对称轴）； 区间端点函数值：、的正负（如根在内，时且）； 3.解组：求解不等式组，得参数范围。 实例：若方程的两根均在内，求的范围 步骤1：函数（）； 步骤2：列条件：； 步骤3：解得。 题型3：二次不等式恒成立问题 1.定类型：判断是“全体实数恒成立”还是“区间内恒成立”； 2.用函数最值： 全体实数恒成立（）：恒成立；恒成立且； 区间内恒成立：恒成立（时，最小值在对称轴或区间端点取）； 3.解参数：通过最值条件列不等式，求参数范围。 四、核心总结 1.桥梁：二次函数图像是连接方程（根）与不等式（解集）的关键，画图可直观辅助分析； 2.关键：先定的正负（开口），再用定根的情况，最后结合函数值正负/单调性定范围； 3.易错：参数问题需分（一次函数）和（二次函数）讨论，避免漏解 【题型四：一元二次不等式恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知命题“”是真命题，则的取值范围为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【解题策略】 一、类型1：对全体实数恒成立（3步） 步骤1：判断“是否为二次不等式”——先讨论二次项系数 恒成立问题需先排除“非二次”情况（时退化为一次/常数不等式），避免漏解： 若：不等式变为（或），判断是否对全体恒成立： 若：不等式为常数（如），仅当时恒成立，时不成立； 若：一次不等式无法对全体恒成立（如时，时不等式不成立）； 若：为一元二次不等式，进入下一步。 步骤2：分析二次函数“开口方向”与“判别式” 设二次函数，恒成立条件由“开口方向”和“图像与x轴交点”共同决定（即的正负与的符号）： 恒成立不等式 核心条件（） 原理（结合函数图像） 对恒成立 开口向上，图像无x轴交点（全在x轴上方） 对恒成立 开口向下，图像无x轴交点（全在x轴下方） 对恒成立 开口向上，图像与x轴相切或无交点（不低于x轴） 对恒成立 开口向下，图像与x轴相切或无交点（不高于x轴） 步骤3：求解参数范围（若含参） 若不等式含参数（如、、为参数），根据步骤2的条件列不等式（组），解出参数范围。 实例1：若对全体恒成立，求的范围 步骤1：讨论：不等式变为，对不恒成立（如时不成立）； 步骤2：，需满足； 步骤3：解：（因，舍去），故。 二、类型2：对指定区间恒成立（4步） 步骤1：定二次函数与开口方向 设（，先判断或，确定函数开口方向）。 步骤2：找二次函数的“对称轴”——判断单调性区间 对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系，确定在上的单调性（即最值点位置）： 开口方向 对称轴与区间的位置关系 在上的单调性 最值点 （开口向上） 单调递增 最小值，最大值 先减后增 最小值，最大值 单调递减 最小值，最大值 （开口向下） 单调递减 最大值，最小值 先增后减 最大值，最小值 单调递增 最大值，最小值 步骤3：将“恒成立”转化为“最值满足条件” 根据不等式方向，结合最值点列条件： 若在恒成立：需（最小值都大于0，全体值必大于0）； 若在恒成立：需（最大值都小于0，全体值必小于0）； 若或：对应将“>”“<”改为“≥”“≤”即可。 步骤4：求解参数范围（若含参） 根据步骤3的最值条件列不等式（组），解出参数范围（注意验证区间端点的等号情况）。 实例2：若在恒成立，求的范围 步骤1：，（开口向上）； 步骤2：对称轴，分三类讨论位置： ①（即）：在递增，最小值； ②（即）：先减后增，最小值； ③（即）：在递减，最小值； 步骤3：恒成立需： ①时，，结合得； ②时，，结合得； ③时，，无交集； 步骤4：综上，。 三、核心易错点与总结 1.必讨论：全体实数恒成立时，可能是有效解（如恒成立），不可直接按二次不等式求解； 2.区间内恒成立“找对最值点”：开口向上优先看最小值，开口向下优先看最大值，对称轴位置是判断最值点的关键； 3.参数边界验证：如实例2中时，，仍满足，需保留等号； 4.口诀辅助记忆：全体恒成立“开口定方向，判别定交点”；区间恒成立“对称轴定单调，最值定条件”。 【题型五：一元二次不等式有解问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【例题2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心前提：明确“有解”与“恒成立”的差异 问题类型 核心逻辑（以，为例） 有解 存在x使（函数图像至少有一部分在x轴上方） 恒成立 所有x使（函数图像全在x轴上方） 二、类型1：对全体实数有解（3步） 步骤1：判断“是否为二次不等式”——先讨论二次项系数 先排除“非二次”情况（时退化为一次/常数不等式），避免漏解： 若：不等式变为（或、、），判断是否存在x满足： 若：一次不等式必有解（如，时，时）； 若：不等式为常数（如），时有解（全体），时无解； 若：为一元二次不等式，进入下一步。 步骤2：结合“开口方向”与“判别式”定有解条件 设二次函数，有解条件由“开口方向”和“图像与x轴交点”（）决定，具体如下表： 恒成立不等式 核心条件（） 原理（结合函数图像） 对有解 ①：（开口向上，图像与x轴相交/相切，存在x使）；②：（开口向下，图像与x轴相交，存在x使） 避免“全下”或“全上”的极端情况 对有解 ①：（开口向上，图像与x轴相交，存在x使）；②：（开口向下，图像与x轴相交/相切，存在x使） 同上，反向判断 对有解 ①：恒有解（开口向上，x→±∞时）；②： 开口向上时必存在x使 对有解 ①：；②：恒有解（开口向下，x→±∞时） 开口向下时必存在x使 步骤3：求解参数范围（若含参） 根据步骤2的有解条件列不等式（组），解出参数范围（注意排除“无解”的参数区间）。 实例1：若对全体有解，求的范围 步骤1：讨论：不等式变为，解为，有解，故符合； 步骤2：，分两类： ①：需，结合得； ②：需（因时，故恒成立），故符合； 步骤3：综上，（注意：若题目限定“二次不等式”，则排除，范围为）。 三、类型2：对指定区间有解（4步） 步骤1：定二次函数与开口方向 设（），先判断（开口向上）或（开口向下），确定函数图像趋势。 步骤2：找对称轴——判断区间内单调性 对称轴，根据与区间的位置关系，确定在上的单调性，进而找到“可能使不等式成立的最值点”（与恒成立不同，有解只需最值满足“存在性”）。 步骤3：将“有解”转化为“最值满足条件” 核心逻辑：存在x∈[m,n]使不等式成立，等价于“函数在区间上的极端值（最大值/最小值）满足不等式”，具体如下： 不等式方向 开口方向 有解条件（核心：极端值满足） 原理 在有解 （开口向上） （区间最大值>0，必有x使） 开口向上，最大值在区间端点 在有解 （开口向下） （区间最大值>0，顶点或端点） 开口向下，最大值在顶点或端点 在有解 （开口向上） （区间最小值<0，顶点或端点） 开口向上，最小值在顶点或端点 在有解 （开口向下） （区间最小值<0，端点） 开口向下，最小值在区间端点 步骤4：求解参数范围（若含参） 根据步骤3的最值条件列不等式（组），解出参数范围（验证边界值是否满足“有解”）。 实例2：若在有解，求的范围 步骤1：，（开口向上）； 步骤2：对称轴，无需细分单调性，直接找最小值（因有解需）； 步骤3：开口向上，在的最小值为（若，则最小值为）： 有解条件为“最小值<0”，等价于“或”（无需考虑，因端点若小于0，必满足有解；若端点大于0，再看顶点）： ； ； （若且，则需，即，但此时与（）矛盾，故只需考虑端点）； 步骤4：综上，（验证：，在内，有解）。 四、核心易错点与总结 1.必讨论：全体实数有解时，可能是有效解（如实例1中时不等式有解），不可直接按二次不等式求解； 2.区分“有解”与“恒成立”的最值方向： 有解：看最大值，看最小值； 恒成立：看最小值，看最大值； 3.区间有解“无需全分类单调性”：若端点已满足不等式（如实例2中），可直接判定有解，无需细分对称轴位置； 4.口诀辅助记忆：全体有解“开口定趋势，判别定交点”；区间有解“开口定最值，极端定存在”。 【题型六：一元二次不等式与基本不等式结合】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）若，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式，其中. 【例题2】（21-22高二上·河南·期中）已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知，，，则的最小值为 ． 【解题策略】 一、核心前提：明确基本不等式的使用条件 基本不等式（以均值不等式为例）：对正数，有（当且仅当时取等号），使用需满足“一正（）、二定（和/积为定值）、三相等（等号可取得）”，这是与一元二次不等式衔接的关键（一元二次不等式常用来验证“一正”和“三相等”的可行性）。 二、类型1：以一元二次不等式为条件，用基本不等式求最值（4步） 步骤1：解一元二次不等式，确定变量范围 先通过解一元二次不等式（含变量），得到的取值区间（如），明确变量的正负性（判断是否满足基本不等式“一正”）和边界值（后续验证“三相等”是否在范围内）。 步骤2：分析目标式，构造基本不等式的“和/积结构” 将待求最值的目标式（如、等）整理为基本不等式可应用的形式： 若目标式是“和”（如，）：需保证“积为定值”（，满足“二定”）； 若目标式是“积”（如）：需结合已知条件（如），转化为“和为定值”，再用。 步骤3：应用基本不等式，初步求最值 根据目标式结构套用基本不等式，得到最值的“理论值”，同时记录等号成立的条件（如时）。 步骤4：结合一元二次不等式的范围，验证最值可行性 关键验证两点：①等号成立的条件是否在步骤1求得的变量区间内；②变量的正负性是否满足基本不等式“一正”。若满足，则“理论值”为实际最值；若不满足，需结合函数单调性求最值。 实例1：已知，求的最小值 1.解不等式定范围：解，得，即（，满足“一正”）； 2.构造基本不等式结构：目标式，（积为定值，满足“二定”）； 3.应用基本不等式：由，得，等号成立条件为即（舍去）； 4.验证可行性：在内，故最小值为。 三、类型2：以基本不等式为桥梁，解一元二次不等式求参数（4步） 步骤1：分析已知条件，用基本不等式建立变量关系 根据题干中“正数变量”“和/积定值”等条件（如且），应用基本不等式将“变量关系”转化为“关于某一变量（或参数）的不等式”（如）。 步骤2：将基本不等式的结果转化为一元二次不等式 若题干含参数（如中的），需将步骤1得到的“变量不等式”代入题干条件，消去变量，得到仅含参数的一元二次不等式（如由，结合，得，再整理为关于的二次不等式）。 步骤3：解一元二次不等式，初步确定参数范围 按“含参一元二次不等式解题步骤”（先定二次项系数、再判判别式、最后定解集），解步骤2得到的不等式，得到参数的初步范围。 步骤4：验证基本不等式等号成立条件，缩小参数范围 基本不等式的“等号成立条件”（如）是变量关系的“临界情况”，需验证该条件下参数是否满足题干要求（如是否使一元二次不等式恒成立），若不满足，需剔除对应参数区间。 实例2：已知，且，若对任意满足条件的恒成立，求的范围 1.用基本不等式建关系：由，得（均值不等式）。设，则，代入得，整理为； 2.解不等式定变量范围：解，得（舍去，因）。又由得，结合，得； 3.转化为参数的二次不等式：恒成立（），等价于（分离参数）。对，用基本不等式得，等号成立条件为（，满足）； 4.验证定参数范围：的最小值为，故（验证时，恒成立，符合）。 四、核心易错点与总结 1.基本不等式“三条件”必验证：尤其“等号成立条件”是否在一元二次不等式的变量范围内（如实例1中在内，实例2中），否则最值无效； 2.变量正负性优先判断：若一元二次不等式的变量范围含负数，需先分段（如时，令，再用基本不等式）； 3.参数问题“分离参数”优先：如实例2中分离为，避免直接解含参二次不等式的复杂讨论； 4.逻辑链口诀：条件型（不等式定范围→基本不等式求最值）；桥梁型（基本不等式建关系→二次不等式解参数）。 【题型七：一元二次不等式的实际问题】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【例题2】（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【相似题2】（23-24高一上·江苏南通·期中）如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） (1)试确定道路修建方案，使得； (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、多选题 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列叙述中正确的是（    ） A．已知关于x的不等式的解集为，则 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 3．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，关于的不等式恰有3个整数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·新疆·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为9 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ． 7．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 8．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 9．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 10．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 11．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，， (1)若.求实数的取值集合； (2)若关于的不等式的解集是集合B，求关于的不等式的解集． 12．（25-26高一上·河南·开学考试）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 13．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． (3)，解关于的不等式． 14．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）对于函数，已知，当时，， (1)若存在正实数、，使不等式有解，求实数的取值范围； (2)求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $