专题03 一元二次方程 12大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题03 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的解 考点03 一元二次方程的配方法 考点04 一元二次方程的根的判别式 考点05 一元二次方程的估算 考点06 解一元二次方程 考点07 一元二次方程的应用——增长率问题 考点08 一元二次方程的应用——销售问题 考点09 一元二次方程的应用——图形问题 考点10 一元二次方程根与系数关系 考点11 配方法的应用 考点12 一元二次方程的新定义 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3.下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1.若方程是关于的一元二次方程，则 ． 2.若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 3.若方程是关于的一元二次方程，则 ． 地 城 考点02 一元二次方程的解 一、单选题 1.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．3 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．2 3.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1021 B．1022 C．1023 D．1024 二、填空题 1.若是方程的一个根，则的值为 ． 2.已知：一元二次方程的一个根是2，则 ． 地 城 考点03 一元二次方程的配方法 一、单选题 1.用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 2.一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 3.一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 一元二次方程的根的判别式 一、单选题 1.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 2.一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 3.一元二次方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 二、填空题 1.如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 2.若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为 ． 3.若一元二次方程有两个相等的实数根，则k＝ ． 地 城 考点05 一元二次方程的估算 一、单选题 1.根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A． B． C． D． 地 城 考点06 解一元二次方程 三、解答题 1.解下列方程： (1)； (2)． 2.计算 (1)； (2)． 3.（1）解方程； （2）解方程 地 城 考点07 一元二次方程的应用——增长率问题 一、单选题 1.某商品原价为323元，经连续两次降价后售价为267元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.某款药品的售价为50元/瓶，经过两次降价后，售价为40元/瓶，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，按题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1.某商品售价为400元，两次降价后售价为256元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是 ． 2.某商品原售价为81元，经连续两次涨价后售价为100元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是 ． 3、 解答题 1.某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 2.某品牌洗衣机经销商1至3月份统计，该品牌洗衣机1月份销售150台，3月销售216台． (1)求该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)若该品牌洗衣机的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？ 地 城 考点08 一元二次方程的应用——销售问题 三、解答题 1.为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． (1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ (2)求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ (3)若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 2.某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在（k是常数，且）的关系． (1)求y（千克）与x（元）的函数关系式： (2)求当销售单价为多少元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润？[利润=销售量×（销售单价－进价）]． 3.随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 地 城 考点09 一元二次方程的应用——图形问题 三、解答题 1.如图，老张想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长不超过）围成一个矩形大鹅养殖场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料） (1)当养殖场的面积为时，求边的长； (2)能否围成面积为的养殖场，若能围成，求此时边的长；若不能，请说明理由． 2.如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 3.如图，某农场要围成一个矩形场地，矩形的一边靠墙（长度不限），另三边用长米长的篱笆围成，并在边边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），请问怎样围成一个面积为平方米的场地？    地 城 考点10 一元二次方程的根与系数关系 一、单选题 1.在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．8 B． C．8或 D．8或9 二、填空题 1.已知一矩形的相邻两边长分别是方程的两根，则矩形的周长是 ． 2.m，n是方程的两根，则代数式的值是 ． 三、解答题 1.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 2.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为、，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，） 地 城 考点11 配方法的应用 三、解答题 1.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 2.教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 地 城 考点12 一元二次方程的新定义 三、解答题 1.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：____________；____________ (2)计算： (3)在复数范围内解方程： 2.如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ①       ② (2)若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 3.若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的解 考点03 一元二次方程的配方法 考点04 一元二次方程的根的判别式 考点05 一元二次方程的估算 考点06 解一元二次方程 考点07 一元二次方程的应用——增长率问题 考点08 一元二次方程的应用——销售问题 考点09 一元二次方程的应用——图形问题 考点10 一元二次方程根与系数关系 考点11 配方法的应用 考点12 一元二次方程的新定义 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、是分式方程，故本选项错误； D、当时是一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 3.下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．化简后能得到形式的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，整理得：， 方程不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：，整理得：， 方程是一元二次方程，故B选项符合题意； C选项：是分式方程不是整式方程， 方程：不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：中含有二个未知数， 方程不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1.若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：． 故答案为：1． 2.若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2且系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：1． 3.若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略．根据一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得， 故答案为：． 地 城 考点02 一元二次方程的解 一、单选题 1.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D． 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，正确理解一元二次方程的根的意义是解题的关键．把代入得到，解方程即得答案． 【详解】把代入，得， 解得． 故选：D． 3.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1021 B．1022 C．1023 D．1024 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴， ， ∴， 则， 故选：D． 二、填空题 1.若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 2.已知：一元二次方程的一个根是2，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入原方程得，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 地 城 考点03 一元二次方程的配方法 一、单选题 1.用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 结合完全平方公式进行配方即可得解． 【详解】解：根据完全平方公式可得， 即． 故选：． 2.一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 3.一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键； 先移项，然后两边同时加9，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 地 城 考点04 一元二次方程的根的判别式 一、单选题 1.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 故选C． 2.一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3.一元二次方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握如何用根的判别式判定一元二次方程解的情况是解决本题的关键．计算根的判别式值，再根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 二、填空题 1.如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 2.若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， ∴满足的最小整数2 故答案为：2． 3.若一元二次方程有两个相等的实数根，则k＝ ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点05 一元二次方程的估算 一、单选题 1.根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个解x的范围是． 故选：C． 地 城 考点06 解一元二次方程 三、解答题 1.解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）采用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）采用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ． ． （2）． 整理，得 ． ． ． 2.计算 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 首先把常数项移到等号的右边，两边直接开平方得到：，然后再移项、合并同类项求出方程的解即可； 利用求根公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 3.（1）解方程； （2）解方程 【答案】（1），（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握因式分解法，以及配方法是解题的关键． （1）利用因式分解法即可； （2）先去括号，移项后，利用配方法即可解得答案． 【详解】解：（1） ， （2） ， 地 城 考点07 一元二次方程的应用——增长率问题 一、单选题 1.某商品原价为323元，经连续两次降价后售价为267元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该商品经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 2.某款药品的售价为50元/瓶，经过两次降价后，售价为40元/瓶，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，按题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．设每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意列方程得：； 故选：C． 二、填空题 1.某商品售价为400元，两次降价后售价为256元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合题意分析：两次降价后的价格=原价降低的百分率，据此列方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴降价的百分率是， 故答案为：． 2.某商品原售价为81元，经连续两次涨价后售价为100元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用商家经过两次涨价后的售价，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 3、 解答题 1.某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【答案】(1)每件商品应降价元 (2)值为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设每件商品应降价元，则每件利润为（元），降价后的销售量为件，由此列式求解即可； （2）根据题意，分别算出月份月份的销售量，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品应降价元，则每件利润为（元）， ∵售价为元时，每月可售出件，每件商品降价元，商场每月就可以多售出件， ∴降价后的销售量为（件）， ∴，整理得，， 解得，，， ∴当降价元时，每月销售量为（件），当降价元时，每月销售量为（件）， ∵有利于减少库存， ∴每件商品应降价元； （2）解：根据题意，月份的销售量为件，月份的销售量为， ∵前三个月的总销售量为件， ∴， 令，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 解得，， ∴值为． 2.某品牌洗衣机经销商1至3月份统计，该品牌洗衣机1月份销售150台，3月销售216台． (1)求该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)若该品牌洗衣机的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？ 【答案】(1) (2)273000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为，根据该品牌洗衣机1月份销售150台，3月销售216台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出2月份的销售量，即可解决问题． 【详解】（1）解：设该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为，根据题意得 解得，（舍）， 答：该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为； （2）解：2月份的销售量为， （元）． 答：该经销商1月至3月共盈利273000元． 地 城 考点08 一元二次方程的应用——销售问题 三、解答题 1.为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． (1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ (2)求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ (3)若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 【答案】(1)30天后这批苹果的市场价为每千克13元 (2)3天后一次性全部售出所得的利润为591元 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意列出式子和方程求解是解题的关键． （1）用上涨的价格除以每天上涨的价格即可得到答案； （2）求出三天后的价格以及没有损坏的苹果质量，进而求出销售额，再减去购买苹果的成本和冷藏费用即可得到答案； （3）根据利润等于销售额减去购买苹果的成本和冷藏的费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：天， 答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元； （2）解： 元， 答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得（舍去）或． 2.某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在（k是常数，且）的关系． (1)求y（千克）与x（元）的函数关系式： (2)求当销售单价为多少元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润？[利润=销售量×（销售单价－进价）]． 【答案】(1) (2)当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润． 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，熟练掌握利润的计算公式是解题关键． （1）先求出当时，，再根据利润的计算公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）销售利润等于销售量乘以每千克的利润等于总利润列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 则可列方程为， 解得， 则． （2）由题意可得， 解得， 答：当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润． 3.随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（）由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元，据此即可列出函数关系式； （）由题意可得， 再根据方程解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元， ∴， 即； （2）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无解， ∴甲产品的日销售额不能达到元． 地 城 考点09 一元二次方程的应用——图形问题 三、解答题 1.如图，老张想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长不超过）围成一个矩形大鹅养殖场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料） (1)当养殖场的面积为时，求边的长； (2)能否围成面积为的养殖场，若能围成，求此时边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． （1）设矩形的边，再利用矩形面积公式即可求出； （2）假设能围成，同理（1）则，求出的长，得到另一边的长与墙的长度即可． 【详解】（1）解：设边的长为． ， 解得：，（不合题意，舍去） 答：边的长为； （2）解：假设能围成，则 解得， 则，因为外墙长不超过，不能围成面积为的养殖场． 2.如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 【答案】2米 【分析】此题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由剩余绿地平移可拼成应该矩形边长为米、米，由此列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：依题意可列 （舍） 答：道路的宽是2米． 3.如图，某农场要围成一个矩形场地，矩形的一边靠墙（长度不限），另三边用长米长的篱笆围成，并在边边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），请问怎样围成一个面积为平方米的场地？    【答案】长为，宽为；或者长为，宽为 【分析】本题考查一元二次方程的应用，能够根据面积列出一元二次方程是解题的关键．设矩形的边长，则边为，根据面积列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设矩形的边长，则边为． 根据题意，得．     解得，． 当时，； 当时，． 答：当矩形场地的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为45平方米的场地． 地 城 考点10 一元二次方程的根与系数关系 一、单选题 1.在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系；先根据公式计算出一元二次方程的两根之和与两根之积，再结合三角形三边关系即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴ ∴ 故选：C． 2.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．8 B． C．8或 D．8或9 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系是解题的关键． 设是关于的方程的两个根，则，，由等腰三角形的一边长是4，分当时，，当时，两种情况，判断求解即可． 【详解】解：设是关于的方程的两个根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长是4， ∴当时，，此时三边长为4，4，2，能构成三角形，； 当时，此时三边长为4，3，3，能构成三角形，； 综上所述，的值为8或9， 故选：D． 二、填空题 1.已知一矩形的相邻两边长分别是方程的两根，则矩形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得到即可求解，熟知根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， ∴， ∵矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根， ∴这个矩形的周长是， 故答案为：． 2.m，n是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，，再由根与系数的关系得到，进一步求出，，则． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 2.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为、，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式是解题的关键： （1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）利用根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意，， 因为， 所以，即， 所以， 整理得， 解得，，而； 所以． 地 城 考点11 配方法的应用 三、解答题 1.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， 故答案为：，； （2）∵， ∴代数式的最小值为． 2.教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 地 城 考点12 一元二次方程的新定义 三、解答题 1.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：____________；____________ (2)计算： (3)在复数范围内解方程： 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，然后根据计算即可； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，配方法解一元二次方程等知识点，深刻理解题意，能够利用进行计算并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2.如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ①       ② (2)若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①它是“倍根方程”；②它不是“倍根方程” (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的解与解一元二次方程，分式的化简求值，理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行直接判断； （2）根据“倍根方程”的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：①， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∴， ∴是“倍根方程”； ②， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴不是“倍根方程”； （2）解：解方程得，， ∵该方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 即或， 当时，即， ， 当时，即， ， ∴的值为或． 3.若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先确定、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该“快乐方程”的“快乐数”； （2）首先确定、、的表达式，然后求得判别式，根据的取值范围即可确定判别式的取值范围，由判别式是完全平方数可进一步确定判别式的取值，进而求得的值及、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该方程的“快乐数”． 【详解】（1）解：对于“快乐方程”， ，，， 其“快乐数”为： ， 故答案为：； （2）解：对于关于的一元二次方程， ，，， ， ， ， 是完全平方数， 或， 若，则， 若，则（与为整数相矛盾，故舍去）， ， ，，， 该一元二次方程变为：， 该方程的“快乐数”为： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的四则混合运算，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，计算单项式乘多项式，合并同类项，不等式的性质，完全平方数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $