专题02 直线与方程（7大考点36题）（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线与方程 ☆7大高频考点概览 考点01直线的倾斜角 考点02直线的斜率及范围 考点03己知直线平行求参数 考点04己知直线垂直求参数 考点05求直线方程 考点06点到直线的距离及平行线间的距离 考点07定点问题 考点01 直线的倾斜角 一、单选题 1.(2425高二上湖南临湘第二中学期中)直线y=s加石的颅斜角为() A.90° B.60° C.30° D.0° 2.(24:25高二上湖南长沙芙蓉高级中学期中)直线’=-x+ 的倾斜角为() π A.-1 B.4 D. 3.24-25高二上湖南永州祁阳县第四中学期中)直线”=-V3x+2 的倾斜角是() 60 A.30° B C.120 D.150 考点02 直线的斜率及范围 一、单选题 4。(24,25高二上湖南长沙芙蓉高级中学期中)若直线'=+1与圆-2+少=4， 相交，且两个交点位于 1/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 坐标平面的同一象限，则k的取值范围是() A. 到 二、多选题 5.(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期中)下列四个命题中正确的是() PL,-1) A.过定点”，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程 x-y-2=0 B.过定点PL,-)的直线与以M-3,6,2)为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为k≤-) 2 或≥3 C.定点O1,0到因x+少+-3=4上的点的最大距离为店-2 D.过定点O1,0 且与圆x+1少+0-3)2=4 5x+12y-5=0 相切的直线方程为 或rs1 目 考点03 己知直线平行求参数 一、 填空题 6.(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)己知直线： 线：3x-y+2=0,4:m-y+1=0.若/ 则m=一· 二、单选题 7.(22-23高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)若4：x-mv-1=0与4：(m-2r-3y+1=0 两条不 同的直线，则4/5”是“m=3,的（) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 2/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.2425高二上湖南祁阳第一中学月考尼知直线r+y+1=0与2x+(a-1y+1=0平行，则实数“的值 是() A.2或-1 B.-1 C.-2或1 D.2 A3,2)B(-1,4) mx+y+3=0 9.(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)己知两点 和 到直线 的距离相等， 则实数m的值为() 1 1 A,6或对 B.2或1 c.2或对 D.0或对 三、多选题 x-3y+1=04x+3y+5=0 10.(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知三条直线 mx-y-1=0 能构成三角形，则实数m的取值可能为() A.2 B.-3 C.3 4 D.3 四、解答题 1.24-25高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)已知直线：3x+(m-2y+6=0,4:x+y-2=0」 其中n、m∈R」 ①若直线经过点22，且，求”的值 1Wl2 (2)若直线 ,当直线与直线的距离最大时，求直线的方程. 考点04 己知直线垂直求参数 一、单选题 3/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 12.(24-25高二上~湖南湖湘教育三新探索协作体期中)m=0”是“直线 :mx+4y+2=0 与直线 2:x+my+1=0 垂直”的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.23-24高二上湖南部分校联考期中)设直线：xsi血9-ycos8=1,4:v5x+y-1=0,若411，则0可 以为() B.3 2π C. 元 D.6 二、填空题 14.(2425高二上湖南长沙明德中学期中)记知直线4：x+(2-)y+1=0与4：+2y+3=0垂直，则k- 三、解答题 :(3+m)x+4y=5-3m12:2x+(5+m)y=8 15.(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)已知直线 和 ①若与平行，求m的值： (2)若与垂直，求m的值. 考点05 求直线方程 一、单选题 16.(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)下列说法正确的是() y-y_x-x A.过(x,y,(x,y2两点的直线方程为-为-x 4/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.过点41,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为-y+3=0 C.点山0关于直线”=的对称点为-，0 x-y-4=0 D.直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是8 17,23-24高二上潮南邵阳新邵县第三中学期中)已知直线：√5x-y+1=0,则下列结论正确的是(） A。直线，的顿斜角是名 B.直线，在轴上的截距为1 C.若直线m:x-v5y+1=0,则LmD.过25,2)与直线平行的直线方程是V3x-y-4=0 18.(24-25高二上·湖南浏阳期中)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重 心、垂心在同-条直线上这条直线被称为“欧拉线”已知△ABC的顶点4-30，B(3,0,C3,3引，则 △ABC的欧拉线方程为(） A.2x-y-1=0 B.2+-0 C.x+2-3=0 x-2y+1=0 D. g,45上名按中诺过点的直袋的有为c,月oa为 5,则1的方程为 () x-2y+3=0 A. B.x-2-3=0 2x-y+3=0 D.2x-y-3=0 20②34商=上湖商常德年分学校)若直线，2xy+3=0关于直线6-少+2=0 对称的直线为， 则”的方程为() 2x+y+1=0 A. B.x+2y-1=0 5/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x+y=0 x-2y+3=0 c. D 21,23-24高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)一条光线从P64射出，经直线=-1后反射， 反射光线经过点(2,0) 则反射光线所在直线方程为() 3x-5y+2=0 5x-3y-10=0 A. B 5x+3y-10=0 D.3x-5y-6=0 二、多选题 2.2324高二上湖南三湘名校教有联盟期中)已知直线：：-y+2k+1=0和圆0：P+少=8，则 () A.直线'恒过定点2,1 B.直线I与圆O相交 C.存在*使得直线与直线：-2少+4= 平行 D.直线'被圆截得的最短弦长为25 23.23-24高二上湖南名校联合体期中)圆2：r+y-2r=0和圆2：r+严+2r-4y=0的交点为4， B,则() -y=0 A.公共弦B所在直线的方程为 B.线段1B中垂线方程为 x+y-1=0 C公关法B的长为号 D.P为四Q上一动点，则到直线距离的鼓大值为号 6/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 三、填空题 24.23-24高二上湖南长沙长沙县第二中学期中)已知点A12,B(3.4,则线段4B的垂直平分线的方 程是一 25.(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学期中)求过点 A2,3) 且截距相等的直线方程一 x2,y2 =1 26.(23-24高二上湖南永州江华瑶族自治县第二中学·期中)过椭圆43的左顶点，且与直线 2x-y+1=0 平行的直线方程为一· 四、解答题 27.(23-24高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)回答下面两题 ①求过12,5)，B-3,-2两点的一般式方程： 2求过点1-3,4)且与直线'：3x-4y+29=0平行的直线 1:3x-2y-6=0 28.(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)己知直线 ()若直线过点M-2),且1/ “,求直线的方程： ②者直线，且直线与直线'之间的距商为 13,求直线的方程， 29.(23-24高二上湖南三湘名校教育联盟期中)在平面直角坐标系0y中，存在四点40,1，B7,0), C(4,9)D(1,3) (I)求过A,B,C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； (2)若过D点的直线1被圆M截得的弦长为8，求直线1的方程. 7/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点06 点到直线的距离及平行线间的距离 一、单选题 1:3x-4y+2=0,l2:3x-4y-8= 30.(23-24高二上·湖南娄底涟源第二中学·月考)直线 ,则直线与之间 的距离为() A.1 B.2 C.5 D.8 二、解答题 31.(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)已知直线 线.3+4y-2=0与：2x+y+2=06 的交点为 P (①)求过点P且平行于直线： x-2y-1=0 的直线方程： 2求过点P且垂直于直线5，x-2y-1= 直线方程： 3x+4y-2=0 (3)求平行于 且与其距离为3的直线方程. 考点07 定点问题 一、多选题 32.(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知直线 :(m+2)x+3-m)y-5=0 过定点P则下列结论正确的是 () 1,1 A.P的坐标为 5 B.当m=1时，I在y轴上的截距为 6x+y+3= C.若l与直线 垂直，则m=3 8/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D.点P在圆 2+y2+4x-2y=0 的外部 33.23-24高二上湖南长沙长那中学期中)已知PeR,直线： .{x-py+p-2=0 过定点A,2: px+y+2p-4=0 过定点B,4与交于点M,则下列结论正确的是() A.41g B.MA:MB的最大值是25 C.点M的凯迹方程是+-5x=0D.M+2M8的是大值为55 34.(2425高二上湖南长那十八校对于直线m-2列+y-2m+1=0与圆C:x+)2-6x-4y+4=0, 下列说法正确的是() A.直线'过定点32刘 B.直线I与圆C不可能相切 C.直线1被圆C截得的弦长的最小值为6 D.圆上一点到点P0,-2的最大距离为8 二、解答题 35.23-24高二上湖南部分校联考期中)已知因C:(x-+0)-2沙=6，直线 l:(2m+1)x+(m+2)y-3m-6=0 (1)求证直线恒过定点： (2)直线被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短弦长. 36.(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知圆 :(+1+0-2=25,直线 1:(2+ax+(1+ay+a=0 ()求证：直线1恒过定点： 9/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)直线I被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时α的值以及最短弦长 10/10 专题02 直线与方程 7大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线的斜率及范围 考点03 己知直线平行求参数 考点04 己知直线垂直求参数 考点05 求直线方程 考点06 点到直线的距离及平行线间的距离 考点07 定点问题 地 城 考点01 直线的倾斜角 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南临湘第二中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线的倾斜角与斜率有关，先求直线斜率，再得到倾斜角. 【详解】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为. 故选：D. 2．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，所以. 故选：C. 3．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)直线的倾斜角是（    ） A．30° B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据斜率的定义即可求得倾斜角. 【详解】由直线方程，得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，则， 故选：C. 地 城 考点02 直线的斜率及范围 一、单选题 4．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像求出直线与圆相切和过点时的斜率，即可写出斜率k的取值范围. 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限， 又直线过定点， 所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示， 又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，， 如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得， 结合图像可知， 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期中)下列四个命题中正确的是（    ） A．过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C．定点到圆上的点的最大距离为 D．过定点且与圆相切的直线方程为或 【答案】BD 【详解】A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离为错误； D：圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 故选：BD 地 城 考点03 己知直线平行求参数 一、填空题 6．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)已知直线：，：．若，则 ． 【答案】 【分析】利用直线平行的条件即可求解. 【详解】由已知两条直线平行，应当满足关系，解得. 故答案为：. 二、单选题 7．(22-23高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)若与是两条不同的直线，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断. 【详解】由题意，若，则，解得或， 经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件， 故选：C． 8．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知直线与平行，则实数的值是（    ） A．2或 B． C．或1 D．2 【答案】B 【分析】根据两直线平行，斜率相等可求得结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，， 当时，两直线重合，舍去， 所以实数的值是. 故选：B. 9．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由两点到直线距离相等可得直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求可得结论． 【详解】依题意得，直线过线段的中点，或与直线平行. 线段的中点坐标为，且在直线上， ，解得； 由两直线平行知，解得. 因此的值为或， 故选：A 三、多选题 10．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 四、解答题 11．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知直线，，其中、. (1)若直线经过点，且，求的值； (2)若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行得到方程，解出即可； （2）首先求出两直线所过定点，再得到距离最大时的状态，最后根据两直线垂直得到斜率关系即可. 【详解】（1）由直线过，则，此时 当时，，解得，经验证此时两直线平行. （2），即，当，，则直线恒过定点， ，令，则，则直线恒过定点， 故当且与和的连线垂直时，与的距离最大， 因为两定点连线斜率为，则此时的斜率为， 故， 直线的方程为:. 地 城 考点04 己知直线垂直求参数 一、单选题 12．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为直线与直线垂直， 等价于，即， 所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：A. 13．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程得，从而可得，解三角方程即可得答案. 【详解】因为直线，，且， 则，所以，即 所以，故可以取到. 故选：A. 二、填空题 14．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)已知直线与垂直，则 . 【答案】4 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】由两直线垂直得，，解得. 故答案为：4. 三、解答题 15．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【详解】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 地 城 考点05 求直线方程 一、单选题 16．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)下列说法正确的是（    ） A．过，两点的直线方程为 B．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 【答案】D 【分析】根据直线方程的形式，结合直线的截距，对称的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，当或时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误； 对于B，当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，故B不正确； 对于C，设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点关于直线的对称点为，故C错误； 对于D，直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确. 故选：D 17．(23-24高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD. 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 18．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，，， 可知的重心为点，即点， 由题意，可知， 所以的外心为斜边的中点，即点， 所以的欧拉线方程为，即. 故选：C. 19．(24-25高二上·湖南名校·期中)若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案. 【详解】由及，可得， 所以的斜率， 所以由点斜式方程得的方程为: ，即. 故选：C. 20．(23-24高二上·湖南常德部分学校·)若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 21．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 二、多选题 22．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知直线：和圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．存在使得直线与直线：平行 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【分析】选项A，把直线化成形式 ，求出定点即可；选项B，判断点到圆心的距离与半径的关系；选项C，用平行直线的特征求出即可；选项D，弦长公式求出即可. 【详解】对于A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误； 对于B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，B正确； 对于C，因为直线：的斜率为，所以直线的斜率为，此时直线的方程为，直线与直线重合，故C错误； 对于D，设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：BD. 23．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】AB 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则A可判断；求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则B可判断；求出其中一个圆的圆心到直线AB的距离，则公共弦AB的长可求；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值. 【详解】对于选项A，因为圆，， 两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于选项B，圆的圆心为，， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确； 对于选项C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C不正确； 对于选项D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 24．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出中点的坐标，利用两直线垂直得到所求直线的斜率，点斜式写出方程，再化为一般式． 【详解】线段AB的中点为，，故垂直平分线的斜率， 线段AB的垂直平分线的方程是，即 故答案为： 25．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)求过点且截距相等的直线方程 . 【答案】或 【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点A的坐标代入即可得出． 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：； 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 26．(23-24高二上·湖南永州江华瑶族自治县第二中学·期中)过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】由已知求出椭圆左顶点，利用平行直线斜率相等结合点斜式方程可得答案. 【详解】由椭圆知，，所以左顶点为， 又所求直线与直线平行， 所以斜率， 故直线方程为，即. 故答案为： 四、解答题 27．(23-24高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点求直线的斜率，再将点斜式直线方程化简为一般方程； （2）设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，, 则直线的方程为， 化简为一般式直线方程为； （2）设与直线平行的直线方程为， 代入点，得，得， 所以直线方程为. 28．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 29．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)在平面直角坐标系中，存在四点，，，. (1)求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； (2)若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程. 【答案】(1)，D在圆M内； (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是3， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 地 城 考点06 点到直线的距离及平行线间的距离 一、单选题 30．(23-24高二上·湖南娄底涟源第二中学·月考)直线，则直线与之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 【答案】B 【分析】利用平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】根据平行线距离公式知直线与之间的距离为. 故选：B 二、解答题 31．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)已知直线：与：的交点为. (1)求过点且平行于直线：的直线方程； (2)求过点且垂直于直线：直线方程； (3)求平行于且与其距离为3的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求解两直线的交点的坐标是，根据所求直线与直线： 平行，设所成直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （2）根据所成直线与已知直线：垂直，设所成求直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （3）根据平行关系设直线方程为，根据题意利用两平行线间距离公式运算求解. 【详解】（1）由 解得，所以点的坐标是， 因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得 ，得， 故所求直线的方程为． （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得，得， 故所求直线的方程为． （3）设平行于的直线方程为， 由题意可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 地 城 考点07 定点问题 一、多选题 32．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知直线过定点则下列结论正确的是（    ） A．P的坐标为 B．当时，l在y轴上的截距为 C．若l与直线垂直，则 D．点P在圆的外部 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点问题判断A，根据截距的定义判断B，根据直线垂直公式列方程求解判断C，根据点与圆的位置关系判断D． 【详解】对于A，由题意得直线，即， 由，解得，故A正确； 对于B，当时，直线l为，令，， 所以在y轴上的截距为，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确. 故选：ABD 33．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值是25 C．点M的轨迹方程是 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据直线垂直求参判断A选项，应用基本不等式判断B选项，根据两条线垂直及求轨迹方法判断C选项，应用三角换元及辅助角公式判断D选项. 【详解】对于A，，∴，A正确； 对于B，恒过定点，恒过定点， 由选项A正确可推得，时等号成立，∴的最大值是，B错误； 对于C，设，则， 化简有，C错误； 对于D，设，，则，， ∴，即的最大值为，D正确. 故选:AD. 34．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)对于直线与圆，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线与圆不可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为6 D．圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】对于A：可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确.    故选：BD. 二、解答题 35．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知圆，直线. (1)求证直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)；最短弦长为4 【分析】（1）将直线方程整理为，列方程组，求得定点坐标，即可得证； （2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线斜率，由两点间的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可． 【详解】（1）证明：直线，可化为， 联立，解得． 故直线恒过定点． （2）圆，圆心，半径 设，则点在圆内，故当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 因为直线的斜率为． 故直线的斜率为，解得． 此时圆心到直线的距离为， 所以最短弦长为． 36．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线l恒过定点； (2)直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将直线l化为求解定点即可； （2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，先由与最短弦所在直线互相垂直，利用斜率关系求解直线的方程，最后利用几何法由求弦长. 【详解】（1）直线，即， 联立解得 所以不论a取何值，直线l必过定点 （2）由，知圆心，半径为. 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 有，解得 此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $