专题04 概率的进一步认识 5大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题04 概率的进一步认识 5大高频考点概览 考点01 由频率估计概率 考点02 已知概率求数量 考点03 游戏公平性 考点04 几何概率 考点05 列表法或树状图法求概率 地 城 考点01 由频率估计概率 一、单选题 1.辽中寒富苹果，中国国家地理标志产品．每百克寒富苹果鲜果肉中，可溶性固形物达，可滴定酸．不仅酸甜可口，芳香扑鼻，而且营养物质含量极高．某综合实践小组跟踪调查了寒富苹果的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计寒富苹果移栽成活的概率约为（    ） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 2.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 3.小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 二、填空题 1.为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 2.在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是 个． 3.在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ． 地 城 考点02 已知概率求数量 二、填空题 1.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的8个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为 个． 地 城 考点03 游戏公平性 一、单选题 1.一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 2.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 地 城 考点04 几何概率 一、单选题 1.一个转盘上有红色、蓝色两种颜色，转动200次转盘，则指针指向红色区域的概率为（    ） A． B． C．1 D．不确定 2.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 地 城 考点05 列表法或树状图法求概率 一、单选题 1.如图，背面花纹相同的2张扑克牌，从中间剪开，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，恰好能拼成一张扑克牌的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.一个盒子中装有一个红球，一个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，两次都摸出红球的概率为 ． 2.国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是    3、 解答题 1.某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 2.2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， (1)随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； (2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 (3)该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 3.（1）有两张图片（分别命名为图片、图片）形状完全相同，景色不同．把两张图片全部从中间剪断（分别命名为上、下、上、下），再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ （2）有三张图片（分别命名为图片、图片、图片）形状完全相同，景色不同．把这三张图片都按同样的方式剪成相同的三段（分别命名为上、中、下、上、中、下、上、中、下），然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整图片的概率． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概率的进一步认识 5大高频考点概览 考点01 由频率估计概率 考点02 已知概率求数量 考点03 游戏公平性 考点04 几何概率 考点05 列表法或树状图法求概率 地 城 考点01 由频率估计概率 一、单选题 1.辽中寒富苹果，中国国家地理标志产品．每百克寒富苹果鲜果肉中，可溶性固形物达，可滴定酸．不仅酸甜可口，芳香扑鼻，而且营养物质含量极高．某综合实践小组跟踪调查了寒富苹果的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计寒富苹果移栽成活的概率约为（    ） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，再结合折线图即可解答． 【详解】解：由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在0.9左右，则成活的概率估计值为0.9． 故选：C． 2.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【答案】B 【分析】本题考查“用频率估计概率”的试验、求随机事件的概率等知识，由题意确定试验出现某种结果的概率约为，再逐项求出各个随机事件的概率比较即可得到答案．理解题意，掌握随机事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，即概率约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合试验结果； B、掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合试验结果； C、掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合试验结果； D、用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数的概率为，不符合试验结果； 故选：B． 3.小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误，不符合题意； B、抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率为，故B选项错误，不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”的概率为，故C选项错误，不符合题意； D、一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球的概率为，符合题意； 故选：D． 二、填空题 1.为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是结合图形读出概率． 本题考查用概率估计频率，根据大量重复实验频率逐渐稳定的数值即事件发生的概率解题即可． 【详解】解：由题图可看出，该平台外卖“准时送达”的概率在附近摆动，并逐渐稳定于， ∴概率的估计值是. 故答案为：． 2.在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：， 解得：， 则黄球的个数为（个）， 故答案为：9． 3.在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为，再根据概率公式列出方程，求出答案即可． 【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 地 城 考点02 已知概率求数量 二、填空题 1.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的8个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则可得到摸到白球的概率，再根据概率计算公式求出白球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球， ∴摸到白球的概率为， ∴口袋中大约有个球， ∴小亮估计口袋中的红球大约为个， 故答案为：． 地 城 考点03 游戏公平性 一、单选题 1.一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 2.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 地 城 考点04 几何概率 一、单选题 1.一个转盘上有红色、蓝色两种颜色，转动200次转盘，则指针指向红色区域的概率为（    ） A． B． C．1 D．不确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握概率等于相应的面积与总面积之比成为解题的关键． 红色区域所占面积与转盘面积之比即为指针指向红色区域的概率，据此即可解答． 【详解】解：因红色区域面积未知，故指针指向红色区域的概率也未知． 故选D． 2.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率的求法，理解题意是解题的关键．将地球总面积分为10份，海洋占7份，分别求出落在海洋里的概率和陆地上的概率，从而得到答案． 【详解】解：已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，即相当于将地球总面积分为10份，海洋占7份，所以落在海洋里的概率是，落在陆地上的概率是，所以 “落在海洋里”的可能性更大． 故答案为：A． 地 城 考点05 列表法或树状图法求概率 一、单选题 1.如图，背面花纹相同的2张扑克牌，从中间剪开，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，恰好能拼成一张扑克牌的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四个半张扑克牌分别记为A，a，B，b，其中A与a可以合成完整的一张牌，B与b可以合成完整的一张牌． 列表如下： A a B b A a B b 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果有：，，，，共4种， ∴小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是． 故选：C． 二、填空题 1.一个盒子中装有一个红球，一个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，两次都摸出红球的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了树状图法求概率．画出树状图，得到4种等可能的结果，两次都摸出红球有1种情况，根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下：    ∵共有4种等可能的结果，两次都摸出红球有1种情况， ∴两次都摸出红球的概率为． 故答案为： 2.国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是    【答案】/0.5 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率． 准确画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：列树状图：    共有4种等可能的情况，小丽一家人从A展厅出发到达E出口有2种情况， ∴小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是， 故答案为：． 3、 解答题 1.某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】(1)8.3  8.5  7 (2)估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 (3) 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【详解】（1）解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； （2）（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； （3）将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 2.2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， (1)随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； (2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 (3)该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 【答案】(1)，，； (2)该校成绩达到等级及以上的有人； (3) 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： （1）结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； （2）根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； （3）根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中都是女生的情况共有2种，可以求出恰好选中“都是女生”的概率． 【详解】（1）解：(人)， (人)， ； （2）解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； （3）解：列表如下， 男 女1 女2 男 女1，男 女2，男 女1 男，女1 女2，女1 女2 男，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是都是女生的情况共有2种， 恰好选中“都是女生”的概率， 答：恰好选中“都是女生”的概率为． 3.（1）有两张图片（分别命名为图片、图片）形状完全相同，景色不同．把两张图片全部从中间剪断（分别命名为上、下、上、下），再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ （2）有三张图片（分别命名为图片、图片、图片）形状完全相同，景色不同．把这三张图片都按同样的方式剪成相同的三段（分别命名为上、中、下、上、中、下、上、中、下），然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整图片的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了列表法和树状图法的相关知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先画出树状图，则共有种等可能的结果，这两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有种，列式计算，即可作答． （2）先画出树状图，则共有27种等可能的结果，这三张图片恰好组成一张完整图片的结果有种，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，这两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有种， ∴这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是； （2）依题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，这张图片恰好组成一张完整图片的结果有种， ∴这三张小图片恰好合成一张完整图片的概率是； 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $