精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2024级高二学年上学期9月考试 数学试题 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标 B. 当时，半径 C. 圆心到直线距离为 D. 当时，圆面积为 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A 直线与垂直 B. 若点坐标为，则直线的方程为 C. 若直线的方程为，则点的坐标为 D. 若直线过椭圆的焦点，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则___________． 13. 若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________. 14. 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16 已知直线，圆，圆：. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 17. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 19. 如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点． （1）若，求直线的斜率； （2）求证：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二学年上学期9月考试 数学试题 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 3. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 5. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得关于直线的对称点，椭圆的右焦点，从而求得反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， ，解得， 椭圆的右焦点， 直线也即反射光线所在直线方程为. 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 7. 如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线方程为， 令可得，即． 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断A错误，根据两直线垂直关系可知时也符合题意，因此B错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确. 【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误， 对于B，当时，两直线为和，此时两直线互相垂直，即充分性成立； 若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，将直线整理可得， 显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大， 此时满足，即可得，解得，因此C正确； 对于D，如下图所示： 易知，直线与轴平行， 显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意， 所以可知直线的斜率的取值范围是. 故选：CD 11. 已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与垂直 B. 若点的坐标为，则直线的方程为 C. 若直线的方程为，则点的坐标为 D. 若直线过椭圆的焦点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆中点弦问题逐项判断得解. 【详解】对于A，设，则， ， 因此，即，直线与不垂直，A错误； 对于，由点，得，则，则直线的方程为，即，B正确； 对于C，由直线的方程为，得，点的坐标不可能为，C错误； 对于D，过椭圆焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长， 而椭圆最短弦长为1，最长弦长为4，又直线的斜率存在且不过原点，则，D正确. 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 13. 若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________. 【答案】6x－5y－9＝0 【解析】 【分析】 先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案. 【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2， 又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0， 联立直线AC与直线CM方程得 解得 顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ， 由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0， B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0， 联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）. 于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0. 故答案为：6x－5y－9＝0 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14. 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图， 因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 已知直线，圆，圆：. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可； （2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可. 【小问1详解】 由于，则直线过定点，，故定点在圆内，直线与圆相交. 【小问2详解】 法一：联立两圆方程，解得， 令所求圆方程为， 代入三点，， 得所求圆方程为. 法二：令所求圆方程为， 代入，， 解得，故所求圆方程为. 17. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为8，面积为 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ， ， 椭圆 小问2详解】 根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】（1）或， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程 （2）设，可得为直径得方程，可求得直线得方程为，即可得定点. (3)由可得，进而可得：• ，可求得其范围. 【小问1详解】 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， 【小问2详解】 ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. 【小问3详解】 由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 19. 如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点． （1）若，求直线的斜率； （2）求证：是定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，可求解，进而根据两点距离公式，代入化简即可求解， （2）根据相似，结合椭圆的定义可得，，即可相加，结合，，化简即可求解. 【小问1详解】 由于，又因为， 所以设直线的方程分别为，，，，，． 联立方程可得，求得． 所以 ．① 同理可得，．② 由①②两式得，． 由已知得，故． 注意到，所以．所以直线的斜率为． 【小问2详解】 证明：因为，所以， 即，即． 所以． 由点椭圆上知，， 所以． 同理可得，． 所以 ． 由①②两式得，，， 所以． 所以是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $