专题06 指数、对数函数与函数应用（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期

专题06 指数、对数函数与函数应用 7大高频考点概览 考点01 分数指数幂运算 考点02 指数函数的概念及图象和性质 考点03 对数的概念及运算 考点04 对数函数的概念及图象和性质 考点05 指对比较大小 考点06 指、对型复合函数 考点07 函数的应用 地 城 考点01 分数指数幂运算 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 二、填空题 2．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中) 【答案】 【分析】根据指数幂的运算直接求解. 【详解】原式. 故答案为： 3．(23-24高一上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知且，则 . 【答案】/ 【分析】由已知条件消去未知数即可. 【详解】由于 所以 故答案为：. 4．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)= 【答案】/ 【分析】根据指数运算性质计算即可得出结果. 【详解】＋ ＝. 故答案为： 三、解答题 5．(24-25高一上·宁夏中宁县第一中学·期中)（1）计算: （2）已知 求 的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，再两边同时平方得：， 故， 所以. 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式运算的知识求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 7．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；②47 【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果； （2）①由求解出结果；②由求解出结果. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②由①知，两边平方得，. 8．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】利用根式的性质求解（1）（2）；利用指数幂的运算性质求解（3）（4）. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. 地 城 考点02 指数函数的概念及图象和性质 一、单选题 1．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 2．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质判断题设函数所过的定点坐标. 【详解】由题设，当，即时，， 所以函数过定点. 故选：B 3．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 5．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】AD 【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可. 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为D. 故选：AD. 二、填空题 6．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】16 【分析】设且，根据求出，再根据可求出结果. 【详解】设且， 由，得，解得， 所以，所以. 故答案为：. 7．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)函数且的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 地 城 考点03 对数的概念及运算 一、单选题 1．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数的运算法则化简，再通过指对互化即可得到答案. 【详解】，则，即． 故先：B. 2．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可. 【详解】要使函数有意义，即满足，解得， 所以函数的定义域为， 故选：D. 二、解答题 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)（1）化简： （2）计算：. 【答案】（1）9；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 4．(23-24高一上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)化简求值： （1），其中､为正数； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，逐步计算，即可得出结果； （2）根据对数的运算性质，逐步计算，即可得出结果. 【详解】（1）因为､为正数， 所以； （2） . 5．(23-24高一上·宁夏银川西夏区宁夏育才中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算进行化简即可； （2）利用对数运算进行化简即可. 【详解】（1） = （2） ． 地 城 考点04 对数函数的概念及图象和性质 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)若集合，集合，则（    ） A． B． C． D．（0，2） 【答案】D 【分析】先求出集合A，B，再根据交集定义可求. 【详解】∵，∴，则. 解不等式，得，则. 因此，. 故选：D. 2．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质得，再利用对数函数的单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】∵在时，有，，∴． 于是由，得得， ∴原不等式的集为． 故选：D． 3．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值. 【详解】函数，则. 故选：C 地 城 考点05 指对比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质判断即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 又， 所以. 故选：A 2．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】在上是减函数，，故A不正确； 在上是增函数，，故B正确； 在上是增函数，，故C正确； 在上是减函数，，故D正确． 故选：BCD. 3．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把各个数都转化为的形式，结合幂函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上是增函数，且，所以. 故选：D. 二、填空题 4．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)在 中，最大的数是 ． 【答案】 【分析】先化简每一个数，进而比较大小. 【详解】因为，，，， 所以最大的是. 故答案为：. 地 城 考点06 指对型复合函数 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是R上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，则在上单调递减， 在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，而不等式， 于是，两边平方得，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 2．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：B. 3．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集. 【详解】解：因为，则 所以，则为偶函数， 当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以，即，解得或， 所以的解集为 故选：D. 二、解答题 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数(且)是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）由求出值，再验证即得. （2）根据给定条件，确定函数的单调性，再脱去法则并分离参数求出函数最值即得. 【详解】（1）由是上的奇函数，得，解得， 此时，显然，即是奇函数， 所以. （2）由（1）知，，由，得，而且，解得， 函数都是上的增函数，因此在上单调递增， 不等式， 依题意，，，函数在上单调递增， 则当时，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 地 城 考点07 函数的应用 一、多选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解. 二、解答题 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足90万件时，（万元）；当年产量不小于90万件时，（万元）．通过市场分析，若每一万件售价为50万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)万件. 【分析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，再按分段函数写出解析式. （2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，再比较大小求解. 【详解】（1）当，时，； 当，时，， 所以所求函数解析式为. （2）当，时，， 则当时，取得最大值（万元）； 当，时，， 当且仅当，即时等号成立，即时，取得最大值万元， 显然，因此当时， 所以生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元. 3．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 【分析】（1）根据收入总成本求解即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可. 【详解】（1）由题意知利润收入总成本， 所以利润， 故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号； 综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】(1)图象见解析，或 (2)或 【分析】（1）根据解析式画出图像，结合图像即可求解不等式； （2）由图像即可求解. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； （2） 如图，与有2个交点，则或. 5．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示.    (1)画出函数在轴右侧的图象，根据图象直接写出函数在上的单调递增区间； (2)若方程有个不同的实数根，结合图象直接写出实数的取值范围； (3)求时，函数的解析式. 【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为和 (2) (3) 【分析】（1）根据图象的对称性直接画出轴右侧的图象，根据图象写出单调递增区间即可； （2）将问题转化为“的图象有个交点”，结合图象写出的取值范围； （3）根据为偶函数先求解出时的解析式，则的解析式可知. 【详解】（1）在轴右侧的图象如下图所示，    由图象可知，在上的单调递增区间为和. （2）因为方程有个不同的实数根，所以的图象有个交点， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示，    当的图象有个交点时，结合图象可知. （3）当时，，所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指数、对数函数与函数应用 7大高频考点概览 考点01 分数指数幂运算 考点02 指数函数的概念及图象和性质 考点03 对数的概念及运算 考点04 对数函数的概念及图象和性质 考点05 指对比较大小 考点06 指、对型复合函数 考点07 函数的应用 地 城 考点01 分数指数幂运算 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中) 3．(23-24高一上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知且，则 . 4．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)= 三、解答题 5．(24-25高一上·宁夏中宁县第一中学·期中) （1）计算: （2）已知 求 的值. 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)求值： (1) (2) 7．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 8．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； 地 城 考点02 指数函数的概念及图象和性质 一、单选题 1．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 2．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     二、填空题 6．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则 ． 7．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)函数且的图象必过定点 ． 地 城 考点03 对数的概念及运算 一、单选题 1．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中) （1）化简： （2）计算：. 4．(23-24高一上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)化简求值： （1），其中､为正数； （2）. 5．(23-24高一上·宁夏银川西夏区宁夏育才中学·期中)计算： (1) (2) 地 城 考点04 对数函数的概念及图象和性质 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)若集合，集合，则（    ） A． B． C． D．（0，2） 2．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 地 城 考点05 指对比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)在 中，最大的数是 ． 地 城 考点06 指对型复合函数 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·青海海东第一中学·期中)已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数(且)是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 地 城 考点07 函数的应用 一、多选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 二、解答题 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足90万件时，（万元）；当年产量不小于90万件时，（万元）．通过市场分析，若每一万件售价为50万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 3．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 5．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示.    (1)画出函数在轴右侧的图象，根据图象直接写出函数在上的单调递增区间； (2)若方程有个不同的实数根，结合图象直接写出实数的取值范围； (3)求时，函数的解析式. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $