3.1.2 表示函数的方法、3.1.3 简单的分段函数能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第3章函数的概念与性质 3.1函数 3.1.2表示函数的方法&3.1.3简单的分段函数 能力提升训练 1.（2025江苏连云港期中)已知函数fx+1=x2+x,且函数fx+1的定义域为 [-1,1],则() AfX=X+3x+1'x∈[-2,0] B fx=x2+3x+1'x∈[0,2] Cfx=x2-x'x-2,0] D fx=x2-x'x∈[0,2] 2.(2024河南南阳阶段练习)下图中是函数y=2x-1的图象的是() X-1 A B. D 3.（2024江苏南通东南中学期中) 已知函数fx=6+2+1,X≤0，则满足 i-x2,x>0, ffal=1的a的值有( A1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.（2025黑龙江哈尔滨三中期中)中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代 数学》时，首次将“function”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译， 书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函 数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x,都有一个确定的y 高一上册湘教版数学必修第一册 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式函数 fx由下表给出，则ff3-2的值为() x≤0 0<x<2 x≥2 y 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025湖南邵阳期中)函数fx,gx分别由下表给出： 0 2 0 2 g(x) 0 f() 2 0 满足fgx>gfx 的所有、的值的和为。 6.(2024海南海口期中)某信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）， 接收方由密文→明文（解密），已知加密的方法是英文的a,b,c,…,z(不论大 小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数通过变换公式fx=将明文转换成 密文，如8-+13=17，即变换成4,5,5=3，即e变换成c按上述规定， 2 若将明文译成的密文是gawqj,则原来的明文是 7.（2024江西景德镇一中期中)已知函数fx=2-x,X≤3，若ffm≥0 乙x2-4x+4,x>2. 则实数m的取值范围是 2 高一上册湘教版数学必修第一册 8.(2025甘肃张掖二中检测)(1)已知f(x+2)=x+4Vx,求函数fx的解析 式： (2)已知fx是二次函数，且满足f0=1,f(x+1)=fx+2x,求函数fx的 解析式； (3)已知fx+2f-x=x2-x,求函数fx的解析式. 9.（2025福建莆田六中期中)已知函数fx=x-1,gx=-x2+2x+1. ↓-1--- -$43-2-101234.5元-5-43-2-101.2345 上-4--* -4.4 ---4 (1)在同一坐标系中画出函数fx,gx的图象； (2)定义Hx∈R,hx表示fx与gx中的较小者，记为h(x=min{fx,gx}, 3 高一上册湘教版数学必修第一册 画函数hx的图象，并求函数hx的解析式，写出hx的值域（不需要证明）· 10.(2024福建福州四中期中)如图，△OAB在平面直角坐 标系xOy内，点A,B的坐标分别为1,1和3,0，记△OAB 位于直线x=tt>0左侧的图形面积为ft). (1) 求f 1-2 的值； (2) 求ft的解析式 4 高一上册湘教版数学必修第一册 参考答案 1.D【解析】fx+1=x2+x=x+1}2-x+1(配凑法)，则fx=x2-x,又函数 fx+1的定义域为-1,1]（注意是x的范围），即-1≤x≤1， 所以0≤x+1≤2， 所以函数fx=x2-x的定义域为[0,2]. 2.A【解析】 由题意得y=2+x1其图象可由y=的图象先向右平移1个单位 长度再向上平移2个单位长度得到则函数y=2x- X-1 的图象如图所示 3.B【解析】根据题意先分析当x≤0时与当x>O时，fx的取值范围，再由 ffa=1,分析fa的取值范围，再利用ffa=1,解得fa的值，代入分段函数解 析式中得到a的值，即可得答案 根据题意函数fx=6X+2x+1,X≤0，当×≤0时，fX=X+2x+1=x+1≥0， (-x2,x>0, 当x>0时，fx=-x2<0,若ffa=1,必有fa≤0，则ffa=fa+12=1, 解得fa=0或-2. 若fa=0,必有a≤0，则fa=a+12=0,解得a=-1, 若fa=-2,必有a>0,则fa=-a2=-2,解得a=2.综上所述，a=-1或2. 4.B【解析】由表格可得f3=3,故f(f3-2)=f3-2=f1=2,(求复合函数值 要从里向外，一层一层地计算) 5.2 5 高一上册湘教版数学必修第一册 【解析】当x=0时，fg0=f0=2,gf0=g2=1, 满足fgx>gfx； 当x=1时，fg1)=f2=0,gf1=g1=2, 不满足fgx>gfx): 当x=2时，fg2=f1=1,gf2=g0=0,满足fgx>gfx. 综上所述，x的值为0或2，则满足条件的所有x的值的和为0+2=2. 6.maths 【解析】由题意知，明文译成的密文是gawqj,.设密文g对应的明文为a, 则fa=7若=7则x=13,成立若号+13=7无解则a=13,即g对应的明文为m, 同理可以确定其他密文对应的明文，如表所示， 密文 g a 9 f(x) 7 1 23 17 10 明文 m a h 所以原来的明文是maths. 7.d 【解析】作出函数fx的图象，如图所示， 若ffm≥0，则fm≥-2， 又因为f-4=2--4=-2,结合图象可知m≥-4， 所以实数m的取值范围是(. 6 高一上册湘教版数学必修第一册 8.(1)【答案】已知fgx)的解析式，求fx的解析式. 方法一：换元法设t=x+2,则t≥2，Vx=t-2,即x=t-22, 所以ft=t-22+4t-2=t-4, 所以fx=x2-4x≥2. 方法二：配凑法.因为x≥0，所以Vx+2≥2，又fVx+2=x+4Vx=x+22-4, 所以fx=x2-4x≥2. (2)【答案】因为fx是二次函数，所以设fx=ax+bx+ca≠0). 由f0=1,得c=1. 由fx+1=fx+2x,得ax+12+bx+1+1=ax2+bx+1+2x, 整理得2a-2)x+a+b=0, 所以 20b28m以60所以x=-x+1 (3)【答案】因为fx+2f-x=x2-x,① 所以f-x+2fx=x+x(将①式中的x替换为-x),② ②×2-①，得3fx=x2+3x所以fx= 3+x. 9.(1【答案】fx,gx的图象如图所示. -3-4-3-2034.5元 (2)【答案】令fx=gx,即x-1=-x2+2x+1. 当x≥1时，x-1=-x2+2x+1,解得x=2；当x<1时，1-x=-x2+2x+1,解得x=0. 则当x<0时，gx<fx；当0<x<2时，fx<gx；当x>2时，gx<fx 7 高一上册湘教版数学必修第一册 (也可通过图象快速求解)， i-x2+2x+1,x<0, ∴.hx= lx-1l,0≤x≤2， i-x2+2x+1,x>2. hx的图象如图所示. 由图象可知，hx的值域为. 10.(①)【答案】当=时图形为直角边长为的等腰直角三角形， 所以f (2)【答案】当0<t≤1时，图形为直角边长为t的等腰直角三角 形此时ft=, 当1<t≤3时如图， 设直线x=t与线段AB交于点C,与x轴交于点D,过点A作AE⊥x轴于点E, 可知△BCD-△BAE,得BDBE=2 CD AE1 x=l 因为BD=3-t所以CD=3-t, 则Sm号BDCD=3-, 因此当1<t≤3时， ftl=2x3×1-, 当>3时ft=×3×1-3 8 高一上册湘教版数学必修第一册 ,01. 综上fu归6-3+号，1<s3 ,3 9