24.2.2直线与圆的位置关系（1）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.2直线与圆的位置关系（1） 题型一、直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 题型二、判断直线与圆的位置关系 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 4．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的半径是，点O到同一平面内直线m的距离为，则直线m与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 5．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，则直线与的位置关系是 ． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．判断以点C为圆心，下列r为半径的与直线的位置关系． (1)； (2)； (3)． 题型三、已知直线与圆的位置关系求半径 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 11．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）中，，，，以C为圆心，r为半径作， （1）若线段与相离时，r的取值范围是 ； （2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 题型四、已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 15．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 16．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 17．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 18．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    题型一、圆平移到直线相切的有关计算 19．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 20．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    22．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 23．（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 题型二、直线与圆的位置关系综合 24．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 题型三、有关直线与圆的位置关系的新定义问题 25．（2025九年级下·北京·学业考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． (1)已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； (2)已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； (3)已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 26．（24-25九年级上·北京·阶段练习）【概念学习】 在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． 【概念理解】 （1）对点的“最近覆盖距离”为______________； （2）点是函数图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为2，则点的坐标为________________； 【拓展应用】 （3）若一次函数的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求的取值范围； （4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，求的取值范围． 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 29．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是 ． 30．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.2直线与圆的位置关系（1） 题型一、直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 题型二、判断直线与圆的位置关系 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 4．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的半径是，点O到同一平面内直线m的距离为，则直线m与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据点到直线的距离与半径比较可得结论． 【详解】解：设圆的半径为r，点O到直线m的距离为d， ，， ， 直线m与圆相交． 故选：A． 5．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键求解圆心到y轴的距离． 根据圆心的坐标，可判断出圆心到y轴的距离即为圆心的横坐标的绝对值，判断圆心到y轴的距离与半径的大小即可． 【详解】解：∵圆的圆心为点， ∴可知圆心到y轴的距离为， ∵圆的半径为4，且， ∴该圆与y轴的位置关系为相交． 故答案为：相交 ． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，以及三角形的面积求法，过O作直线，垂足为C，作出直线，令求出y的值，确定出B的坐标，得到的长，令求出x的值，确定出A的坐标，得到的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出斜边上的高，得到的长大于圆的半径1，可得出直线与圆相离． 【详解】解：如图所示，过O作直线，垂足为C， 在直线中，令，解得：；令，解得：， ∴，即， 在中，根据勾股定理得：， 又， ∴， 又圆O的半径为1， ∵, 则直线与圆O的位置关系是相离． 故答案为：相离． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．判断以点C为圆心，下列r为半径的与直线的位置关系． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】如图，过点C作，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据半径与CD的大小关系去判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ． 又， ． （1）当时，与直线相离； （2）当时，与直线相切； （3）当时，与直线相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离. 题型三、已知直线与圆的位置关系求半径 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）中，，，，以C为圆心，r为半径作， （1）若线段与相离时，r的取值范围是 ； （2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识．利用正弦函数先求得，作于．利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 如图，作于． 在中，∵，，， ∴， ∴， （1）以点为圆心，为半径的圆与线段所在直线相离， ∴的取值范围为， （2）与线段只有一个公共点， ∴的取值范围为或， 故答案为：，或． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理： （1）根据勾股定理逆定理可得，作于点D，根据，可求出，再根据直线与圆的位置关系解答，即可； （2）根据直线与圆的位置关系解答，即可； （3）根据直线与圆的位置关系，分两种情况：圆与相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 作于点D，如图， ， ∵， ∴， ∵以点C为圆心，长为半径画，且， ∴直线与的位置关系是相离． （2）解：∵直线与半径为r的相切， ∴． （3）解：∵， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，分两种情况： ①圆与相切时，即； ②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时， 此时，即． ∴r的取值范围是或． 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 题型四、已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 15．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 16．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 17．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解． 【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 18．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 题型一、圆平移到直线相切的有关计算 19．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 20．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 【详解】如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 21．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 22．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 23．（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 题型二、直线与圆的位置关系综合 24．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）如图，过点作于，当时，与所在直线相切，利用求出即可求解； （）由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点；再利用图形可求出当时，与斜边只有一个公共点，据此即可求解； （）利用（）图解答即可求解； 本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 当时，与所在直线相切， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，与所在直线相切； （2）解：由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点； 如图，可知当时，与斜边只有一个公共点； 综上，与斜边只有一个公共点时，或； （3）解：由上图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点． 题型三、有关直线与圆的位置关系的新定义问题 25．（2025九年级下·北京·学业考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． (1)已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； (2)已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； (3)已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 【答案】(1)①或；②2 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，圆的切线，一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，熟练根据题意确定“差距离”和“完美距离”的定义是解题的关键． （1）①设点，根据“差距离”的定义即可求解； ②设点，分别讨论，，即可解答． （2）设点，根据定义可得，求解即可； （3）分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点，可得，则完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边，即．证明，则为上一点到直线的距离．当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值和最大值（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值），求解范围即可． 【详解】（1）解：（1）①设点， ∵点与点的“差距离”为1，， ， 解得， 点或． ②设点， 当时，， 当时，， 当时，， 点与点的“差距离”的最大值是2． （2）解：∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵点与点的“差距离”是“完美距离”，， 则， 解得或， 当点与点的“差距离”是“完美距离”时，点的坐标为或； （3）解：如解图①，分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点， 当时，， 完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边， ． 一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， 点，点，， ． ， ． 又， ， 为上一点到直线的距离． 当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值（如解图②）和最大值（如解图③），（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值） 过点作， 可知， ， ， ， ． 26．（24-25九年级上·北京·阶段练习）【概念学习】 在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． 【概念理解】 （1）对点的“最近覆盖距离”为______________； （2）点是函数图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为2，则点的坐标为________________； 【拓展应用】 （3）若一次函数的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求的取值范围； （4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，求的取值范围． 【答案】（1）（2）或（3）或（4） 【分析】（1）求出点与原点的距离，这个距离与1的差即是所求结果； （2）设点，根据P到圆心的距离为3及勾股定理，可得关于x的方程，解方程即可求得点P的坐标； （3）设直线交y轴于点D，交x轴于点E，根据的半径与对点C的“最近覆盖距离”可得，求出，当时，，当时，可得，得，，得，得，当不垂直时，过点O作于点F，根据，得，，得,得，得；同理得，当时，得； （4）是一条倾斜角度为，长度为的线段，，当时，得；当时，得，即得． 【详解】（1）点与原点的距离为， 则对点的“最近覆盖距离”为； 故答案为： （2）由题意可知，P到圆的最小距离为2，即到圆心的距离为3， ∵点P在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴点P的坐标为：或， 故答案为：或； （3）如图，设直线交y轴于点D，交x轴于点E， ∵的半径为1，函数图像上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， ∴， ∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当不垂直时， 过点O作于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理得，当时，； 综上，或； （4）由题意可知，是一条倾斜角度为，长度为的线段， 可在圆上找到两条与之平行且等长的弦， 如果D落在上，或者E落在上，则成立， ， 当时，， 即； 当时，， 即； 综上，． 【点睛】本题主要考查了新定义——“最近覆盖距离”．熟练掌握新定义，一次函数图象和性质，两点间的距离公式，圆的基本知识，勾股定理，等腰直角三角形性质，三角形边角不等关系，分类讨论，是本题解题的关键． 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 28．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，角的特殊直角三角形的性质，掌握求圆与直线相切的点坐标是解题的关键． 由数形结合，画出圆与直线相切的情形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 当点在、时，圆与直线相切， 当点在、之间移动时，与直线相交， ， ∴ ∵， ∴ ∵与相切， ∴，， ∵， ， ∴ 同理， ∴ 故点在之间移动与直线的位置关系是相交， 点在之间移动横坐标整数点有： 3，4，5，6，7，8，9，共7个． 故选：A． 29．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理得，找出两个临界状态，即当与相切，求出此时的半径，以及当经过点时，求出此时的半径，即可求出与相交时对应的半径的取值范围． 【详解】解：当与相切，记切点，连接，则， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴此时半径为3； 当经过点B时，则为直径， ∵， ∴点在上，如图： 此时半径为5， ∴若与相交，则的半径的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 30．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)存在，，； (3)的长不变，且为12． 【分析】（1）连接，根据点和点的坐标可得出的半径，即的长，利用的坐标即可得出的坐标； （2）假设存在这样的点，根据题意，可知为等腰直角三角形，且．根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点的坐标； （3）作于，则，易证，故．从而可证为一定值． 【详解】（1）解：连接， ，， ，， 故， 即的半径为10； ， ， 即得； （2）解：假设存在这样的点，过程如下： ∵点在上，且， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形，且， 故； 结合题意有， 解之得：或， 即存在两个这样的点，即，； （3）解：的长不变，且为12．过程如下： 如图2，连接，作于， 则， 切， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 即． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $