专题04 椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质（8大考点60题）（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

专题04 椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质 8大高频考点概览 考点01 曲线与方程 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 考点03 求椭圆方程 考点04 椭圆中的性质综合及离心率 考点05 根据方程表示双曲线求参数的范围 考点06 求双曲线方程 考点07 双曲线中的性质综合及离心率 考点08 抛物线 地 城 考点01 曲线与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．曲线关于直线对称 C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为 D．若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则 【答案】BCD 【分析】根据图象关于点对称的定义判断A，根据图象关于直线对称的定义判断B，利用方程研究曲线的范围可判断C，由题意建立不等式求解可判断D. 【详解】对选项A：设曲线上有一点，则①，而点关于原点对称的点为，若曲线关于原点对称，则也应在曲线上，则有②；联立①②，得，此时无解，故A错误； 对选项B：设曲线上有一点，则③，而点关于对称的点为，若曲线关于对称，则也应在曲线上，则有④；联立③④，得，即，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该曲线的对称轴，故B正确； 对选项C：由原方程得，解得，所以C正确； 对选项D：由原方程得，由题意知，当时有点在曲线上，因为，所以在上有解，即在上有解，又因为函数在上单调递减，所以，所以D正确. 故选：BCD. 3．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点，动点满足，动点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（   ） A．曲线经过坐标原点. B．曲线的图象关于轴对称. C．点的轨迹方程为. D．面积的最大值为3. 【答案】BCD 【分析】对于AC，由确定轨迹方程即可判断，对于B，通过换成即可判断，对于D，通过轨迹方程确定点纵坐标的最大值即可判断. 【详解】已知定点为，因为动点满足， 所以点的轨迹方程为，代入原点坐标不满足方程，所以A错误， 代入，方程仍然成立，所以B正确， 两边同时平方可得，所以C正确， 整理得，所以， 此时，当且仅当时，取得最大值3，所以D正确， 故选：BCD 4．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于坐标轴对称 B．点P到原点距离的最大值为 C．周长的最大值为 D．点P到y轴距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出曲线的方程，由对称的性质判断A；求出的范围结合两点间距离计算判断B；利用基本不等式求出的最小值判断C；结合曲线的方程确定成立判断D. 【详解】设，由，得，整理得， 若点在曲线C上，显然，都满足方程，即点，也在曲线C上， 因此曲线C关于坐标轴对称，A正确； 由，得，解得，当且仅当时取等号， 因此点P到原点的距离， 于是当时，点P到原点距离取得最大值，B正确； 显然的周长为，当且仅当时取等号，C正确； 由曲线的方程，得， 当时，，即，两边平方解得， 即当曲线的点满足时，点到轴距离，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 5．(24-25高二上·湖南永州第一中学·期中)已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（   ） A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹可能是一个定点 C．点的轨迹不可能是圆 D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】对A，如图1，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对； 对B，如图2， 当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对； 对D，如图3，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对； 对C，当点与点重合时，如图4， 则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点， 此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错. 故选：ABD. 6．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹．则下列结论正确的有（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上存在点，使得 C．曲线上存在点，使得四边形的周长为9 D．若点在曲线上，则面积的最大值为4 【答案】AD 【分析】对于A，对于曲线上的任意点，说明也在曲线上即可判断；对于B，由假设时，可推得，排除B项，对于C，由四边形的周长为9，推得曲线不存在，排除C项，对于D，通过条件放缩，推得，知点应在椭圆内（含边界），两个曲线仅有一个公共点，由即可求得的面积最大值. 【详解】设曲线上任取点，依题意，, 代入和，可得. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线关于轴对称，即A正确； 对于B，若，则,此时曲线不存在，故B错误； 对于C，若四边形的周长为9，因， 故得，此时曲线不存在，故C错误； 对于D，因，故点应在椭圆内（含边界）， 因曲线与椭圆有唯一的公共点，此时, 故当点为时，的面积最大，为，故D正确. 故选：AD. 7．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】求出三棱锥的底面积和高即可判断A项；作出截面图形即可判断B项；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项；分在各个面内讨论，可判断D项. 【详解】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误； 选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点， 连接，，，，延长，一定与交于一点， 所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，    则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为， 设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确； 选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，，，设，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，所以C正确； 选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°， 若点在平面和平面内，因为，，故不成立； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；    故选：BCD． 8．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)如图，正方体的棱长为1，P为侧面（含边界）内的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）    A．点P的运动轨迹的长度为 B．的长度为定值 C．当CP最小时，三棱锥的体积为 D．存在点P，使得直线和平面所成的角为 【答案】AB 【分析】首先建立坐标系，利用坐标表示，求得点的轨迹，即可判断A，再根据几何关系求，并利用等体积公式求三棱锥的体积，即可判断BC，利用线面角的向量公式，即可判断D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，， ，， ， 得，即， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆弧， 对于选项A：因为点为侧面（含边界）内的动点， 所以点的轨迹为圆弧，长度为，故A正确； 对于选项B：如图，连结，因为平面，平面， 所以，，中，所以，故B正确；    对于选项C：点是圆弧外一点，所以的最小值是，此时点是与圆弧的交点， 此时点平面的距离为点到的距离， 三棱锥的体积，故C错误；    对于选项D：，平面的法向量为， 设直线和平面所成的角为，若存在点，使 则， 因为，可得， 故不存在点P，使得直线和平面所成的角为，故D错误. 故选：AB. 三、解答题 9．(23-24高二上·河北部分高中·期中)已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程. （2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以， 故E的方程为． （2）设，， 若A，B是E上两点，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，则直线AB的方程为． 联立方程组，整理得，其中， 则，， ． 10．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线互相垂直得，应用直译法即可求轨迹方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，结合弦长公式即可，再应用换元法转化为二次函数的最值. 【详解】（1）设，依题意，，且. 所以，整理得. 故点的轨迹方程为； （2）依题意，. 过作平行于的直线交于，两点，由对称性知. ①当的斜率为0或斜率不存在时，； ②当的斜率存在且不为0时，设：，，. 联立方程消元得：. ，故， 同理，. 故. 令，，则， 其中， 故. 综上，. 11．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.    (1)求点的轨迹的方程； (2)当时，点的轨迹方程记为. （i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）没有交点，理由见详解；（ii） 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【详解】（1）设， 因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. （2）若，则的方程为，即， （i）与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ⅱ）由题意可知：，    设，则直线， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 12．(23-24高二上·湖南常德部分学校·)动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，得到方程，化简得到曲线C的方程； （2）设出直线l，联立曲线C的方程，得到两根之和，两根之积，由四边形为平行四边形得到，设，得到，代入椭圆方程中，得到，表达出和坐标原点到直线l的距离，求出的面积等于. 【详解】（1）设点，依题意可得， 化简得， 所以曲线C的方程为. （2）证明：设，，直线l：. 由，消去y得， 则， ，， 则， 因为四边形为平行四边形，所以. 设，则， 又因为，即，得， 所以 ， 因为坐标原点到直线l的距离， 所以的面积为， 所以的面积为定值.    【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 地 城 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、多选题 13．(24-25高二上·湖南临湘第二中学·期中)若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】AC 【分析】根据椭圆方程满足的关系，列不等式即可求解. 【详解】因为为椭圆的方程，所以解得或， 故选：AC 14．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 地 城 考点03 求椭圆方程 一、单选题 15．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期中)长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或. 故选：C. 16．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果. 【详解】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为， 联立，解得，， 根据，得，则椭圆方程是. 故选：D. 17．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 二、解答题 18．(23-24高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）写出已知椭圆参数，结合共焦点及椭圆所过的点求椭圆标准方程； （2）根据虚轴长、离心率及双曲线参数关系求双曲线参数，即可得双曲线标准方程. 【详解】（1）由，可知，令所求椭圆为且， 则且在椭圆上，可得，故，， 所以，所求椭圆标准方程为. （2）由题意，令双曲线为且，， 所以，故所求双曲线标准方程为. 19．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知椭圆经过点，且右焦点为 (1)求C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F，以EF为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)以EF为直径的圆过定点, 【分析】（1）根据条件求出a，b，即可得椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出E，F坐标，通过，求出，即可求得定点坐标 【详解】（1）由题意，，， 所以， 故C的标准方程为 （2）以EF为直径的圆过定点，理由如下： 设直线l的方程为，联立椭圆方程， 消去x，整理可得， 则，且， 由直线AM方程为，令，求得点 由直线AN方程为，令，求得点 由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上， 设该定点为，则，， 可得 由，解得， 故以EF为直径的圆过定点, 20．(24-25高二上·湖南邵东创新高级中学·期中)（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点和点，解出即可； （2）由椭圆的定义求出，设点，由直线AM与AN的斜率之积为－得到方程①，又由点在椭圆上得到方程②，联立解出即可； 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为点和点在椭圆上，所以，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. （2）由的周长为，可知， 解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得， 即．① 又，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 21．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据焦距和点在椭圆上，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）先考虑平行于轴时，得到点在轴上，可设的坐标为，再考虑当垂直于轴时，求出点的坐标为，再验证当不平行于轴且不垂直于轴时，也满足要求，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，故， 又在椭圆上，故， 因为，解得， 故椭圆方程为； （2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于C，D两点， 如果存在点满足条件，则有，即， 所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点满足条件， 则有，即，解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，     设，联立，消去，得， 因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立， ，， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线，所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略： （1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立； （2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可. 22．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求椭圆C的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由已知易知的值，得椭圆C的方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及，可得，即可得证； （3）设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理可得弦长，再根据点到直线距离可得，再根据点在椭圆上，可得，进而可得，再利用二次函数的性质求得最值. 【详解】（1）由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，，    则椭圆方程：. （2）设直线方程为，，， 由，消去x得，， ， 则，， ， ， 又点在椭圆上，则，即， 则， 即，则， 即 ， 解得，此时， 即直线的方程为， 所以直线恒过定点. （3）设直线的方程为，，，    由，消去得， ，即， 则，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 又，， 所以 ， 所以 则当即时，取最大值为. 【点睛】关键点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 23．(24-25高二上·湖南名校·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）由已知求得即可得； （2）设，得，代入后可求得取值范围； （3）设直线的方程为，直线方程代入椭圆方程整理后可得，求出中点的坐标，再求得点坐标，代入椭圆方程得的关系式，结合韦达定理中，可求得得直线方程．也可设点，得，代入椭圆方程求得，从而得点坐标，利用是中点（把坐标代入椭圆方程相减）求得直线斜率后可得直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 因为的短轴长为2，所以， 所以的方程为. （2）设，则， 易知， 所以 . 因为，所以， 所以的取值范围是. （3）方法一：由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得， 所以，即， . 因为的中点为，所以，① . 因为点为线段的中点，所以， 将点的坐标代入，得，与①式联立， 解得或均满足， 所以直线的方程为或， 即，或. 方法二：设点，则，由题意知直线的斜率存在，所以. 将点坐标代入的方程，得，解得，所以. 若与的中点重合，则. 由点在上，得两式相减，得， 整理可得. 当点坐标为时，， 当点坐标为时，， 所以直线的方程为或， 即或. 【点睛】方法点睛：已知椭圆的弦中点坐标，设弦两端点坐标为，代入椭圆方程有，两式相减得： ，时，，即为弦所在直线斜率． 24．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知椭圆的右焦点，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）先考虑斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题设，斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：直线方程为：或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点. 地 城 考点04 椭圆中的性质综合及离心率 一、单选题 25．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)5．已知，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，为等腰三角形，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 故选：B. 26．(24-25高二上·湖南名校·期中)6．6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（    ） A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.97 【答案】D 【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得. 【详解】解析设该椭圆的半焦距为，长半轴长为， 根据题意有，可得，， 所以离心率. 故选：D. 27．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)7．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：点在以为直径的圆上，即，根据得到离心率的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以. 故选：C. 28．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)8．焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 二、多选题 29．(22-23高二下·湖南常德第一中学·期中)关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确； 因为所以长轴长是，故B错误， 因为，所以，离心率，故A正确. 故选：ACD 30．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判断A和B；设椭圆上一点，求得，根据二次函数的性质可求最值，进而判断C和D. 【详解】对于AB，由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距，离心率为，故A不正确，B正确； 对于CD，由圆，得圆心，半径， 设椭圆上任意一点， 则， 令，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，故C正确，D不正确. 故选：BC. 三、填空题 31．(23-24高二上·湖南永州江华瑶族自治县第二中学·期中)过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】由已知求出椭圆左顶点，利用平行直线斜率相等结合点斜式方程可得答案. 【详解】由椭圆知，，所以左顶点为， 又所求直线与直线平行， 所以斜率， 故直线方程为，即. 故答案为： 32．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是 .    【答案】 【分析】将表示为三角函数的形式，然后根据三角恒等变换以及三角函数最值的知识求得的最大值. 【详解】由图知， 则，设， 则， 则 ， 由于， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆的离心率，方法有很多，如根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，先求得，然后利用求得椭圆的离心率. 地 城 考点05 根据方程表示双曲线求参数的范围 一、单选题 33．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 34．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·期中)变化时，方程表示的曲线的形状可以是（     ） A．两条平行直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【分析】根据符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可. 【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确； 当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确； 当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线; 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线. 故D错误； 故选：AB. 地 城 考点06 求双曲线方程 一、解答题 35．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知双曲线的实轴长为，且过点 (1)求双曲线C的方程. (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 (3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线l的方程为，联立双曲线方程，得韦达定理，进而求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线C的方程为 （2）由（1）得，则， 则直线l的方程为 设， 由，得， ，，， 所以 （3）设，，则， 两式相减得 设，则， 所以， 即，所以， 即，所以点P在直线上. 36．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，其值为. 【分析】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程. （2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值. 【详解】（1）由题意可得出：，则， 所以双曲线的方程可设为，因为经过点， 所以，化简可得：， 解得：或（舍去）， 所以双曲线C标准方程为：. （2），设， 因为在双曲线上，所以，则， 则. 所以为定值，其值为. 37．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 地 城 考点07 双曲线中的性质综合及离心率 一、单选题 38．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】由，得，， 所以渐近线方程为，即 故选：C 39．(24-25高二上·湖南名校·期中)已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，则，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】设的半焦距为，则， 根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为， 所以，所以的渐近线的斜率为. 故选：A. 40．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由双曲线的方程知双曲线的焦点在轴上，又，即可求出焦点坐标. 【详解】由双曲线可知双曲线的焦点在轴上， 又，所以，所以. 所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 41．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据三角形重心公式得到线段中点，根据建立等式计算即可得到. 【详解】依题意，，，， 设，，则的中点， 因为点为的重心，则，， 所以中点， 因为，， 两式作差得：，化简得，即， 因为，又因为，，，四点共线，所以. 故，解得，故. 故选：A. 42．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)已知双曲线（，）的上下焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的值可能为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A. 43．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意计算出，，然后两次应用余弦定理求得的关系式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，且， 在中，由余弦定理得， 同理在中由余弦定理得， 所以，可得，所以离心率为， 故选：C． 二、多选题 44．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．若，则点的的纵坐标为 C．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 D．过点作双曲线的切线交渐近线于，两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】由点到直线的距离公式即可判断A，结合双曲线的定义以及等面积法代入计算，即可判断B，由三角形内切圆的定义以及双曲线的定义代入计算，即可判断C，由三角形的面积公式代入计算可得，然后联立切线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，设双曲线其中一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为，  ，，故A正确； 对于B，双曲线定义，， 由等面积可得，，故B错误； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以圆心总在定直线上，故C正确；    对于D，过点的切线与双曲线切于点，设，， 又均在双曲线的渐近线上，故设，， 设，则，， ， 在双曲线上取一点，因为在双曲线上， 构造， 且以及，将两式相减可得， 即， 当趋近于时（也就是求切线的情况），此时所在直线就趋近于过的切线， 令表示切线的方向向量，， 上式可化为，则是切线的法向量， 由直线的点法式可得， 整理可得， 所以过点的切线方程为：，即， 代入，化简得， 又，， 即，， ，则曲线的渐近线方程为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 45．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率 时，满足. 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等知识列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由得， 由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故答案为：    46．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ． 【答案】 【分析】利用椭圆、双曲线的定义及性质，结合勾股定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，    由椭圆和双曲线定义与对称性知，， 四边形为平行四边形，， ，而，则，因此， 即，于是有，则，， 所以，当且仅当，时取等号． 故答案为： 47．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线l交双曲线于、两点，线段的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段的中垂线的方程，进而可求得点D和，结合，运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，，， 则直线，联立方程， 消去得：，直线l交双曲线于、两点， 则可得，，，， 则， 设线段的中点， 则，， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故答案为:. 48．(24-25高二上·湖南名校·期中)已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出. 49．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：求双曲线的离心率： （1）熟练掌握双曲线的定义：双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值为定值； （2）双曲线的对称性得到边长之间的关系是解题的关键； （3）根据勾股定理构造等式，进而求得离心率. 地 城 考点08 抛物线 一、单选题 50．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 51．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合抛物线的定义可得，，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 52．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先确定抛物线方程的准线方程，由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，的最小值为点到抛物线准线的距离，即可得结论. 【详解】抛物线的焦点为，则，所以 则抛物线方程为，故准线方程为：， 抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离， 所以的最小值为点到抛物线准线的距离4. 故选：C. 53．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为，整理可得，解得或， 因为，所以，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下： （1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半. （2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和. （3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 二、填空题 54．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    55．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可. 【详解】 根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为. 因为，圆下方与轴交点坐标为， 取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示. 因为、分别为和的中点， 所以，，所以， 又因为，， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点. 所以的最小值即为的最小值. 因为N为抛物线上的任意一点，设，， 因为， 则， 当时，， 即的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 56．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足． (1)求的值； (2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量和可知，再利用抛物线定义即可得解； （2）根据及斜率公式化简即可得解. 【详解】（1）设，， 因为， 所以，， 即， 由抛物线定义知，， ，， 所以. （2）由（1）知，． ∵， 同理， ∴， ，解得. 57．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得，从而可得答案； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，由数量积公式结合韦达定理可得，进而可得答案. 【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程， 可得，解得， 则抛物线方程为． （2）因为，直线与抛物线相交于不同的、两点， 所以直线不与x轴平行， 可设，与联立，得， 设，，∴，． 由 ，解得， ∴过定点． 58．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【详解】（1）抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 59．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. (3)过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在定点，为常数. 【分析】（1）利用抛物线的定义得，计算出得抛物线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出两点坐标，利用求出点坐标，求出点到直线l的距离和弦长，可求的面积； （3）设，，，过点Q的直线为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出，求出算式的值与无关的条件，可得为定值的常数. 【详解】（1）由拋物线的定义得，解得，. 抛物线的方程为. （2）设，，由（1）知点， 直线l的方程为. 由可得，则，， ， 则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，. 设点M的坐标为，则，， 则， 解得.即， 又点M到直线l的距离，故， 故的面积； （3）设，，，过点Q的直线为  ， 联立消去y得：， 时，，， 联立消去得：，，， 要使与k无关， 则且，，， 存在此时为定值. 60．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）0；（ii）. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出. （2）（i）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算计算即得；（ii）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式可得，再借助判别式求出范围. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质 ☆8大高频考点概览 考点01曲线与方程 考点02根据方程表示椭圆求参数的范围 考点03求椭圆方程 考点04椭圆中的性质综合及离心率 考点05根据方程表示双曲线求参数的范围 考点06求双曲线方程 考点07双曲线中的性质综合及离心率 考点08抛物线 目目 考点01 曲线与方程 、 单选题 1.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期中)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，1,0)，直线AM,BM相交于点 M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为() A.y=-x2+1(x≠±1 B.y=x2+1x≠±1 C.x=-y2+1y≠±1 D.x=y2+1y≠±1 二、多选题 2.(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学期中)曲线：y2-2y=x3+mx-3,下列结论正确的是() A.曲线『关于原点对称 B.曲线r关于直线y=I对称 C.当m=0时，曲线T上点的横坐标的取值范围为[2，+∞） D.若曲线厂在第一象限内存在位于直线x=1左侧的点，则m>1 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高二上湖南长沙明德中学期中)1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼 卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹己知点F(-2,0),E(2,0),动点P满足 PFPF=6,动点P的运动轨迹为曲线C,则下列说法正确的是() A.曲线C经过坐标原点 B.曲线C的图象关于x轴对称 C.点P的轨迹方程为x2+y2+4=36+16x2. D.△PFF,面积的最大值为3 4.Q324高二上潮肩长沙雅礼中学期中曲线C是平面内与两个定点50，E0-)的距商的积等千的 点P的轨迹，则下列结论正确的是() A.曲线C关于坐标轴对称 B.点P到原点距离的最大值为 2 C.△F,PF周长的最大值为2+√6 D.点P到y轴距离的最大值为 2 5.(24-25高二上·湖南永州第一中学期中)已知圆0的半径为定长r,A是圆0所在平面内一个定点，P是 圆上任意一点，线段AP的垂直平分线I和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列判断正确的是() A.当点A在圆0内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆 B.点Q的轨迹可能是一个定点 C.点Q的轨迹不可能是圆 D.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线 6.(24-25高二上·湖南长郡十八校)曲线C是平面内与三个定点F(-2,0),F(2,0)和F(0,2)的距离的和等于 4√2的点的轨迹.则下列结论正确的有() A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C上存在点P,使得PE=2W2 C.曲线C上存在点P,使得四边形PFF,F的周长为9 / 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D.若点P在曲线C上，则△FPF2面积的最大值为4 7.(23-24高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，E,F, G分别为AB,AD,AB的中点，P是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是() C A B G D E A.当P在表面AB,CD,上运动时，三棱锥P-ABD的体积为定值？ B.当P在线段BB,中点时，平面EFP截正方体所得截面的面积为3√3 C.当P在底面ABCD上运动，且满足PG∥平面B,CD,时，PG长度的最小值是√6 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4V2 8.(23-24高二上湖南常德汉寿县第五中学期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1，P为侧面 B,BCC(含边界)内的动点，若直线A,P与AB,的夹角为45，则下列说法正确的是() B D A A点P的运动轨迹的长度为 B.A,P的长度为定值 C.当CP最小时，三棱锥D-PD,C的体积为2-2 4 D.存在点P,使得直线A,P和平面A,ADD所成的角为60 三、解答题 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(23-24高二上·河北部分高中.期中)已知P是圆C:x2+y2=12上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q ,点M满足PQ=2PM,记点M的轨迹为E. (1)求E的方程； 82 (2)若A,B是E上两点，且线段AB的中点坐标为 5'5 求AB的值 10.(23-24高二上湖南三湘名校教育联盟·期中)椭圆E: 上+上=1的左、右焦点分别为R,乃过F作直 43 线交E于A,B两点过F作垂直于直线的直线☑交E于C,D两点.直线与相交于点P, (1)求点P的轨迹方程； (2)求四边形ACBD面积的取值范围， 11.(2425高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体期中)如图，DP⊥y轴垂足为D点，点M在DP的延长线 DM=元.当点P在圆2+y=8上运动时，点M的轨迹方程为C 上，且 W M D (1)求点M的轨迹C的方程； (2)当入=√2时，点M的轨迹方程记为C ()若动点N为轨迹G外一点，且点N到轨迹G的两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程记为C,试判 断C,与圆x+y=8是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由： (i)轨迹G的左右顶点分别记为A,B,圆x2+y2=16上有一动点E,E在x轴上方，F(2,0),直线EA交 轨迹C于点G,连接EB,GF,设直线EB,GF的斜率存在且分别为k,飞2，若k=k2,求t的取值范围 12.(23-24高二上湖南常德部分学校)动点P到定点F(1,0)的距离和它到直线：x=4的距离的比是常数？， 设点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线1与曲线C交于A,B两点，若曲线C上存在点P,使得四边 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形OAPB为平行四边形，证明：AOB的面积为定值. 目目 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、多选题 3245商二上简商酯第三中学期刺茶0。十片22为圆的方，则m的值国以为《； A.3 B.6 C.8 D.11 4324商二下新南部红资三肉级中学期风丁曲线C云十名。1，下面说族正偏的是() A.若k=2,曲线C的长轴长为2 B.若曲线C是椭圆，则k的取值范围是1<k<4 C.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是k>4 D.若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，离心率为，则k值为3 2 目目 考点03 求椭圆方程 一、单选题 15.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期中)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为 () B.2 =1 819 g+2=1或y24x2 C. 81+9=1 +2=1或+y2 D.2 ，81*91 16.2425高二上湖南祁阳第一中学月考)已知鞘腿方程为二+广 9。+F=1(a>b>0),椭圆上的点到左焦点的 最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是() A.X+y=1B.+=1 C.y =1 D.+ -=1 32 43 17.(2425高二上湖南长沙明德中学期中)已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为 ,焦距为2√2，则该椭 3 圆的方程为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2+=1 B.+上=1 3 97 3628 二、解答题 18.(23-24高二上湖南永州祁阳县第四中学期中)(1)求与椭圆 +y2=1有相同的焦点，且经过点 3 2 的椭圆标准方程： (2)求焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程： 9.224资三上满商长沙张沙县第二学期尼腾区C号+茶-ob>)经过点4201，且有能 点为5,0 (1)求C的标准方程； (2)过点(1,0)且斜率不为0的直线1与C交于M,N两点，直线x=4分别交直线AM,AN于点E,F,以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 20.2425高一上邵东创新高级中学期）已知中心在坐标原点的椭圆过点P心，4和点Q(。3。 求此椭圆的标准方程； ②)已知椭圆C名+a>b>0的左、右焦点分别为F,F,左、右顶点分别为M,N,过E,的直 线U交C于A,B两点异于，W,△M正B的周长为4B,且直线M与AN的率之积为名，求椭圆C 的标准方程 ,324高面分校获者期刊裤圆E:话士Q>6>0)的焦距为之2，点MV2是椭圆上 一点，过点P(0,)的动直线1与椭圆相交于A,B两点 (1)求椭圆E的方程； ②在平面直角坐标系x0y中，是否存在与点P不同的定点0，使O8P8 QAPA 恒成立？存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由 2425商二上浅商商阳期已知0为坐标原点，轮画C:若+卡=@>6>0的两个顶点坐标为 A(-2,0),B(2,0),短轴长为2，直线PQ交椭圆C于P,Q两点，直线P9与x轴不平行，记直线AP的斜 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 率为k,直线BQ的斜率为k2,已知k=2k (1)求椭圆C的方程： (2)求证：直线PQ恒过定点； (3)斜率为2的直线交椭圆C于M,N两点，记以OM,ON为直径的圆的面积分别为S,S,aOMN的面 积为S,求S(S+S2)的最大值 2.24235商二上潮南名校期已知销陋：三+若-=川a>60的左，右焦点分别为F,FF5=4,短 轴长为2. (1)求E的方程 (2)若P为E上一点，求PF·PF,的取值范围 (3)判断E上是否存在不同的三点A,B,C,使得线段OB(O为坐标原点)的中点与AC的中点重合于直线 x=1上一点D.若存在，求出直线AC的方程；若不存在，请说明理由 24.(24-25高二上湖南祁阳第一中学.月考)已知椭圆C的右焦点F(1,0),且经过点A 3 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点F作直线1与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点 (①若△M0N的面积为N ,求直线的方程； 7 (i)若1斜率存在，是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点P(x,0),使四边形PMQN为菱形？若存在，求 。,若不存在，请说明理由 目目 考点04 椭圆中的性质综合及离心率 一、单选题 23-24商上湖面长沙沙第中学期肿5.已知F,乃是椭圆C名+O>6>0)的左、右组 点，点P在椭圆C上，△PFF为等腰三角形，∠FF,P=120°，则C的离心率为() A B.3-1 c.2-1 2 2 26.(2425高二上·湖南名校期中6.6万多年一遇的紫金山一阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.己知某彗星的运行轨道是以太阳 为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远 的点)距太阳中心35天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是() A.0.017 B.0.25 C.0.86 D.0.97 27.(24-25高二上湖南永州祁阳县第四中学期中)7.己知F,F3是椭圆的两个焦点，满足MF⊥MF,的点 M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是() A 02 D ’2 28.(23-24高二上湖南长沙雅礼中学·期中)8.焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 则椭圆离心率的范围是() [阿 V29V65 V33V65 V34√69 7,9 D 7 9 二、多选题 29.(22-23高二下·湖南常德第一中学·期中)关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论，其中正确的有() A.离心率为 B.长轴长是2√5 C.焦距2 D.焦点坐标为-1,0，(1,0) 30.(24-25高二上湖南永州祁阳县第四中学期中)已知P是椭圆C:+y'=1上的动点，Q是圆 4 D:(x+1)2+y2= =上的动点，则() 4 A.椭圆C的焦距为√5 B.椭圆C的离心率为 C.PD的最大值为3 D.PD的最小值为V6 三、填空题 引.(23-24高二上潮南永州江华瑶族自治县第二中学期中过椭圆二+二=1的左顶点，且与直线 43 2x-y+1=0平行的直线方程为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(Q23-24高二上潮南三湘名校教育联盟期中)如图，椭圆G:。+兰 GC>b0C:在大省 相同的焦点F,F,离心率分别为e,e2,B为椭圆C的上顶点，FP⊥FP,F,B,P三点共线且垂足 P在椭圆C,上，则三的最大值是 e 目目 考点05 根据方程表示双曲线求参数的范围 一、单选题 33.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期中)已知方程，产- =1表示双曲线，则m的取值范围为() 2+mm+1 A.(-2,-1 B.（-0,-2)U-1,+0 C.(1,2 D.-0,1U(2,+ooj 二、多选题 34.(24-25高二上湖南祁阳第一中学期中)0°≤a≤180°变化时，方程x2+y2cosa=1表示的曲线的形状可 以是() A.两条平行直线 B.圆 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 目目 考点06 求双曲线方程 一、解答题 35.2425商二上潮胸都分学校期已知双曲线C:号芳-a>0b>0的实轴长为42，且过点4， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求双曲线C的方程 (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为，的直线，1与双曲线C交于A,B两点，求ABL (3)若M,N是双曲线C上不同的两点且直线MN的斜率为}，线段MN的中点为P,证明：点P在直线 x-2y=0上 662425高上湖商长沙类器甲学期已知0为坐标原点，双曲线C名-@>0，b>0,的焦 距为6，且经过点(3,8) (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点A(-1,0),B(1,0),点P在双曲线C上，设直线PA,PB的斜率分别为k,k2,请问kk2是否为定值， 如果是求出其值，如果不是，请说明理由 37.(23-24高二上湖南长沙雅礼中学期中)已知双曲线E的左、右焦点分别为F,-2,0),F,(2,0),点 V3 2,3 在双曲线E上. (1)求E的方程； (2)过E作两条相互垂直的直线（和马，与E的右支分别交A,C两点和B,D两点，求四边形ABCD面积 的最小值。 目目 考点07 双曲线中的性质综合及离心率 一、单选题 38.2425高二上湖南部分学校期中双曲线广-X=1的渐近线方程为(） 100 A.y=±x B.y=±1 C.y=±10x D.y=±100x 10 100 39。伦435商二上请南名饺期已知双曲线C:号茶=口>06>0的一个气点到其裤袋的距肉为2a, 则C的渐近线的斜率为() A.2 1 B.±5 C.±2 D.±5 5 0.2425商三上湖商长沙类李商级中学期中)双曲线兮于=1的焦点坐标为() A.(±1,0) B.(0,1) C.(±3,0) D.(0,±3) /