学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷02（人教版，测试范围：第二十一章～第二十四章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程x2＝－2x的解是（      ） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 3．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（    ） A．80° B．76° C．62° D．52° 5．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A．B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 13．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 14．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 16．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1) (2) 18．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．    （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 20．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证： (2)连接，若，求的度数． 21．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程x2＝－2x的解是（      ） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 3．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（    ） A．80° B．76° C．62° D．52° 5．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A．B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 13．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 14．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 16．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1) (2) 18．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．    （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 20．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证： (2)连接，若，求的度数． 21．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题 22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 12 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) r 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2．一元二次方程x2＝－2x的解是（      ） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 【答案】D 【分析】先移项、然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解 ：x2＝－2x x2+2x=0 x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， 所以x1＝0，x2＝-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：B． 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（    ） A．80° B．76° C．62° D．52° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数． 【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°， ∴∠BOC=2∠BAC=76°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 所得到的抛物线为． 故选：D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【分析】由旋转性质等到△ABD为等腰三角形,利用内角和180°即可解题. 【详解】解：由旋转可知,∠BAD=110°,AB=AD ∴∠B=∠ADB, ∠B=（180°-110°）2=35°, 故选B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉旋转的性质是解题关键. 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 8．共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据10月投放台数，利用增长率表示12月投放3000（1+x）2台，根据题意列方程即可． 【详解】解：设增长率为x， ∵计划10月投放3000台， ∴12月投放3000（1+x）2， 则可列方程． 故选A． 【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数． 9．抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线与x轴交于点A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移4个单位长度后的解析式， 当直线过B点，有2个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， ， 相切， ， ， 如图，    若直线与、共有3个不同的交点， --， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 13．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 14．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为，即， 故答案为：3． 16．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故③正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3， 点的横坐标最大值为3，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）移项后，利用直接开方法求解即可； （2）利用公式法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．    （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【答案】（1）△AB 1C 1如图所示；见解析；（2）△A 2B 2C 2如图所示；见解析． 【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1； （2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【详解】（1）△AB1C1如图所示；   （2）△A2B2C2如图所示． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 20．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证： (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，由旋转得到，则，根据证明即可． （2）证明是等边三角形，得到，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 由旋转得到， 故， 在和中， ， ； （2）解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 21．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 23．（10分）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：由（1）得， 设的半径，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或 舍去， ∴的半径为． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)m的范围是或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图： 在中，令 得， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，设直线解析式为：， 则， ∴， ∴直线解析式为； 联立， 解得：或 舍去， ； （3）解：抛物线的函数解析式为：，顶点为， 将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式为； 将抛物线沿轴翻折后顶点为， 顶点运动的轨迹为， 图象的顶点坐标为， 则图象对应的函数解析式为：， 当图象过点时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； 当顶点为时，图象恰好过点、； 当抛物线与线段相切时， 联立和抛物线的表达式得：， 即； 令得：，此时， 的范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 5 6 7 8 0 10 C D B B D B C D C 第二部分（非选择题共90分) 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11.(3,-2) 12.2024 13.20 14.3 15.3 16.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】(1)解：x2-25=0 x2=25, .x1=5,X2=-5;(4分) (2)2x2-4x+1=0 .a=2b=-4,c=1, .△=16-4×2×1=8>0， x=-兰2-1士号， 4 X=1+9x2=1- .(8分) 18.(8分) 【详解】(1)△ABC如图所示；(4分) 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B A (2)△4BC2如图所示.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)证明：方程为：x2-5x+6-p2=0, ÷△=b2-4ac=(-5)2-4(6-p2)=4p2+1>0, :方程总有两个不相等的实数根；(4分) (2)解：由(1)得x2-5x+6-p2=0, 81+x2=-号=5，X1x2=景=6-p2 :X1=4x2 ·4x2+x2=5,4x22=6-p2 :82=1,p2=2 解得：p=士V2, ·实数p的值为±V2.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)证明：：△ABC是等边三角形， :AB=AC,∠BAC=600, 由旋转得到AE=AD,∠EAD=60°， 故∠BAE=∠CAD=60°-∠BAD, 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△AEB和△ADC中， AB-AC ∠BAE=∠CAD AE-AD :△AEB≌△ADC(SAS;(4分) (2)解：：AE=AD,∠EAD=60°， ·△AED是等边三角形， ·∠AED=60°， :△AEB≌△ADC(SAS, ·△AEB≌△ADC, ∠AEB=∠ADC=98°， :∠BED=∠AEB-∠AED=98°-60°=38°.(8分) 21.(8分) 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置. 过O点作OE⊥CD交CD于点E,延长EO交AB于点F.连接AO,CO 由矩形纸条可得CD∥AB, :OE⊥CD ,EF⊥AB,即E,O,F三点共线， :纸条宽度14cm. .EF=14cm AB =16cm,CD =12cm,OE L CD, .EC=12x1 6cm,FA=)×16=8cm(4分) 2 设OE=xcm, 则0F=(14-x)cm, 则C02=62+x2,A02=(14-x)2+82 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :半径相等， .C02=A02 62+x2=(14-x)2+82 解得x=8, 0D=V62+82=10(cm, 答：碗口直径为20cm(8分) 22.(10分) 【详解】(I)设y与x的函数关系式为y=a十b. (22k+b=36 把22,30与(24,32)代入，得24k+b=32. (k=-2 解得b=80 .y=-2x+80(20sx≤28).(3分) (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：c-20)y=150,即(x-20(-2x+80)=150. 解得x1=25,x2=35(舍去). 答：每本纪念册的销售单价是25元.(6分) (3)由题意，可得w=(-20(-2x+80)=-2x-30)2+200. :售价不低于20元且不高于28元，当x<30时，y随x的增大而增大， ·.当x=28时，w最大=-2×(28-30)2+200=192（元）： 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.(10 分) 23.(10分) 【详解】(1)证明：如图，连接0E, :0E=0C, 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠OEC=∠0CE, DF=FE, ∴∠FED=∠FDE, CO⊥AB, ∠C0D=90°， .∠CD0十∠OCD=90°， ∠FDE=∠CDO, ∴.∠FED+∠OEC=90°， 即∠FE0=90°， OE⊥FE :0E是半径， :EF为⊙O的切线；(5分) (2)解：由(1)得∠0EF=90°， 设⊙O的半径E0=B0=r,则BD=BF=r-1, ∴.FE=DF=2BD=2r-2,0F=DF+0D=2r-2+1=2r-1, 在Rt△FE0中，由勾股定理得，FE2+OE2=0P2, :(2r-2)+r2=(2r-1)2, 解得r=3,或r=1(舍去)， .⊙0的半径为3.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,-3),其对称轴为x=1, |c=-3 {-8=1 （b=-2 解得c=-3' :抛物线的函数解析式为y=x2-2x一3；（2分) (2)解：点D为第二象限抛物线上一点，设BD交y轴于K,如图1： 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 图1 在y=x2-2x-3中，令y=0得0=x2-2x-3, 解得：x=3或-1， ÷B(3,0),A(-1,0), ·0A=1,0B=3, rC(0,-3), :.0C=3, ·OB=0C, :∠AC0+∠BAC=90°， 又∠ABD+∠BAC=90·, :∠ACO=∠ABD,即∠AC0=∠KBO, :∠A0C=90°=∠B0K, △KOB≌△AOC(ASA), ·0A=0K=1, K(0,1), 由B(3,0),K(0,1)设直线BK解析式为：y=kx+b, ∫3k+b=0 则b=1 ∫k=- 1b=1 :直线BK解析式为y=-x+1; ∫y=-3x+1 联立y=x2-2x-3' 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=- ∫x=3 解得： (y= 或y=0 (舍)， D(-号)；(7分) (3)解：抛物线的函数解析式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点为(1，-4)， 将图象G沿直线BC平移，由B(3,0),C(0,-3)同上可得直线BK解析式为y=x-3; 将抛物线沿x轴翻折后顶点为(1,4)， :顶点运动的轨迹为y=x+3, :图象M的顶点坐标为(m,m+3), 则图象M对应的函数解析式为：y=-(x-m)2+m+3, 当图象M过点A(-1,0)时， -(-1-m)2+m+3=0,解得m=-2或1： 当图象M过点C(0,-3)时， -(0-m)2+m+3=-3,解得m=-2或3： :当顶点为(-2,1)时，图象M恰好过点A、C; 当抛物线与线段AC相切时， 联立y=-3x-3和抛物线的表达式得：-3x-3=-(x-m)2+m+3, 即x2-(2m+3)x+m2-m-6=0; 令A=0得：m=-器，此时， ·m的范围是1≤m≤3或m=一器.(12分) 7/72025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) O -C< -- 、 、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) A E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D B 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) E 0 D B F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！