专题03 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系（10大考点40题）（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

专题03 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 10大高频考点概览 考点01 求圆的方程 考点02 表示圆的条件 考点03 轨迹问题-圆 考点04 判断直线与圆的位置关系 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 考点06 圆中的弦长问题 考点07 圆中的切线问题 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 考点10 圆中的最值问题 地 城 考点01 求圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)以点为圆心，且经过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和经过的点求得半径即可. 【详解】解：因为圆是以点为圆心，且经过点， 所以圆的半径为：， 所以圆的方程为， 故选：A 2．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆的半径，即可根据标准式求解圆的方程. 【详解】点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 二、解答题 3．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)已知平面直角坐标系内三点. (1)若在圆M上，求圆M的方程； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据斜率相等，结合两点斜率公式即可求解. （3）根据两点斜率公式，即可求解. 【详解】（1）设圆M的方程：， ∵在圆上， ∴，解得， ∴圆的方程为， （2）当点D在第一象限时，， 设，则，解得，故点； （3）可看作时是到的斜率，即， 当点E与点C重合时，直线的斜率最小，； 当点E与点A重合时，直线的斜率最大，； 故直线BE的斜率的取值范围为， 即的取值范围为 4．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为53，的坐标为 【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径， （2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标． 【详解】（1） 设圆心，由于直线与圆相切于点，所以， 故，，所以圆的标准方程为 （2） 方法一：设， 则 ，其中，， 所以，当时，的最大值为53． 此时，，，，，所以． 方法二：设，则， ∴． 又，所以， 因为表示圆上的点到点距离的平方． 易得，的最大值为， 所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时， 直线方程， 联立直线与可得，解得或（舍去），则 故的坐标为．    5．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)在平面直角坐标系中，存在四点，，，. (1)求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； (2)若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程. 【答案】(1)，D在圆M内； (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是3， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 6．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，借助待定系数法计算即可； （2）运用弦长公式计算弦长，再用点到直线距离公式求高，再求面积即可. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知，解得， 所以，故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为， 所以，故的面积为. 地 城 考点02 表示圆的条件 一、填空题 7．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)若方程表示圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先将圆的方程配方等价变形为，然后由方程表示圆的充要条件可知，解不等式即可. 【详解】首先将圆的方程配方变形为， 由题意若方程表示圆， 则当且仅当， 解得或，即m的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点03 轨迹问题-圆 一、多选题 8．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值是25 C．点M的轨迹方程是 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据直线垂直求参判断A选项，应用基本不等式判断B选项，根据两条线垂直及求轨迹方法判断C选项，应用三角换元及辅助角公式判断D选项. 【详解】对于A，，∴，A正确； 对于B，恒过定点，恒过定点， 由选项A正确可推得，时等号成立，∴的最大值是，B错误； 对于C，设，则， 化简有，C错误； 对于D，设，，则，， ∴，即的最大值为，D正确. 故选:AD. 二、解答题 9．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； （3）依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 10．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出点坐标，求出、坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系，分两圆内切和外切两种情况，得到方程，解方程即可求解. 【详解】（1）设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）由圆，可得为圆， 则满足，解得，且圆心，半径， 又由圆心，半径为3， ①当两圆内切，可得，即， 整理有：，解得： ②当两圆外切，可得，即， 整理有：，解得： 且满足，所以或. 地 城 考点04 判断直线与圆的位置关系 一、多选题 11．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知直线：和圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．存在使得直线与直线：平行 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【分析】选项A，把直线化成形式 ，求出定点即可；选项B，判断点到圆心的距离与半径的关系；选项C，用平行直线的特征求出即可；选项D，弦长公式求出即可. 【详解】对于A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误； 对于B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，B正确； 对于C，因为直线：的斜率为，所以直线的斜率为，此时直线的方程为，直线与直线重合，故C错误； 对于D，设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：BD. 12．(23-24高二上·湖南株洲攸县健坤高级中学·期中)下列有关直线与圆的说法正确的是（    ） A．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. B．直线与圆的位置关系是相交且过圆心. C．若直线与圆相切，则. D．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. 【答案】BD 【分析】根据直线与圆的位置关系可判断A,D；直接判断直线是否过圆的圆心，即可判断B；利用点到直线的距离公式计算可判断C. 【详解】A:错误．直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． B:正确．因为圆的圆心刚好在直线上，所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心． C:错误．若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得. D: 正确．因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线和圆的位置关系是相离，没有公共点，因此联立消元后得到的一元二次方程无解． 故选：BD. 13．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)对于直线与圆，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线与圆不可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为6 D．圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】对于A：可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确.    故选：BD. 地 城 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 一、单选题 14．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)已知圆关于直线(为大于0的常数)对称，则ab的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由圆的对称性可得直线过圆心，进而根据基本不等式求最大值即可. 【详解】由题意，圆的标准方程为，则圆心为，半径， 由圆关于直线对称，得在直线上，则， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立； 因此，ab的最大值为， 故选：A 15．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出 点的轨迹为直线，再根据点到直线的距离公式即可得到最值. 【详解】由题意得，， 因为， 又，即， 即， 化简得点的轨迹为，即在直线上， 表示的几何意义为点到原点距离的平方， 故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值， 即最小值为. 故选：B.    16．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像求出直线与圆相切和过点时的斜率，即可写出斜率k的取值范围. 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限， 又直线过定点， 所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示， 又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，， 如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得， 结合图像可知， 故选：D. 地 城 考点06 圆中的弦长问题 一、解答题 17．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点. (1)求四边形QAMB面积的最小值； (2)若，求Q点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到四边形的面积为，结合圆的切线长公式，即可求解； （2）根据题意，得到，在直角中，得到，设，得到方程，进而求得点的坐标. 【详解】（1）如图所示，可得， 所以四边形的面积为， 又由 ，且， 所以，即，所以四边形的面积的最小值为. （2）解：设与交于，则，且，所以， 在直角中，可得，即，所以， 设，可得，解得，所以. 18．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知圆，直线. (1)求证直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)；最短弦长为4 【分析】（1）将直线方程整理为，列方程组，求得定点坐标，即可得证； （2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线斜率，由两点间的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可． 【详解】（1）证明：直线，可化为， 联立，解得． 故直线恒过定点． （2）圆，圆心，半径 设，则点在圆内，故当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 因为直线的斜率为． 故直线的斜率为，解得． 此时圆心到直线的距离为， 所以最短弦长为． 19．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线l恒过定点； (2)直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将直线l化为求解定点即可； （2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，先由与最短弦所在直线互相垂直，利用斜率关系求解直线的方程，最后利用几何法由求弦长. 【详解】（1）直线，即， 联立解得 所以不论a取何值，直线l必过定点 （2）由，知圆心，半径为. 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 有，解得 此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是    地 城 考点07 圆中的切线问题 一、单选题 20．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 21．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为，整理可得，解得或， 因为，所以，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下： （1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半. （2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和. （3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 二、多选题 22．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期中)下列四个命题中正确的是（    ） A．过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C．定点到圆上的点的最大距离为 D．过定点且与圆相切的直线方程为或 【答案】BD 【详解】A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离为错误； D：圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 故选：BD 23．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点，则的最大值为 C．若直线与圆相切于点，则 D．若直线与圆相切，则直线的方程为或 【答案】ACD 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由的最大值为，即可判断B，由勾股定理代入计算，即可判断C，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断D. 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，由，的最大值为，所以B错误； 对于C中，若直线与圆相切于点， 则，，所以C正确； 对于D中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以D正确. 故选：ACD 三、解答题 24．(23-24高二上·湖南张家界民族中学·期中)已知圆：，，求过点且与相切的直线方程． 【答案】或 【分析】分类讨论切线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列式计算即可得解. 【详解】由可知该圆的圆心为，半径为， 当过点且与圆相切的直线不存在斜率时，方程为， 易得直线与圆：相切，符合题意； 当过点且与圆相切的直线存在斜率时，设为， 则直线方程为， 所以， 则直线方程为， 综上，圆相切的直线方程为或. 25．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】(1)4 (2)，或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【详解】（1）当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； （2）由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 地 城 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 26．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得两圆相交的充要条件，求得的取值范围，再由选项即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，且， 使得两圆相交的充要条件为，且， 解得，由选项可得， 所以其一个充分不必要条件可以是. 故选：B 27．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 二、填空题 28．(23-24高二上·湖南常德部分学校·)若圆：与圆：相交，则r的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据两圆相交得到圆心距和两圆半径的不等式，得到答案. 【详解】因为与相交，所以. 又，所以，解得. 故答案为： 29．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为 【答案】 【分析】求出线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，进而求出圆半径即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由点，点，直线的斜率， 线段的中垂线过点，且斜率为，方程为，即， 直线的方程为，即， 由，得， 则所求圆的圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 30．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 三、解答题 31．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知圆与圆，，. (1)当时，直线与圆交于，两点，若，求； (2)若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意可知：圆的圆心为，半径，结合向量可得，即可得结果； （2）分析可知圆与圆内切，可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）若，则圆的圆心为，半径， 因为， 所以. （2）因为圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切， 则，则， 即，且， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值9. 地 城 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 一、多选题 32．(22-23高二上·湖南邵阳隆回县第二中学·期中)已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（    ）． A．圆的圆心为，半径为1 B．直线的方程由为 C．圆心到的距离为 D．线段的长为 【答案】ABD 【分析】对于A，化简圆即可；对于B，由两圆相减得公共弦所在直线即可；对于C，根据点到直线距离公式解决即可；对于D，根据直线与圆位置关系，几何法解决即可. 【详解】对于A，圆，化简得， 所以圆的圆心为，半径为1，故A正确； 对于B，已知圆和圆相交于两点， 所以两式相减得：， 所以直线的方程为，故B正确； 对于C，由B选项得直线的方程为， 因为， 所以圆心到的距离为，故C错误； 对于D，因为，圆心到的距离为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 33．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】AB 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则A可判断；求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则B可判断；求出其中一个圆的圆心到直线AB的距离，则公共弦AB的长可求；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值. 【详解】对于选项A，因为圆，， 两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于选项B，圆的圆心为，， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确； 对于选项C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C不正确； 对于选项D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AB. 二、填空题 34．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)圆与圆的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线的方程是 . 【答案】 【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程. 【详解】由题意可知圆与圆相交， 两圆方程相减得，， 故公共弦AB所在的直线的方程是. 故答案为： 地 城 考点10 圆中的最值问题 一、单选题 35．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则|PQ|的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线过定点且互相垂直可确定点的轨迹为圆，将问题转化为两个外离的圆上的动点距离的最小值，由两圆圆心距减去两圆半径之和即可求解. 【详解】对于直线，，因为，所以， 又，， 所以直线恒过定点，恒过定点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，又两直线相交，则点和不符合题意； 由圆心为，半径， 可得，点的轨迹方程为（不包含点）， 因为圆与圆的圆心距，所以两圆外离， 因为两圆心所在直线方程为，所以，不在两圆心所在直线上， 因此，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和， 即. 故选：D. 36．(23-24高二上·湖南常德武陵区常德一中·期中)已知实数、、、满足：，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定、在圆上，且，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，    表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，， 故在圆上，. 故的最小值为. 故选：D. 37．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．0 【答案】A 【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可. 【详解】由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，即，解得或. 故选：A. 二、填空题 38．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得动点P轨迹，再结合求出三角形高的最大值，进而即可求解． 【详解】设以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设，，，如图所示，    由，则，整理得， 所以动点P轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 当点P到轴距离最大，即最大距离为时，的面积最大， 所以面积的最大值为． 故答案为：． 39．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为 ． 【答案】． 【分析】求出两直线所过定点坐标，由两直线垂直得点轨迹是圆，设的中点为，由向量加法法则得，由圆的性质得点轨迹也是圆，圆心为原点，利用两圆心距可得两圆上两点间距离的最小值，从而得出结论． 【详解】变形得到，令，解得，从而，变形得到，令，解得，从而，由，由勾股定理得，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，点轨迹方程为，圆的圆心为，半径为3，设的中点为，由垂径定理得，故点的轨迹方程为，因为点轨迹方程为，则的最小值为圆心距减去两半径，即，其中，所以的最小值为． 故答案为：．    三、解答题 40．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)过圆上任意一点，作轴于点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与圆相切，且与曲线交于，两点，，是圆上位于两边的两个动点．求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点为且，根据题意，得到且，代入圆的方程，即可求解； （2）设，根据与圆相切，得到，联立方程组，结合圆的弦长公式求得，分、和斜率不存在时，求得，进而求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）解：设点为所求轨迹上的任意一点，且， 因为，可得，则， 又因为，可得且， 因为，所以的轨迹的方程：. （2）解：当的斜率存在时，设，因为与圆相切， 可得，整理得， 又由，整理得， 设，，则，， 则 当时； 当时，， 当斜率不存在时，， 因为是圆上位于两边的两个动点， 设到的距离，到的距离，则的最大值为， 所以四边形面积的最大值为.    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 ☆10大高频考点概览 考点01求圆的方程 考点02表示圆的条件 考点03轨迹凼问题圆 考点04判断直线与圆的位置关系 考点05由直线与圆的位置关系求参数 考点06圆中的弦长问题 考点07圆中的切线问题 考点08圆与圆的位置关系及参数求解 考点09圆的公共弦长及公共弦方程 考点10圆中的最值问题 目目 考点01 求圆的方程 一、单选题 1.(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)以点(2,0)为圆心，且经过点(0,1)的圆的方程为() A.(x-2)2+y2=5 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=13 D.(x+1)2+(y+2)2=13 2.(24-25高二上湖南邵阳新邵县第二中学期中)以点3，-2)为圆心，且与直线3x-y-1=0相切的圆的方程 是() A.(x-32+(y+2)2=1 B.（x+3)+(y-2)=1 C.（x+3)2+(y-2)2=10 D.（x-32+(y+2=10 二、解答题 3.(23-24高二上湖南常德汉寿县第五中学期中)己知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1): (I)若A,B,C在圆M上，求圆M的方程； / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标； (3)若E(x)是线段AC上一动点，求y的取值范围 x-2 4.(23-24高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)若圆C的圆心C在y=2x上，且圆C与直线y=4切于 点0(1,4). (1)求圆C的标准方程； (2)已知点A1,-),B(-3,2),若M为圆C上任意一点，求MA+MB的最大值并求出取得最大值时点M 的坐标. A 5.(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)在平面直角坐标系x0y中，存在四点A0,1),B(7,0), C(4,9,D(1,3 (I)求过A,B,C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系： (2)若过D点的直线1被圆M截得的弦长为8，求直线1的方程 6.(24-25高二上·湖南长沙明德中学期中)已知三点O(0,0),A2,0),B(-1,-1,记A0B的外接圆为⊙C (1)求⊙C的方程： (2)若直线：2x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求aCMN的面积 目目 考点02 表示圆的条件 一、填空题 7.(23-24高二上湖南常德汉寿县第五中学期中若方程x2+y2+(m-1x-2y+2-m=0表示圆，则m的取 值范围为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 轨迹问题-圆 一、多选题 8.(23-24高二上湖南长沙长郡中学·期中)已知p∈R,直线4：x-py+p-2=0过定点A,Z: px+y+2p-4=0过定点B,I与Z交于点M,则下列结论正确的是() A.4⊥12 B.MA·MB的最大值是25 C.点M的轨迹方程是x2+y2-5x=0D.MA+2MB的最大值为5√5 二、解答题 9.2425高二上湖南长沙芙蓉高级中学期中)椭圆E:号+二=1的左、右焦点分别为E,E,过B作直线1 43 交E于A,B两点，过E作垂直于直线的直线交E于C,D两点.直线4与相交于点P. (1)若直线的斜率为1，求直线2的方程. (2)求点P的轨迹方程. (3)求四边形ACBD面积的取值范围. 10.(24-25高二上湖南祁阳第一中学月考)已知点P(-2,0),Q(2,0),M是平面内的一个动点，且 PM·QM=5,点0为坐标原点. (1)求动点M的轨迹方程E: (2)圆C:x2+y2-8x+2m=0与E只有一个公共点，求m的值 目目 考点04 判断直线与圆的位置关系 一、多选题 11.(23-24高二上湖南三湘名校教育联盟期中已知直线1：c-y+2k+1=0和圆0：x2+y2=8,则() A.直线1恒过定点(2， B.直线1与圆0相交 C.存在k使得直线1与直线乙：x-2y+4=0平行 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.直线1被圆0截得的最短弦长为2√3 12.(23-24高二上·湖南株洲攸县健坤高级中学·期中)下列有关直线与圆的说法正确的是() A.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交 B.直线1：x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心 C.若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a(a>0)相切，则a=4. D.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 13.(24-25高二上湖南长郡十八校)对于直线1：m-2)x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,下 列说法正确的是() A.直线1过定点(3,2) B.直线1与圆C不可能相切 C.直线1被圆C截得的弦长的最小值为6 D.圆上一点到点P(0,-2)的最大距离为8 目目 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 一、单选题 14.(2425高二上·湖南永州祁阳县第四中学期中)已知圆x2+2x+y2=0关于直线ax+y+1-b=0(a,b为大 于0的常数)对称，则ab的最大值为() A.4 B.为 C.1 D.2 15.(2425高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)己知圆C,:(x-1)+(y-1)=1与圆 C2:(x+3)+(y-2)2=1,过动点M(m,n)分别作圆G、圆C的切线MA,MB(A,B分别为切点)，若 MA=MB,则m2+n2的最小值是() A B C.169 49 68 D. 68 16.(24-25高二上湖南长沙芙蓉高级中学.期中)若直线y=x+1与圆(x-2)2+y2=4相交，且两个交点位于 坐标平面的同一象限，则k的取值范围是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a(o)B.(（) n.（到 目目 考点06 圆中的弦长问题 一、解答题 17.(23-24高二上湖南长沙长郡中学.期中已知圆M:x2+(y-2)=1,Q是x轴上的动点，QA,QB分别 切圆M于A,B两点 (1)求四边形QAMB面积的最小值； ②诺=识.求Q点的坐标 18.(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=6,直线 1:(2m+1)x+(m+2)y-3m-6=0 (1)求证直线1恒过定点； (2)直线1被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短弦长 19.(23-24高二上湖南长沙长沙县第二中学.期中已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=25,直线 1:2+ax+1+ay+a=0 (1)求证：直线1恒过定点； (2)直线1被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时α的值以及最短弦长. 目目 考点07 圆中的切线问题 一、单选题 20.(23-24高二上湖南长沙长沙县第二中学期中)过点(4,0)的直线1与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切，则 直线1的方程为() A.3x+4y-12=0或y=0 B.3x+4y-12=0或x=4 C.4x+3y-12=0或y=0 D.4x+3y-12=0或x=4 21.(2425高二上湖南长沙明德中学期中)过拋物线x2=2y上一动点P作圆C:x2+(y-2)2=r2(r为常数 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且r∈N)的两条切线，切点分别为A,B,若ABPC的最小值是2√2，则r=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 22.(24-25高二上湖南长沙第一中学.期中)下列四个命题中正确的是() A.过定点PL,-),且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0 B.过定点PL-的直线与以M-3.山N3.2)为端点的线段相交，则直线的斜率的取植范围为&≤-号或 k≥3 2 C.定点Q1,0)到圆(x+1)2+(y-3)2=4上的点的最大距离为V13-2 D.过定点Q1,0)且与圆(x+1)2+(y-3)2=4相切的直线方程为5x+12y-5=0或x=1 23.(24-25高二上湖南祁阳第一中学月考)已知点A3,-4)在直线1上，圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,则下列 说法正确的是（) A.若圆C关于直线1对称，则直线1的方程为x+y+1=0 B.若点P是圆C上任意一点，则AP的最大值为22+4 C.若直线1与圆C相切于点B,则AB=2 D.若直线1与圆C相切，则直线1的方程为y=-4或x=3 三、解答题 24.(23-24高二上湖南张家界民族中学.期中)已知圆0：x2+y2=4,P(2,3),求过点P且与00相切的直 线方程。 25.(24-25高二上湖南部分学校期中)已知直线1：mx+y-6m=0,圆M:(x-1)2+y2=9. (0)若m,求直线1截腐M所得的弦长 (2)已知直线1过定点P.若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 26.(23-24高二上湖南部分校联考期中已知圆C,:x2+(y-1)2=1和圆C2:(x-a2+(y-1)2=16,其中 α>0，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是() A.2<a<5 B.3<a<4 C.3<a<5 D.3<a<6 27.(24-25高二上湖南长沙明德中学期中)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与圆 C2:x2+y2-4x-2y+5-a2=0(a>0)外切，则a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 28.(23-24高二上湖南常德部分学校)若圆O:x2+y2=25与圆O:（x-7+y2=r2(r>0)相交，则r的 取值范围为】 29.(24-25高二上湖南浏阳·期中已知圆C2经过点M(3,-1),且与圆G:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点 N(1,2),则圆C,的标准方程为 30.(24-25高二上湖南长郡十八校)写出与圆(x-1)2+0y-2}2=号和圆(x-2分2+0-12=，都相切的一条直 线方程 三、解答题 31.(24-25高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)已知圆C:(x+2)2+y2=4与圆C2:x2+(y-b)2=1, a,bER (I)当a=0时，直线l:y=cx+1与圆C交于M,N两点，若OM.ON=-3,求MN: 11 (②若ab≠0，圆G与圆c,只有一条公切线，求行+存的最小值 目目 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、多选题 32.(22-23高二上·湖南邵阳隆回县第二中学期中)己知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交 于A,B两点，下列说法正确的是(）· A.圆M的圆心为1，-2)，半径为1B.直线AB的方程由为x-2y-4=0 C.圆心0到AB的距离为25 D.线段AB的长为4 5 33.(23-24高二上湖南名校联合体期中)圆Q:x2+y2-2x=0和圆Q2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B ,则() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为② D.P为圆g上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 2 二、填空题 34.(24-25高二上湖南长沙雅礼中学.期中)圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B, 则公共弦AB所在的直线的方程是」 目目 考点10 圆中的最值问题 一、单选题 35.(24-25高二上湖南永州祁阳县第四中学期中设meR,直线l:mx-y-3m+1=0与直线 12:x+my-3m-1=0相交于点P,点Q是圆C:(x+1)2+(y+1)2=2上的一个动点，则PQ的最小值为() A.1 B.3√2-1 C.2W2-1 D.√2 36.(23-24高二上湖南常德武陵区常德一中期中)已知实数x,、x2、、满足：x+y=1,x+y?=1, +片则当发，凸+是的技小植为() √2 2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.√2-5 B.2-V5 C.2-V5 D.2W2-√5 37.(24-25高二上湖南祁阳第一中学月考)已知⊙0：(x-22+(y-3)2=4,⊙0关于直线ax+2y+2=0对 称的圆记为⊙O2,点E,F分别为⊙O,⊙O2上的动点，EF长度的最大值为12，则a=() A0 B. D.0 二、填空题 38.(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两 定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B的距离 为2，动点P满 PA-2,当P,A,B不共线时，求三角形PAB面积的最大值 P 39.(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中设m∈R,直线l:y=mx-4m+2与直线 1x+my-6m-2=0相交于点P,线段CD是圆x2+y2=9的一条动弦，且CD=4,PC+PD的最小值 为 三、解答题 40.(23-24高二上湖南湖湘教育三新探索协作体期中)过圆C:x2+y2=4上任意一点P,作P9⊥x轴于Q点， 点M满足OW-5OP. 2 (1)求点M的轨迹C的方程： (2)若直线1与圆C2:x2+y2=1相切，且与曲线G交于A,B两点，E,F是圆C:x2+y2=4上位于1两边的 两个动点.求四边形AEBF面积的最大值.