3.1.2表示函数的方法（教学课件）数学湘教版必修第一册

3.1 函数 3.1.2 表示函数的方法 第3章 函数的概念与性质 复习引入 把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法，就是表示函数的方法.在初中数学中，我们用数学表达式、函数表或函数图象来表示函数.这是表示函数的三种主要方法，分别叫作解析法、列表法和图象法. 数学研究的对象是抽象的.抽象的东西看不见摸不着，把它表示出来才便于研究.因此，数学讲究表示. 新知探索——解析法 正方形面积是边长的函数，用公式来表示，既说明了是的函数，又说明了如何从出发求出对应的面积. 这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法. 用解析式表示函数简捷明了，便于计算函数值和推导函数的性质，是最基本最常用的函数表示方法之一. 例析 例 3 某地在山区修建水库大坝，坝高随山势起伏在到之间变化.已知坝体的横断面为梯形，上底为，下底与坝高之间满足关系式：.为估计修建大坝的土方量，需要把横断面面积表示为坝高的函数，试写出该函数的解析式及其定义域，并求出坝高为，，时大坝横断面的面积. 解 由题意可得函数的解析式为， 该函数的定义域为. 由函数解析式可求出对应于坝高为，，时大坝横断面的面积分别为，，. 例析 从以上解析式可以看到，该函数是二次函数，它的图象是我们所熟悉的，必要时用计算机也容易画出它的图象，列出函数表.通常，只要找到了函数的解析式，求函数值、画图象、列表都能迎刃而解. 如果我们讨论的函数由一个解析式表示，并且不考虑它的实际意义，那么这个函数的定义域就是指使这个解析式有意义的自变量取值范围，也称为自然定义域.在实际问题中，函数的定义域还受到实际意义的制约，通常将自然定义域收缩到某个子集作为函数的定义域. 新知探索——列表法 商店里有些营业员为了工作的方便，对一些畅销商品，事先列好一张表备用.例如某商品每件价格为元，可以列出下表： 其实，这就是最简单的函数列表表示法，这里，自变量是商品的件数，而相应的销售价格就是商品件数的函数. 如果设商品的件数为，销售价格为,则可以用解析法来表示函数关系： 即 新知探索——列表法 还比如，某水库的存水量与水库最深处的水深的关系如下表所示： 从表中可以看到，每一深度都对应唯一的一个存水量，这个表格就给出了与之间的对应关系，也就是函数关系. 我们发现，在该实例中，如果我们要用解析法来表示函数关系就会显得比较复杂. 新知探索——列表法 用列表法表示函数关系，优点是具体易用，不懂数学运算的人也能查表做事，缺点是不够全面.例如，如果你还想知道该水库在水深为时的存水量，那么你所能得到的只是“大约多少多少”了，因为，在表中你是查不出来的.再者，从表上也很难看出函数的数学性质. 不过，因为列表法有着简单明了的优点，对一些特定的自变量值，相应的函数值可以直接从表上查到，因此，人们也常将某些用解析式表示的函数编成表格，如平方表、平方根表以及将要学习的对数表、三角函数表等数学用表，都可以看作是用列表法表示函数.在历史上没有电子计算机的年代，函数表是科学研究和工程技术有关计算活动中不可缺少的工具. 新知探索——列表法 数学用表在生活中是很常见的.例如银行的储蓄利率表，保险公司的汽车折旧保费表，税务部门按不同收入的税率表，等等. 你能举出更多的例子吗？ 新知探索——图象法 医院为了及时了解住院病人的病情，通常每隔一定时间要为病人测一次体温，护士在打好方格的纸上把每次测得的病人体温记成一串点，再把这些点用线段或曲线连接起来，这就形成了每个病人的体温曲线.医生则把这一曲线作为了解病情变化的重要参考. 自动测温仪则是根据上述原理，自动完成定时测温、描出曲线的工作. 例如，设时间为(时)，气温为()，自动测温仪测得某地某日从时到时的温度曲线如图.在图上，如果要知道某一时刻该地的温度，只要在轴上找到表示时刻的点，过该点作出轴的垂线与气温曲线交于点，便得到时刻对应的一个温度.这条气温曲线就给出了时间和气温间的对应规律. 新知探索——图象法 你能从图中看出下午时当地的气温吗？能看出这小时内何时气温最低吗？ 为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的图象.作图通常有列表、描点、连线三个步骤： 列表——先找出一些有代表性的自变量值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来； 描点——从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点； 连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 要作出更精确的图象，常常需要描出更多的点. 例析 例 4 作出函数的图象. 解 选择方便计算的几个数值，列表如下： 根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，得到下图. 你能根据左图估计出，，的近似值吗？ 例析 函数的三种表示方法，各有长处和不足，在对具体问题的研究中常常将不同的方法结合起来. 在数学课程中，我们主要讨论的是解析法和图象法，并且经常把两种方法结合起来进行讨论.有了函数的解析式，用计算机等电子设备作函数图象或列函数表很方便，所以获取函数的解析式和计算方法常常是研究函数的基础性工作. 解析法 ①两个变量间的关系简明、全面、精确 ；②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值.解析法是中学研究函数的主要表达方法. 图象法 ①能直观形象地表示出函数的变化趋势；②有利于研究函数的某些性质. 图象法是数形结合思想方法的基础. 列表法 ①不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值；②当自变量的取值较多时不便于操作.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用. 练习 题型一：函数的表示方法 例1.购买某种饮料听，所需钱数为元.若每听饮料元，用解析法将表示成 的函数为__________________. 答案：. 解：根据正比例关系可得，. 练习 方法技巧： 三种不同函数表示方法的优缺点： 解析法 ①两个变量间的关系简明、全面、精确 ；②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值.解析法是中学研究函数的主要表达方法. 图象法 ①能直观形象地表示出函数的变化趋势；②有利于研究函数的某些性质. 图象法是数形结合思想方法的基础. 列表法 ①不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值；②当自变量的取值较多时不便于操作.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用. 练习 变1.已知函数由下表给出，则 解 由表可知： 练习 题型二：求函数解析式 例2.(1)已知函数是一次函数，且其图象经过点(1,2)和(2,5).求的值. (待定系数法) 解：(1)设， 由题意知解得 ∴，即. 练习 例2.(2)已知，求.(方程组法) 解：(2)由，① 可得.② 联立①②，得： 练习 方法技巧： 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 练习 变2.(1)若函数, 求函数.(配凑法) 解：(1)∵在， ∴ 变2.(2)若函数, 求函数.(换元法) 解：(2)设，则， ∴ 即 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数的表示法； (2)函数三种表示法的优缺点. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P71的练习1题； (3)课本P75的习题3.1的题. 谢谢学习 Thank you for learning $$