第二十四章 圆 第8课 切线的判定 课件 -2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 第8课 切线的判定 　　1． (1)直线和圆有 ⁠三种位置关系． 　　(2)设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当d ⁠r 时，直线l与⊙O相切． 　　(3)切线的判定定理：经过半径的 并且 ⁠于这条半径 的直线是圆的切线． 相交、相切、相离 ＝ 外端 垂直 　　类型1 已知直线过半径外端，证直角 　　2． 【例1】(人教九上P98练习T1改编)如图，AB为⊙O的直径，AB ＝BC，∠C＝45°.求证：BC是⊙O的切线． 　　证明：∵AB＝BC，∠C＝45°， 　　∴∠A＝∠C＝45°. 　　∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC. 　　∵AB为⊙O的直径，∴OB是⊙O的半径．∴BC是⊙O的切线． 　　3． 如图，OA为⊙O的半径，OA＝1，OB＝2，AB＝ .求证： AB是⊙O的切线． 　　证明：∵OA2＋AB2＝12＋()2＝4，OB2＝22＝4， 　　∴OA2＋AB2＝OB2. 　　∴∠A＝90°，即OA⊥AB. 　　∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线． 　　类型2 已知直线与圆有公共点，连半径，证垂直 　　4． 【例2】如图，∠A＝25°，∠C＝40°，点A，B在⊙O上， AC过点O. 求证：BC是⊙O的切线． 　　证明：如图，连接OB. 　　∵∠A＝25°，OA＝OB， 　　∴∠ABO＝25°. 　　∴∠BOC＝50°. 　　又∠C＝40°，∴∠OBC＝90°. 　　∴OB⊥BC. 　　∵OB是半径，∴BC是⊙O的切线． 　　5． 如图，在△ABC中，点O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O 恰好经过点A，B，AD⊥BC于点D，且AB平分∠CAD. 判断BC与 ⊙O的位置关系，并说明理由． 　　解：BC与⊙O相切． 　　理由如下：如图，连接OB. 　　∵OA＝OB， 　　∴∠OAB＝∠OBA． 　　∵AB平分∠CAD， 　　∴∠DAB＝∠OAB. 　　∴∠DAB＝∠OBA． ∴AD∥OB. 　　∵AD⊥BC，∴OB⊥BC. 　　∵OB是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切． 　　 　　类型3 直线与圆无明确的公共点，作垂线，证半径 　　6． 【例3】(人教九上P98【例1】改编)如图，△ABC为等腰三角 形，点O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆 心，OD长为半径作⊙O. 求证：AC是⊙O的切线． 　　证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OA． 　　∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， 　　∴AO是∠BAC的平分线． 　　又OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD. 　　∴OE是⊙O的半径．∴AC是⊙O的切线． 　　7． 如图，在△AOB中，OA＝2 ，OB＝4 ，OA⊥OB，以点 O为圆心，4为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O的切线． 　　证明：如图，过点O作OC⊥AB于点C. 　　∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°． 　　在Rt△OAB中，由勾股定理，得AB＝ ＝10. 　　∵S△AOB＝ AB·OC＝ OA·OB， 　　∴OC＝ ＝4. 　　∵⊙O的半径为4，∴OC为⊙O的半径． 　　又OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线． 　　1． (北师九下P93习题T1改编)如图，CD是⊙O的直径，并且AC＝ BC，AD＝BD. 求证：直线AB是⊙O的切线． 　　证明：∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB. 　　∵CD是直径，∴直线AB是⊙O的切线． 　　2． (攀枝花中考)如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使 ∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切． 　　证明：如图，连接OD. 　　∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA． 　　∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. 　　∴∠A＋∠B＝90°. 　　∵∠ADC＝∠B， 　　∴∠ODA＋∠ADC＝90°. 　　∴∠CDO＝90°.∴CD⊥OD. 　　∵OD是⊙O的半径， 　　∴直线CD与⊙O相切． 　　3． (2024广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°. 　　(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；(保 留作图痕迹，不要求写作法) 　　(1)解：如图，AD即为所作． 　　(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作 ⊙D. 求证：AB与⊙D相切． 　　(2)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E. 　　∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， 　　∴DE＝DC. 　　∵DE是半径，DE⊥AB， 　　∴AB与⊙D相切． 　　4． 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB 为直径作⊙O. 当m的取值为 时，CD与⊙O相切． $$