3.2.1函数的单调性与最值能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 函数的单调性与最值 能力提升训练 1.（2025福建泉州检测）函数 的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 2.（2025天津红桥区月考）已知函数，则“”是“在 上单调递减”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.（2025云南昆明期中）若函数的值域是，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.（2025湖北武汉期末）若函数在 上单调递增，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.设函数，函数在定义域 内是单调函数，且对于任意的，都有，则在区间 上的值域为( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025安徽亳州期末）已知函数的定义域是 ，且 ，当时，， ，则下列说法正确的是( ) A. B.函数在 上是减函数 C. D.不等式的解集为 7.（多选/2025辽宁大连期中）已知函数的定义域为，, 且 ， ，则( ) A. B. C. D. 8. （多选/2025四川攀枝花期中）若存在常数和使得函数和 分别对 其定义域上的任意实数都满足：和 恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数 ，，若直线为函数和之间的隔离直线，则实数 的取值可以为( ) A.0 B. C. D. 8.（2025四川德阳五中期中）定义在上的函数满足 ，且当时，，若 ,，使得，则实数 的取值范围为_ __________________. 9.（15分）（2025黑龙江大庆铁人中学月考）已知函数 的图象经过， 两点. （1） 求函数 的解析式； （2） 判断函数在 上的单调性并用定义进行证明； （3） 若对任意的恒成立，求实数 的取值范围. 10.（2025湖南长沙期中）已知函数 ， . （1） 对任意的，恒成立，求实数 的取值范围； （2） 设，记的最小值为，求 的最小值. 11. （2025重庆杨家坪中学期中）一般地，若的定义域为 ，值域为 ，则称为的“ 倍跟随区间”；特别地，若的定义域为 ，值域 也为，则称为 的“跟随区间”. （1） 若为的跟随区间，则 ___. （2） 若函数存在跟随区间，则 的最大值是___. 参考答案 1.B【解析】 当时,,则在 上单调递减, 在 上单调递增； 当时, , 则在上单调递增,所以 的单调递减区间为 . 2.A【解析】 任取,,且.当 时, ,因为,,且 ,所以,,则,即在上单调递减；若 在上单调递减,则恒成立,又 ,,且,所以,,所以.故“”是“ 在 上单调递减”的充要条件. 3.C【解析】 当时,,其图象开口向上,对称轴为直线,则 的值域为 , 由函数的值域是 , 得当时,的值域应包含 （分段函数的值域为各段函数值域的并集）,所以 为减函数, 所以解得,故的取值范围是 . 4.C【解析】 当（ 的二次项含参,需要对参数分情况讨论确定函数类型）时,此时,令,则是一次函数,所以在 上单调递增， 且当时,,满足 的定义域要求,所以在上单调递增,故 符合题意. 当时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 . 所以在 上单调递增. 要使有意义,则在 上恒成立. 当时,,因为,所以,满足 ,所以 符合题意. 当时,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线 .那么在上单调递增,在 上单调递减,所以 不可能在上单调递增,故 不符合题意. 综上所述,实数的取值范围是 . 5.A【解析】 在定义域内是单调函数,且对于任意的 ,都有,令为常数,即 . 令,得,即,则 ,解得 , 故.易知在上为增函数,所以 ,即在区间上的值域为 . 6.ABD【解析】 令 （抽象函数求函数值,优先考虑赋值法）,得 ,所以 ； 令,得,所以,任取, ,且,则 （根据函数形式识别出用作差法判断函数单调性）,因为,所以,所以,所以在 上是减函数； ； 因为,且,所以,所以 , 所以 （注意先将不等式两边都带上“f”,再根据单调性脱去“f”）等价于 ,又在上是减函数,且,所以 （注意定义域）解得 , 即不等式的解集为 . 7.ABD【解析】 不妨设,则,即 联想到构造函数 , 令（构造函数）,则,所以在 上单调递减, 由,得,即 ,A正确； 因为,所以,即 ,即 ,B正确； 因为,所以,即 ,C错误； 因为（当且仅当,即 时等号成立）,所以 ,则 ,D正确. 8.BC【解析】 由题意得恒成立,即 恒成立,故,解得 . 由恒成立,得,设,则 , 函数在上单调递增,在 上单调递减, 故,故 . 综上所述, . 8. 【解析】 当 时, 由于的图象是对称轴为直线 且开口向下的抛物线, ,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,则 在上单调递减,在上单调递增,,,,在 上的值域为, , 故当时,,在上的值域为 . 当时,为上的增函数,在上的值域为 ,则 解得 ； 当时, ,不符合题意； 当时,为上的减函数,在上的值域为 , 则解得 . 综上,实数的取值范围是 . 9.(1)【答案】,,解得 .（5分） (2)【答案】 在 上单调递减.（6分） 证明如下:任取,,且 ,（7分） 则 ,（8分） ,,且,, , ,,即,所以函数在 上单调递减. （10分） (3)【答案】 由对任意的恒成立,得 ,（12分） 由（2）知在 上单调递减, 函数在上的最大值为, ,（14分） 则所求实数的取值范围为 }.（15分） 10.(1)【答案】因为,对任意的, 恒成立, 所以 恒成立. 当时,恒成立,即 , 解得且,所以 ； 当时, ,显然成立； 当时,恒成立,即 , 解得且,所以 . 综上所述,的取值范围为 . 另解：因为,（主参换位法）对任意的, 恒成立,所以,解得 ； 且,解得 . 综上,的取值范围为 (2)【答案】 由题意可知, （分段函数包含两个二次函数,且都是定轴动区间型,分类讨论与， 的大小关系，进而确定函数最值） 当时, 的大致图象如图1所示. 根据二次函数的性质,可知函数在 上单调递减, 在上单调递增,所以函数的最小值为 . 当时, 的大致图象如图2所示. 根据二次函数的性质,可知函数在 上单调递减,在 上单调递增, 所以函数的最小值为 . 当时, 的大致图象如图3所示. 根据二次函数的性质,可知函数在 上单调递减,在 上单调递增, 所以函数的最小值为 . 综上所述, 当时,函数的最小值为,此时 ； 当时,函数的最小值为,此时 ； 当时,函数的最小值为,此时 . 综上所述,的最小值为 . 11.(1)2【解析】 因为为 的跟随区间, 所以函数的值域为 , 因为,则其图象的对称轴为直线 , 所以函数在 上单调递增, 因此根据题中所给的定义有得 . (2)0【解析】 函数的定义域为 , 因为函数存在跟随区间,设其跟随区间为 , 所以的值域为,而函数 是定义域内的减函数, 因此有 则 , 因为,所以 , 所以 ,则,即 , 所以,令, , 所以, , 则有,同理 . 设函数 ,（构造新函数） 因为,,所以, ,因为 ,,所以方程在 时,有两个不相等的实数根. 因此直线与函数的图象有两个交点,因此有 , 则 的最大值是0. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $