3.2.2函数的奇偶性能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2 函数的奇偶性 能力提升训练 1.（2025四川期中）若函数的部分图象如图所示，则 的解析式可能是( ) A. B. C. D. 2.（2024甘肃武威期中）大招39已知函数，，若 的最小值为，则 的最大值为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 3.（2025江苏无锡期中）已知函数在其定义域内为偶函数，且 ，则 ( ) A. B. C.2 025 D.0 4.（2024甘肃兰州模拟）大招40设定义在上的奇函数满足对任意, ，且，都有，且，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 5.（2025山东日照检测）定义在上的函数满足以下条件: ；②对任意,，当时都有.则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025河北部分学校联考）已知函数 下列命题正确的是( ) A.若是奇函数，则 B.若是奇函数，则 C.若是减函数，则的取值范围为 D.若是减函数，则的取值范围为 7.（多选/2025河南南阳六校联考）大招42已知函数的定义域为 ，且 ，当时，，且满足 ，则下列说法正确的是( ) A. 为奇函数 B. C.不等式的解集为 D. 8. （2024广东惠州校考阶段练习） 如图1是惠州市风景优美的金山湖片区，其形状 如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图 形，这个图形可看作由两个函数的图象构成， 则“心形”在 轴上及上方的图象对应的函数解析 式可能为( ) A. B. C. D. 9. （2024江苏省响水中学期中）若定义在上的函数满足：①对任意 , ,都有；②对任意 ,都有,则称函数是以 为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”,若 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 10.（17分）（2025北京首师大附中月考）已知函数 . （1） 证明:函数 是奇函数； （2） 用定义证明:函数在 上是增函数； （3） 若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数 的取值范围. 参考答案 1.C【解析】 根据函数图象的对称性可知 为奇函数, 不是奇函数,故排除A；中, 可取0,故排除B；中, ,故排除D. 2.B【解析】因为,所以令, , ,易知函数是奇函数,是常函数,所以.因为 的最小值为,所以 . 3.A【解析】 因为为偶函数,所以,所以 , 所以且不恒为0,所以,则.又因为,所以, ,所以.又因为 ,所以 . 4.B【解析】 因为满足对任意,,且,都有 , 所以在上单调递减,又为上的奇函数,所以在 上单调递减（【大招识别】奇函数单调性不改变）,且,又,所以 , 所以当时,,当时,,当时,,当 时,,所以不等式 的解集为 . 5.A【解析】 因为定义在上的函数满足条件 , 所以函数是偶函数,, , 对任意,,当时都有 , 所以时,函数 单调递增, 所以,即 . 6.AC【解析】 当时,, . 若是奇函数,则,解得 , 当时,若,则, ,也满足奇函数的条件. 已知在与上分别单调递减,,若 是减函数, 只需,解得 . 7.ABC【解析】 令,得,所以 , 令,得(令,构造出 判断奇偶性),即 ,所以 为奇函数； 因为为奇函数,且,可得 ； 任取,且,则,令,,可得 ,即 , 所以在上单调递增,因为,所以 ,由,可得 ,所以 ,所以 （【大招识别】单调判向）,得到,所以的解集为 ； 因为为奇函数,所以 ,所以 , 又因为 ,所以 . 8.C【解析】 由题图2可知,“心形”关于 轴对称,所以 轴上方的图象对应的函数为偶函数,而函数和 都不满足,故排除B,D选项； 的图象过点,, , 且时, ,当 且仅当 时,等号成立, 即函数 的最大值为2,由题图可知 “心形”函数的最大值为1,故排除A选项； 由的图象过点,, ,且 时, ,当且仅当 时,等号成立,即函数 的最大值为1,满足题意, 故选C. 9.C【解析】 对任意,,都有,则在 上单调递减. 函数是以 为中心的“中心捺函数”, 所以的图象关于 对称， 所以的图象关于对称,即 是奇函数, 所以,即 , 所以,即 , 若,则,, 没有意义, 若,则,, 没有意义, 所以且 . 由两边同时除以,得 , 解得,所以 , 所以 . 10.(1)【答案】由函数,可得其定义域为 ,关于原点对称,（1分） 又由 ,（4分） 所以函数为定义在 上的奇函数.（5分） (2)【答案】 当时, , 任取,,且 ,（6分） 可得 .（8分） 因为,,且,所以, , 所以,即 ,（10分） 所以函数在 上是增函数.（11分） (3)【答案】 因为函数为定义在上的奇函数,且在上是增函数, , 所以函数在上也是增函数, , 又因为,所以函数在 上是增函数,（12分） 又由,可得 . （13分） 因为不等式对于任意实数 恒成立, 所以不等式对于任意实数 恒成立, 即 .（14分） 当时,不等式即为 恒成立,符合题意；（15分） 当时,则需满足解得 ,（16分） 综上可得,实数的取值范围为 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $