22.3实际问题与二次函数--销售问题典型题型归纳专项练（二）-2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 六、与二次函数图形结合的销售问题 20． 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 21． 小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图： (1)单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________． (2)请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利单株售价单株成本）． 22． “加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 七、图象分段类销售问题 23． 某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 24． 某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 八、解析式分段类销售问题 25． 商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 26． 某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 九、自变量分段类销售问题 27． 为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 答案 六、与二次函数图形结合的销售问题 20． (1) (2)月份 (3)万元 （1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 21． (1)， (2)5月份 （1）解：由题意可设，代入点可得： ， 解得：， ∴， 设，代入点得：，解得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ． ∵， ∴当时，取得最大值． 答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大． 22． (1)，； (2)5； (3)12月底两种软件累计利润和能达到60万元． （1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：解不等式， 得，， 观察图象，当时，直线在二次函数的图象的上方，且都在轴的上方， ∴5月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高； 当时，（万元）； 故答案为：5；； （3）解：能， 由题意得，， 整理得， 解得（舍去），， 答：12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 七、图象分段类销售问题 23． (1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 （1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 24． (1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 （1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 八、解析式分段类销售问题 25． (1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 （1）解：与之间的变化规律符合一次函数关系， 设， 把，和，代入，得： ， 解得：， ， 当时，， 答：在第天的日销售量是； （2）解：设利润为元， 当时， ， 当时，取得最大值，元； 当时， ， 当时，取得最大值，元； ， 综上，当时，元， 答：第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 26． (1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． （1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 九、自变量分段类销售问题 27． (1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 （1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 学科网（北京）股份有限公司 $