5.1.1 从算式到方程 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.1.1 从算式到方程 学习目标 1. 理解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。 2. 理解方程的解的概念，会检验一个数是不是已知方程的解。 3. 初步学会列方程表示简单实际问题中的相等关系。 4. 体验从算术方法到代数方法（方程）是解决实际问题的重要进步，感受方程的优越性。 知识点讲解 一、 问题引入 在小学阶段，我们解决实际问题时，主要采用算术方法。例如： 问题：一辆客车和一辆货车同时从相距300千米的两地相向而行，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。经过几小时两车相遇？ 算术方法：路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间，即 300 ÷ (60 + 40) = 300 ÷ 100 = 3（小时）。 这种方法对于较简单的问题很有效，但对于更复杂的问题，算术方法往往难以直接列出算式。这时，我们需要一种新的方法——代数方法，其中最基本的就是方程。 二、 方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 例如： · x + 2 = 5 （含有未知数x的等式） · 2y - 3 = 7 （含有未知数y的等式） · 3x + 4y = 12 （含有未知数x和y的等式） 关键点：① 必须含有未知数；② 必须是等式（即含有等号“=”）。 三、 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 例如： · x + 5 = 8 （只含一个未知数x，x的次数是1，整式方程） · 2t - 1 = 3t （只含一个未知数t，t的次数是1，整式方程） · 3(x - 1) = 2x + 5 （化简后只含一个未知数x，x的次数是1，整式方程） 关键点： · 一元：只含有一个未知数。 · 一次：未知数的最高次数是1。 · 整式方程：方程中等号两边的式子都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 反例： · x² + 2x = 3 （未知数的最高次数是2，不是一次） · x + y = 5 （含有两个未知数，不是一元） · 1/x + 2 = 3 （分母含有未知数，不是整式方程） 四、 方程的解 1. 方程的解的定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 对于只含有一个未知数的方程，它的解也叫做方程的根。 2. 检验一个数是不是方程的解的步骤： · 第一步：将这个数代入方程的左边，计算出左边的值。 · 第二步：将这个数代入方程的右边，计算出右边的值。 · 第三步：比较左边的值和右边的值。 · 如果左边 = 右边，则这个数是方程的解。 · 如果左边 ≠ 右边，则这个数不是方程的解。 五、 列方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的关键在于找到题目中的等量关系。一般步骤可概括为： 1. 审：审题，理解题意。明确题目中的已知量、未知量，以及它们之间的关系。 2. 设：设未知数。选择一个适当的未知量用字母表示（通常用x, y, z等）。设未知数时要写明单位。 3. 找：找出题目中的等量关系。这是列方程的核心。等量关系通常可以通过题目中的关键词（如“等于”、“是”、“比...多”、“比...少”、“共”、“几分之几”等）或基本的数量关系（如路程=速度×时间，总价=单价×数量等）来寻找。 4. 列：根据找到的等量关系，列出方程。将文字语言描述的等量关系转化为含有未知数的等式。 例题解析 例1：判断下列各式是不是方程，如果是，指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么。 (1) 3 + 5 = 8 (2) x - 2 = 5 (3) 2x + 3 (4) x² + 3x = 6 (5) 2x + 3y = 7 (6) = 2 (7) 3(x - 1) = 2x + 5 解： (1) 3 + 5 = 8 不是方程。因为它不含有未知数。 (2) x - 2 = 5 是方程。它只含有一个未知数x，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，所以它也是一元一次方程。 (3) 2x + 3 不是方程。因为它不是等式。 (4) x² + 3x = 6 是方程。但未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程。 (5) 2x + 3y = 7 是方程。但它含有两个未知数x和y，所以不是一元一次方程。 (6) 1/x = 2 是方程。但分母中含有未知数x，不是整式方程，所以不是一元一次方程。 (7) 3(x - 1) = 2x + 5 是方程。 化简后为 3x - 3 = 2x + 5，只含有一个未知数x，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，所以它是一元一次方程。 例2：检验下列各数是不是方程 2x - 3 = 5x - 15 的解。 (1) x = 3 (2) x = 4 解： (1) 把 x = 3 代入方程的左边和右边。 左边 = 2×3 - 3 = 6 - 3 = 3 右边 = 5×3 - 15 = 15 - 15 = 0 因为 左边 (3) ≠ 右边 (0)，所以 x = 3 不是方程 2x - 3 = 5x - 15 的解。 (2) 把 x = 4 代入方程的左边和右边。 左边 = 2×4 - 3 = 8 - 3 = 5 右边 = 5×4 - 15 = 20 - 15 = 5 因为 左边 (5) = 右边 (5)，所以 x = 4 是方程 2x - 3 = 5x - 15 的解。 例3：根据下列问题，设未知数并列出方程。 (1) 某数的3倍与2的和等于这个数与4的差，求这个数。 (2) 一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的宽。 解： (1) 设这个数为 x。 根据题意，这个数的3倍与2的和是 3x + 2，这个数与4的差是 x - 4。 因为它们相等，所以可列方程： 3x + 2 = x - 4 (2) 设这个长方形的宽为 x 厘米。 因为长比宽多2厘米，所以长为 (x + 2) 厘米。 长方形的周长 = 2×(长 + 宽)，已知周长是20厘米。 所以可列方程： 2[(x + 2) + x] = 20 或者化简后可列为：2(x + 2 + x) = 20 或 2(2x + 2) = 20 例4：根据下列问题，设未知数并列出方程。 (1) 某校七年级共有学生216人，其中男生人数比女生人数的2倍少36人，求女生有多少人？ (2) 甲、乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，行驶了t小时后，距离乙地还有80千米。求t的值。（只列方程） 解： (1) 设女生有 x 人。 因为男生人数比女生人数的2倍少36人，所以男生人数为 (2x - 36) 人。 七年级共有学生216人，即男生人数加女生人数等于216人。 所以可列方程： x + (2x - 36) = 216 (2) 设行驶了 t 小时。 汽车每小时行驶60千米，t小时行驶的路程为 60t 千米。 甲、乙两地相距240千米，行驶t小时后距离乙地还有80千米，说明汽车已经行驶的路程加上未行驶的80千米等于总路程240千米。 所以可列方程： 60t + 80 = 240 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列各式中，是方程的是 ( ) A. 3x - 8 B. 5 + 7 = 12 C. 3y = 0 D. 2x + 3 > 1 2. 下列方程中，是一元一次方程的是 ( ) A. x² - 4 = 0 B. = 2 C. x + y = 5 D. = 3 3. 下列方程中，解为 x = 2 的是 ( ) A. 2x = 6 B. x + 2 = 0 C. x - 2 = 0 D. 3x + 6 = 0 4. 根据“x的5倍与3的差等于12”可列方程为 ( ) A. 5x - 3 = 12 B. 5(x - 3) = 12 C. 5x + 3 = 12 D. - 3 = 12 5. 某数的一半比它本身小1，设某数为x，则所列方程为 ( ) A. x = x - 1 B. x = x + 1 C. 2x = x - 1 D. 2x = x + 1 二、填空题 1. 在方程 3x - 5 = 7 中，未知数是 ______，常数项是 ______。 2. 若 x = -1 是关于x的方程 2x + m - 5 = 0 的解，则 m = ______。 3. 设某数为y，根据“某数的3倍与4的和等于10”列出方程：______。 4. 一件商品原价为a元，打八折后的售价为120元，根据题意可列方程：______。 5. 方程 4x + 1 = 3 的解是 x = ______。 三、解答题 1. 判断下列各式是不是一元一次方程，如果是，指出未知数；如果不是，说明理由。 (1) 5x = 0 (2) x - 2y = 3 (3) 3x² - 2x = 1 (4) + 1 = 3x - 4 2. 检验 x = 5 是不是方程 3(x - 1) = 2x + 2 的解。 3. 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 (1) 一个数的4倍减去这个数本身，差是21，求这个数。 (2) 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的边长。 (3) 今年小明12岁，他的爸爸40岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的3倍？ 4. 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 (1) 某班学生为希望工程捐款131元，比平均每人2元还多35元，这个班有多少名学生？ (2) 甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分。甲队胜了多少场？（设甲队胜了x场） 巩固练习参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：方程是含有未知数的等式。A是代数式，B是等式但不含未知数，D是不等式，只有C符合方程定义。 2. B 解析：一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且是整式方程。A未知数次数是2；C含有两个未知数；D分母含有未知数，不是整式方程；B符合定义，可化为x=6。 3. C 解析：将x=2代入各选项： A. 左边=2×2=4≠6； B. 左边=2+2=4≠0； C. 左边=2-2=0=右边； D. 左边=3×2+6=12≠0。 故选C。 4. A 解析：x的5倍是5x，与3的差是5x-3，等于12，即5x-3=12。 5. A 解析：某数的一半是(1/2)x，比它本身小1，即(1/2)x = x - 1。 二、填空题 1. x , -5 和 7 (或 常数项分别是 -5 与 7) 解析：方程3x - 5 = 7中，未知数是x。常数项是指不含未知数的项，等号左边的常数项是-5，右边的常数项是7。 2. 7 解析：把x=-1代入方程2x + m -5=0，得： 2×(-1) + m -5 = 0 -2 + m -5 = 0 m -7 = 0 m=7。 3. 3y + 4 = 10 解析：某数的3倍是3y，与4的和是3y+4，等于10，故3y+4=10。 4. 0.8a = 120 解析：原价为a元，打八折即按原价的80%出售，售价为0.8a元，已知售价为120元，故0.8a=120。 5. 0.5 解析：解方程4x + 1 = 3 4x = 3 - 1 4x = 2 x = 2/4 x = 1/2 (或0.5)。 三、解答题 1. 解： (1) 5x = 0 是一元一次方程，未知数是x。 解析：含有一个未知数x，次数是1，整式方程。 (2) x - 2y = 3 不是一元一次方程。 解析：因为方程含有两个未知数x和y。 (3) 3x² - 2x = 1 不是一元一次方程。 解析：因为未知数x的最高次数是2。 (4) x + 1 = 3x - 4 是一元一次方程，未知数是x。 解析：含有一个未知数x，次数是1，等号两边都是整式。 2. 解：检验 x=5 是否是方程 3(x-1)=2x+2 的解。 把 x=5 代入方程的左边和右边。 左边 = 3×(5 - 1) = 3×4 = 12 右边 = 2×5 + 2 = 10 + 2 = 12 因为 左边 = 右边，所以 x=5 是方程 3(x-1)=2x+2 的解。 3. 解： (1) 设这个数为 x。 根据题意，这个数的4倍是4x，减去这个数本身是4x - x，差是21。 列方程：4x - x = 21 (2) 设这个正方形的边长为 x 厘米。 正方形的周长 = 4×边长，已知周长为36厘米。 列方程：4x = 36 (3) 设 x 年后爸爸的年龄是小明年龄的3倍。 x年后，小明的年龄是 (12 + x) 岁，爸爸的年龄是 (40 + x) 岁。 根据题意，x年后爸爸的年龄等于小明年龄的3倍。 列方程：40 + x = 3(12 + x) 4. 解： (1) 设这个班有 x 名学生。 平均每人捐2元，共捐 2x 元，比这多35元是131元。 列方程：2x + 35 = 131 (2) 设甲队胜了 x 场。 因为甲队保持不败记录，所以甲队平了 (10 - x) 场。 胜一场得3分，胜场共得 3x 分；平一场得1分，平局共得 1×(10 - x) 分。 一共得了22分。 列方程：3x + (10 - x) = 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1 从算式到方程 学习目标 1. 理解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。 2. 理解方程的解的概念，会检验一个数是不是已知方程的解。 3. 初步学会列方程表示简单实际问题中的相等关系。 4. 体验从算术方法到代数方法（方程）是解决实际问题的重要进步，感受方程的优越性。 知识点讲解 一、 问题引入 在小学阶段，我们解决实际问题时，主要采用算术方法。例如： 问题：一辆客车和一辆货车同时从相距300千米的两地相向而行，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。经过几小时两车相遇？ 算术方法：路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间，即 300 ÷ (60 + 40) = 300 ÷ 100 = 3（小时）。 这种方法对于较简单的问题很有效，但对于更复杂的问题，算术方法往往难以直接列出算式。这时，我们需要一种新的方法——代数方法，其中最基本的就是方程。 二、 方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 例如： · x + 2 = 5 （含有未知数x的等式） · 2y - 3 = 7 （含有未知数y的等式） · 3x + 4y = 12 （含有未知数x和y的等式） 关键点：① 必须含有未知数；② 必须是等式（即含有等号“=”）。 三、 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 例如： · x + 5 = 8 （只含一个未知数x，x的次数是1，整式方程） · 2t - 1 = 3t （只含一个未知数t，t的次数是1，整式方程） · 3(x - 1) = 2x + 5 （化简后只含一个未知数x，x的次数是1，整式方程） 关键点： · 一元：只含有一个未知数。 · 一次：未知数的最高次数是1。 · 整式方程：方程中等号两边的式子都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 反例： · x² + 2x = 3 （未知数的最高次数是2，不是一次） · x + y = 5 （含有两个未知数，不是一元） · 1/x + 2 = 3 （分母含有未知数，不是整式方程） 四、 方程的解 1. 方程的解的定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 对于只含有一个未知数的方程，它的解也叫做方程的根。 2. 检验一个数是不是方程的解的步骤： · 第一步：将这个数代入方程的左边，计算出左边的值。 · 第二步：将这个数代入方程的右边，计算出右边的值。 · 第三步：比较左边的值和右边的值。 · 如果左边 = 右边，则这个数是方程的解。 · 如果左边 ≠ 右边，则这个数不是方程的解。 五、 列方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的关键在于找到题目中的等量关系。一般步骤可概括为： 1. 审：审题，理解题意。明确题目中的已知量、未知量，以及它们之间的关系。 2. 设：设未知数。选择一个适当的未知量用字母表示（通常用x, y, z等）。设未知数时要写明单位。 3. 找：找出题目中的等量关系。这是列方程的核心。等量关系通常可以通过题目中的关键词（如“等于”、“是”、“比...多”、“比...少”、“共”、“几分之几”等）或基本的数量关系（如路程=速度×时间，总价=单价×数量等）来寻找。 4. 列：根据找到的等量关系，列出方程。将文字语言描述的等量关系转化为含有未知数的等式。 例题解析 例1：判断下列各式是不是方程，如果是，指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么。 (1) 3 + 5 = 8 (2) x - 2 = 5 (3) 2x + 3 (4) x² + 3x = 6 (5) 2x + 3y = 7 (6) = 2 (7) 3(x - 1) = 2x + 5 例2：检验下列各数是不是方程 2x - 3 = 5x - 15 的解。 (1) x = 3 (2) x = 4 例3：根据下列问题，设未知数并列出方程。 (1) 某数的3倍与2的和等于这个数与4的差，求这个数。 (2) 一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的宽。 例4：根据下列问题，设未知数并列出方程。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列各式中，是方程的是 ( ) A. 3x - 8 B. 5 + 7 = 12 C. 3y = 0 D. 2x + 3 > 1 2. 下列方程中，是一元一次方程的是 ( ) A. x² - 4 = 0 B. = 2 C. x + y = 5 D. = 3 3. 下列方程中，解为 x = 2 的是 ( ) A. 2x = 6 B. x + 2 = 0 C. x - 2 = 0 D. 3x + 6 = 0 4. 根据“x的5倍与3的差等于12”可列方程为 ( ) A. 5x - 3 = 12 B. 5(x - 3) = 12 C. 5x + 3 = 12 D. - 3 = 12 5. 某数的一半比它本身小1，设某数为x，则所列方程为 ( ) A. x = x - 1 B. x = x + 1 C. 2x = x - 1 D. 2x = x + 1 二、填空题 1. 在方程 3x - 5 = 7 中，未知数是 ______，常数项是 ______。 2. 若 x = -1 是关于x的方程 2x + m - 5 = 0 的解，则 m = ______。 3. 设某数为y，根据“某数的3倍与4的和等于10”列出方程：______。 4. 一件商品原价为a元，打八折后的售价为120元，根据题意可列方程：______。 5. 方程 4x + 1 = 3 的解是 x = ______。 三、解答题 1. 判断下列各式是不是一元一次方程，如果是，指出未知数；如果不是，说明理由。 (1) 5x = 0 (2) x - 2y = 3 (3) 3x² - 2x = 1 (4) + 1 = 3x - 4 2. 检验 x = 5 是不是方程 3(x - 1) = 2x + 2 的解。 3. 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 (1) 一个数的4倍减去这个数本身，差是21，求这个数。 (2) 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的边长。 (3) 今年小明12岁，他的爸爸40岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的3倍？ 4. 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 (1) 某班学生为希望工程捐款131元，比平均每人2元还多35元，这个班有多少名学生？ (2) 甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分。甲队胜了多少场？（设甲队胜了x场） 学科网（北京）股份有限公司 $