6.3角 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

6.3 角 学习目标 1. 理解角的概念，掌握角的表示方法。 2. 会比较角的大小，能进行角的和、差运算。 3. 理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能运用它们解决简单问题。 知识点讲解 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 二、角的表示方法 角可以用以下几种方法表示： 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两旁分别写角的两条边上的一个点的字母。例如，顶点为O，两边上分别有A、B两点的角，可表示为∠AOB。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示角。例如，∠O。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字。例如，∠1。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母，如α、β、γ等。例如，∠α。 三、角的度量单位 角的度量单位是度、分、秒。 1° = 60′ (1度 = 60分) 1′ = 60″ (1分 = 60秒) 四、角的比较与运算 1. 角的比较方法： · 度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数的大小来比较角的大小。 · 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中一条边也重合，观察另一条边的位置关系。 2. 角的和与差： · 两个角的和：把两个角的顶点和一条边重合，它们的另一条边组成的新角就是这两个角的和。 · 两个角的差：在一个较大的角内，以它的一条边为边，作一个较小的角，它们的另一条边组成的角就是这两个角的差。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。 五、余角和补角 1. 余角的定义：如果两个角的和等于90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。 若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1与∠2互为余角。 2. 补角的定义：如果两个角的和等于180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。 若∠3 + ∠4 = 180°，则∠3与∠4互为补角。 3. 余角和补角的性质： · 同角（或等角）的余角相等。 · 同角（或等角）的补角相等。 例题解析 例题1： 将 38.26° 转化为度、分、秒的形式。 例题2： 已知 ∠α = 50°17′，求 ∠α 的余角和补角的度数。 例题3： 已知一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数。 例题4： 已知 ∠AOB = 100°，OC 是 ∠AOB 的平分线，OD 是 ∠AOC 的平分线，求 ∠BOD 的度数。 巩固练习 选择题 (每题只有一个正确答案) 1. 下列关于角的说法正确的是 ( ) . A. 两条射线组成的图形叫做角 . B. 角的大小与边的长短有关 . C. 角的两边是两条射线 . D. 用三个大写字母表示角时，顶点字母可以写在任意位置 2. 下列四个图形中，能用 ∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是 ( ) . A. 假设为顶点O，一边上有A，另一边上有B，∠AOB标记为∠1 . B. 假设顶点O，有三条射线OA, OB, OC，∠AOB标记为∠1 . C. 假设顶点O，一边OA，另一边OB，∠AOB标记为∠1，但顶点O处还有其他角 . D. 假设顶点为A，OB为一条边 3. 30°角的余角是 ( ) . A. 30° . B. 60° . C. 90° . D. 150° 4. 若 ∠1 与 ∠2 互补，∠2 与 ∠3 互余，则 ∠1 与 ∠3 的关系是 ( ) . A. ∠1 = ∠3 . B. ∠1 = 180° - ∠3 . C. ∠1 = 90° + ∠3 . D. ∠1 = 90° - ∠3 5. 已知 ∠α = 25°，则 ∠α 的补角的度数是 ( ) . A. 55° . B. 65° . C. 155° . D. 165° 填空题 1. 57.32° = ______度______分______秒。 2. 若 ∠A = 35°16′，则 ∠A 的余角的度数为______，∠A 的补角的度数为______。 3. 一个角的补角是它本身的度数，则这个角的度数是______。 4. 已知 ∠AOB = 80°，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC，则 ∠DOE 的度数为______。 5. 若一个角的余角是这个角的 2 倍，则这个角的度数是______。 解答题 1. 计算： (1) 180° - 79°19′ (2) 22°16′ × 5 2. 一个角的补角比它的余角的 3 倍大 10°，求这个角的度数。 3. 已知 ∠AOB = 120°，OC 在 ∠AOB 的外部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。 (1) 若 OC 在 ∠AOB 的邻补角内，求 ∠DOE 的度数； (2) 若 ∠AOC = 30°，求 ∠DOE 的度数。 (提示：注意OC位置的多种可能性，此小题仅考虑其中一种情况即可) 4. 已知 ∠1 与 ∠2 互为余角，且 ∠2 与 ∠3 互为补角，∠1 = 65°，求 ∠3 的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 角 学习目标 1. 理解角的概念，掌握角的表示方法。 2. 会比较角的大小，能进行角的和、差运算。 3. 理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能运用它们解决简单问题。 知识点讲解 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 二、角的表示方法 角可以用以下几种方法表示： 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两旁分别写角的两条边上的一个点的字母。例如，顶点为O，两边上分别有A、B两点的角，可表示为∠AOB。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示角。例如，∠O。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字。例如，∠1。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母，如α、β、γ等。例如，∠α。 三、角的度量单位 角的度量单位是度、分、秒。 1° = 60′ (1度 = 60分) 1′ = 60″ (1分 = 60秒) 四、角的比较与运算 1. 角的比较方法： · 度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数的大小来比较角的大小。 · 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中一条边也重合，观察另一条边的位置关系。 2. 角的和与差： · 两个角的和：把两个角的顶点和一条边重合，它们的另一条边组成的新角就是这两个角的和。 · 两个角的差：在一个较大的角内，以它的一条边为边，作一个较小的角，它们的另一条边组成的角就是这两个角的差。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。 五、余角和补角 1. 余角的定义：如果两个角的和等于90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。 若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1与∠2互为余角。 2. 补角的定义：如果两个角的和等于180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。 若∠3 + ∠4 = 180°，则∠3与∠4互为补角。 3. 余角和补角的性质： · 同角（或等角）的余角相等。 · 同角（或等角）的补角相等。 例题解析 例题1： 将 38.26° 转化为度、分、秒的形式。 解： 0.26° = 0.26 × 60′ = 15.6′ 0.6′ = 0.6 × 60″ = 36″ 所以 38.26° = 38°15′36″ 解析：度转化为度分秒时，整数部分为度，小数部分乘以60得到的整数部分为分，再将剩余的小数部分乘以60得到秒。 例题2： 已知 ∠α = 50°17′，求 ∠α 的余角和补角的度数。 解： ∠α 的余角 = 90° - ∠α = 90° - 50°17′ = 89°60′ - 50°17′ = 39°43′ ∠α 的补角 = 180° - ∠α = 180° - 50°17′ = 179°60′ - 50°17′ = 129°43′ 解析：根据余角和补角的定义，直接用90°和180°减去已知角的度数即可。计算时注意度分秒的退位减法，1° = 60′。 例题3： 已知一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数。 解：设这个角的度数为 x。 根据题意，得 180° - x = 3x 180° = 3x + x 180° = 4x x = 180° ÷ 4 x = 45° 答：这个角的度数是 45°。 解析：设未知数，根据补角的定义列出方程，求解即可。关键是理解“一个角的补角是它的3倍”这句话的含义，并用代数式表示出来。 例题4： 已知 ∠AOB = 100°，OC 是 ∠AOB 的平分线，OD 是 ∠AOC 的平分线，求 ∠BOD 的度数。 解：因为 OC 是 ∠AOB 的平分线 所以 ∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB ∠AOB = 100° ∠AOC = 1/2 × 100° = 50° 因为 OD 是 ∠AOC 的平分线 所以 ∠AOD = ∠COD = 1/2 ∠AOC ∠AOD = 1/2 × 50° = 25° ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 100° - 25° = 75° 解析：本题主要考查角平分线的定义和角的和差运算。先根据 OC 是 ∠AOB 的平分线求出 ∠AOC 的度数，再根据 OD 是 ∠AOC 的平分线求出 ∠AOD 的度数，最后用 ∠AOB 减去 ∠AOD 得到 ∠BOD 的度数。 巩固练习 选择题 (每题只有一个正确答案) 1. 下列关于角的说法正确的是 ( ) . A. 两条射线组成的图形叫做角 . B. 角的大小与边的长短有关 . C. 角的两边是两条射线 . D. 用三个大写字母表示角时，顶点字母可以写在任意位置 2. 下列四个图形中，能用 ∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是 ( ) . A. 假设为顶点O，一边上有A，另一边上有B，∠AOB标记为∠1 . B. 假设顶点O，有三条射线OA, OB, OC，∠AOB标记为∠1 . C. 假设顶点O，一边OA，另一边OB，∠AOB标记为∠1，但顶点O处还有其他角 . D. 假设顶点为A，OB为一条边 3. 30°角的余角是 ( ) . A. 30° . B. 60° . C. 90° . D. 150° 4. 若 ∠1 与 ∠2 互补，∠2 与 ∠3 互余，则 ∠1 与 ∠3 的关系是 ( ) . A. ∠1 = ∠3 . B. ∠1 = 180° - ∠3 . C. ∠1 = 90° + ∠3 . D. ∠1 = 90° - ∠3 5. 已知 ∠α = 25°，则 ∠α 的补角的度数是 ( ) . A. 55° . B. 65° . C. 155° . D. 165° 填空题 1. 57.32° = ______度______分______秒。 2. 若 ∠A = 35°16′，则 ∠A 的余角的度数为______，∠A 的补角的度数为______。 3. 一个角的补角是它本身的度数，则这个角的度数是______。 4. 已知 ∠AOB = 80°，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC，则 ∠DOE 的度数为______。 5. 若一个角的余角是这个角的 2 倍，则这个角的度数是______。 解答题 1. 计算： (1) 180° - 79°19′ (2) 22°16′ × 5 2. 一个角的补角比它的余角的 3 倍大 10°，求这个角的度数。 3. 已知 ∠AOB = 120°，OC 在 ∠AOB 的外部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。 (1) 若 OC 在 ∠AOB 的邻补角内，求 ∠DOE 的度数； (2) 若 ∠AOC = 30°，求 ∠DOE 的度数。 (提示：注意OC位置的多种可能性，此小题仅考虑其中一种情况即可) 4. 已知 ∠1 与 ∠2 互为余角，且 ∠2 与 ∠3 互为补角，∠1 = 65°，求 ∠3 的度数。 巩固练习答案与解析 选择题 1. C 解析：A选项，两条有公共端点的射线组成的图形叫做角，缺一不可，故A错误；B选项，角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关，故B错误；C选项，角的两边是两条射线，正确；D选项，用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，故D错误。 2. A 解析：能用∠O表示的角，顶点处必须只有一个角。选项B、C中顶点O处不止一个角，不能用∠O表示；选项D顶点为A，不能用∠O表示。只有选项A符合。 3. B 解析：余角是指和为90°的两个角。90° - 30° = 60°，所以30°角的余角是60°。 4. C 解析：因为∠1与∠2互补，所以∠1 + ∠2 = 180°，即∠2 = 180° - ∠1。 因为∠2与∠3互余，所以∠2 + ∠3 = 90°，即∠2 = 90° - ∠3。 所以 180° - ∠1 = 90° - ∠3 移项可得 ∠1 = 180° - 90° + ∠3 = 90° + ∠3。 5. C 解析：补角是指和为180°的两个角。180° - 25° = 155°，所以∠α的补角是155°。 填空题 1. 57度19分12秒 解析：0.32° = 0.32 × 60′ = 19.2′ 0.2′ = 0.2 × 60″ = 12″ 所以 57.32° = 57°19′12″。 2. 54°44′，144°44′ 解析：∠A的余角 = 90° - 35°16′ = 89°60′ - 35°16′ = 54°44′ ∠A的补角 = 180° - 35°16′ = 179°60′ - 35°16′ = 144°44′。 3. 90° 解析：设这个角的度数为x，则它的补角为180° - x。 由题意得 180° - x = x 2x = 180° x = 90°。 4. 40° 解析：因为OD平分∠AOC，所以∠DOC = ∠AOC 因为OE平分∠BOC，所以∠EOC = ∠BOC ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC + ∠BOC) = ∠AOB ∠AOB = 80°，所以∠DOE = × 80° = 40°。 5. 30° 解析：设这个角的度数为x，则它的余角为90° - x。 由题意得 90° - x = 2x 3x = 90° x = 30°。 解答题 1. 解： (1) 180° - 79°19′ = 179°60′ - 79°19′ = 100°41′ (2) 22°16′ × 5 = 22° × 5 + 16′ × 5 = 110° + 80′ = 110° + 1°20′ = 111°20′ 2. 解：设这个角的度数为x。 它的补角为 180° - x，它的余角为 90° - x。 根据题意，得 180° - x = 3 + 10° 180° - x = 270° - 3x + 10° -x + 3x = 270° + 10° - 180° 2x = 100° x = 50° 答：这个角的度数是50°。 3. 解：(1) 因为OD平分∠AOC，所以∠DOC = ∠AOC 因为OE平分∠BOC，所以∠EOC = ∠BOC ∠DOE = ∠EOC - ∠DOC (假设OC在∠AOB的邻补角内，且靠近OB一侧，此时∠BOC为∠AOB的邻补角的一部分，∠EOC > ∠DOC) = ∠BOC - ∠AOC = (∠BOC - ∠AOC) 因为∠AOB = 120°，∠BOC - ∠AOC = ∠AOB (此时∠AOC = ∠BOC - ∠AOB) 所以∠DOE = ∠AOB = × 120° = 60° 答：∠DOE的度数为60°。 (2) 若∠AOC = 30°，OC在∠AOB外部。 情况一：OC在∠AOB的邻补角内（与(1)类似，此时∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 120° + 30° = 150°） ∠DOC = ∠AOC = × 30° = 15° ∠EOC = ∠BOC = × 150° = 75° ∠DOE = ∠EOC - ∠DOC = 75° - 15° = 60° 情况二：OC在∠AOB的另一侧（远离OB的一侧），则∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 30° + 120° = 150°，结果相同。 答：∠DOE的度数为60°。 (注：无论OC在∠AOB外部的哪个具体位置，只要OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠DOE均为∠AOB的一半，即60°) 4. 解：因为∠1与∠2互为余角，所以∠1 + ∠2 = 90° ∠1 = 65° ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 65° = 25° 因为∠2与∠3互为补角，所以∠2 + ∠3 = 180° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° 答：∠3的度数是155°。 学科网（北京）股份有限公司 $