利用二次函数求解最值问题典型题型归纳专项练（二）-2025-2026学年上学期人教版九年级数学上册

利用二次函数求解最值问题 四、利用二次函数求周长最值的问题 10.已知，抛物线y= -2与x轴交于4、B两点，与y轴交于C点， C (1)求点A、B、C三点的坐标： (2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积： (3)在(2)的条件下，在线段AP上是否存在一点M,使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出 △MBC周长的最小值；若不存在，请说明理由 11.如图，抛物线y=ax2+bx-5的图象与x轴交于A-1,0,B(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D. D (1)求此抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算 △OAC的周长；若不存在，请说明理由： (3)设点M在第四象限，且在抛物线上，当△MBC的面积最大，求此时点M的坐标.（直接写出结果） 12.如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(-3,0)两点，与y轴交于C(0,-3,直线y=x+m经 过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. E D B B A 图1 图2 (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式； (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； (3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点(M在N的右侧)，且MN=2, 若将线段MNW在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值. 五、利用二次函数求面积最值的问题 13。如图，抛物线经过4-101,50，cQ-引三点。 2 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标： (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标， 14.如图，抛物线y=ar2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 A-3,0),B(1,0),C(0.3. B (1)求抛物线的解析式： (2)求点B到直线AC的距离： (3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当△APC的面积最大时，点P的坐标以及最大面积. 15.如图，己知抛物线经过点A(-1,0),B3,0),C(0,3)三点. M B (1)求抛物线的解析式： (2)点M是线段BC上的点（不与B,C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m, 请用含m的代数式表示MW的长： (3)在(2)的条件下，连接NB,NC,是否存在点M,使△BNC的面积最大？若存在，求出最大值及点 M的坐标；若不存在，说明理由. 综合练 1.如图，二次函数y=-x2+nx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0). (1)求二次函数的解析式， (2)若点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段 PC长度的最大值 2.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A-1,0),B(m,0)两点，与y轴相交于点C0,-3),抛 物线的顶点为D. H M B (1)求抛物线的解析式： (2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,求线段PM长 度的最大值 (3)若点E在x轴上，且∠ECB=∠CBD,直接写出点E的坐标. 3.如图，二次函数的图像与x轴交于A-3,0)和B1,0)两点，交y轴与点C(0,3,点C,D是二次函 数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B,D (1)求二次函数解析式： (2)求出顶点坐标和点D的坐标： (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M,使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在， 请说明理由， (4)若Q是线段BD上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交抛物线于点P,则点P坐标为多少时，P2最长？ 4.如图，已经抛物线经过点00,0)，A(5,5),且它的对称轴x=2. X=2 (1)求此抛物线的解析式： (2)若点B是抛物线线上的一点，当△0AB的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当PA-PO的值最大时，求P的坐标以及PA-PO的最大值. 答案 四、利用二次函数求周长最值的问题 0.(1)解：当=0时，y=)2-2=0 解得x1=2,x2=-2; :A点坐标为-2,0)，B点坐标为2,0)； 1 当x=0时，y=。×02-2=-2, C点坐标为0，-2. (2)解：B2,0),C0,-2), ·.设直线BC的解析式为：y=-2,把B(2,0)代入，得：k=1: :直线BC解析式：y=x-2. :AP∥CB,设直线AP的解析式为：y=x+h,把A-2,0)代入得： -2+h=0,h=2: 则直线AP解析式为：y=x+2, =x-2 ( 联立解析式有： 2 y=x+2 x=-2 x=4 解得 y=0’ (y=6 P点坐标为4,6)： 马aw=5x+5w4B,-为-2×4x8=16. (3)解：存在. 延长CA到点C,使AC'=AC,过点C作CD⊥x轴于点D,连接BC', A-2,0,B2,0,C(0,-2, .0A=0B=0C=2, .∠0AC=∠0BC=45°， :AP∥BC, .∠PAB=∠0BC=45°， ∠PAC=90°， ∴C与C关于AP对称，且A为CC'的中点， C'点坐标为-4,2)，MC=MC', .△BMC的周长为：BC+BM+CM=BC+BM+C'M≥BC+BC', .当M在线段BC'上时，△BMC的周长最小， 12 同(2)法可得：直线BC'的解析式为=3x+号 y=x+2 联立方程组 12, y=3+ x=-1 解得y=1 :点M的坐标为-1,1； 此时，MC=V0+12+(-2-12=V10,MB=V2+1+12=1o,BC=V22+22=2V2, :△MBC的周长最小值为2√2+2√10； :在线段AP上存在一点M(-1,1,使△MBC的周长最小为22+2V0. 11.(1)解：将点A-1,0),B(5,0代入y=ar2+bx-5, a-b-5=0 25a+5b-5=0 a=1 解得： 1b=4 .此抛物线的解析式为y=x2-4x-5; (2)解：如图，连接AC,BC,BC交直线x=2于点Q, A,B关于直线x=2对称， :OA=AB, △ACQ的周长为AC+CQ+AQ=AC+CQ+QB=AC+BC,此时△ACQ的周长最小， :y=x2-4x-5,令x=0,得y=-5, C(0,-5), 设直线BC的解析式为y=c+b,将点B(5,0),C(0,-5)代入得， 5k+b=0 b=-5 k=1 解得： 1b=-5’ :直线BC的解析式为y=x-5, y=x-5 (x=2, x=2 y=3 02,-3), :A-1,0,B5,0,C(0,-5), ·AC=V12+52=√26，BC=V52+52=5V2 .△ACQ的周长的最小值为：AC+BC=√26+5V2: (3)解：如图，过点M作MN⊥x轴，交BC于点N,设Mm,m2-4m-5),则N(m,m-5), B M D :△MBC的面积为2MN×OB -号m-5-m244m+列x5 m2+ 2 2 m, 25 2 当m=- 2时，△MBC的面积最大 当m时，m4m-5=8.73 .M(2.5,-8.75 12.(1)解：把B(-3,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c, 9-3b+c=0 b=3 得 c=-3 ,解得 c=-3 .抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)直线经过点B(-3,0, 直线BE的表达式为y=x+3. y=x2+2x-3 由 y=x+3 解得 x=2x=-3 或 y=5y=0 E(2,5). :直线BE交y轴于点D,在y=x+3中，令x=0,则y=3, D0,3. 1 1 ∴SARCE=SARCD+SACDE=5×6×3+5×6×2=15. 2 (3)“E,F为定点， 线段EF的长为定值， :当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小 如解图，将点F向右平移2个单位长度得到点F,作点E关于x轴的对称点E,连接E'F'与x轴交于 点M,过点F作FN∥E'F'交x轴于点N,则EM=E'M,FN=FM, D F B A IN O E :E',M,F'三点共线， .EM FN E'M F'M E'F', 此时EM+FN的值最小. :y=x2+2x-3=(x+1)2-4, :抛物线的对称轴为直线x=-1. B-3,0),D(0,3, .直线BD的表达式为y=x+3 “点F为直线y=x+3与x=-1的交点， F(-12), F'1,2). E(2,5), E'(2,-5), E'F'=V2-12+(-5-22=52, :EM+FN=52. :E(2,5,F(-1,2, ·EF=V2+1)2+(5-2)2=3V2 :EM+FN+EF+MN=5v2+3vV2+2=8V2+2. .四边形MEFN周长的最小值为82+2. 五、利用二次函数求面积最值的问题 13.(1)解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 把4-1o,Ba50,c0-入y=ar2+br+e得 0=a-b+c 0=25a+5b+c, 5 (2-c a- 解得b=-2, 5 c=-2 这个二次函数的解折式是：y方-2弓 2 (2)解：y=-2 51 2 22x-22-9 :抛物线的对称轴为x=2, 连接CB,如图所示： 设直线BC的解析式为y=kx+m(k≠O), (0=5k+m 5 1 k=- 2 解得 m=- 2 :直线BC的解析式为y之，