14.2三角形全等的判定 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.1 全等三角形及其性质 学习目标 1. 理解全等形、全等三角形的概念，能够准确辨认全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角。 2. 掌握全等三角形的表示方法，会用符号“≌”表示两个三角形全等。 3. 掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4. 能够运用全等三角形的性质解决简单的求线段长度和角的度数的问题。 知识点讲解 一、全等形与全等三角形 1. 全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 · 特征：形状相同，大小相等。 2. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 · 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 二、全等三角形的表示方法 1. 符号：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 2. 表示规则：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 · 例如：若△ABC与△DEF全等，且点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，则记作△ABC≌△DEF。 三、全等三角形的性质 1. 性质1：全等三角形的对应边相等。 · 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF。 2. 性质2：全等三角形的对应角相等。 · 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 3. 重要说明： · “对应”是关键，在运用全等三角形的性质时，必须找准对应顶点、对应边和对应角。 · 全等三角形的周长相等，面积相等（此为性质的引申，可由对应边相等和对应角相等推导得出）。 例题解析 例题1：已知△ABC≌△FED，请写出所有的对应顶点、对应边和对应角。 例题2：若△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，求△DEF的周长。 例题3：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F的度数。 例题4：若△MNP≌△QRS，且MN=QR，NP=RS，∠M=∠Q。已知MN=3x-2，QR=x+6，求x的值及MN的长度。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形是全等三角形 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形 C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 2. 已知△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定 3. 若△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠E=50°，则∠F的度数为（ ） A. 70° B. 50° C. 60° D. 120° 4. 已知△ABC≌△A'B'C'，△ABC的周长为32cm，A'B'=9cm，B'C'=10cm，则AC的长为（ ） A. 9cm B. 10cm C. 12cm D. 13cm 二、填空题 1. 若△OAD≌△OBC，且OA=OB，则对应边为AD与________，OD与________，对应角为∠A与________，∠D与________。 2. 若△ABC≌△DEF，且∠B=60°，∠C=70°，则∠D=________度。 3. 已知△ABC≌△DEF，AB=DE=8cm，△ABC的面积为24cm²，则△DEF中DE边上的高为________cm。 4. 若△ABC≌△DEF，AB=3x-1，DE=2x+5，则x=________，AB=________。 三、解答题 1. 已知△ABC≌△DEF，∠A=58°，∠B=63°，BC=15cm。求∠F的度数及EF的长度。 2. 若△MNP≌△QST，MN=QS=4cm，NP=ST=5cm，PM=TQ=6cm，∠M=70°，∠N=60°。求△QST的周长和∠T的度数。 3. 已知△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=∠A'=90°，∠B=35°。 （1）求∠C'的度数； （2）若AC=A'C'=10cm，BC=B'C'=20cm，求A'B'的长度 4. 已知△ABC≌△DEF，且△ABC的三边长分别为a、b、c，△DEF的三边长分别为4、5、6。若a=5，b=6，求c的值，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1 全等三角形及其性质 学习目标 1. 理解全等形、全等三角形的概念，能够准确辨认全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角。 2. 掌握全等三角形的表示方法，会用符号“≌”表示两个三角形全等。 3. 掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4. 能够运用全等三角形的性质解决简单的求线段长度和角的度数的问题。 知识点讲解 一、全等形与全等三角形 1. 全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 · 特征：形状相同，大小相等。 2. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 · 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 二、全等三角形的表示方法 1. 符号：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 2. 表示规则：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 · 例如：若△ABC与△DEF全等，且点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，则记作△ABC≌△DEF。 三、全等三角形的性质 1. 性质1：全等三角形的对应边相等。 · 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF。 2. 性质2：全等三角形的对应角相等。 · 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 3. 重要说明： · “对应”是关键，在运用全等三角形的性质时，必须找准对应顶点、对应边和对应角。 · 全等三角形的周长相等，面积相等（此为性质的引申，可由对应边相等和对应角相等推导得出）。 例题解析 例题1：已知△ABC≌△FED，请写出所有的对应顶点、对应边和对应角。 解析： 根据全等三角形的表示方法“△ABC≌△FED”，对应顶点为： 点A与点F，点B与点E，点C与点D。 由此可得对应边为： AB与FE，BC与ED，AC与FD。 对应角为： ∠A与∠F，∠B与∠E，∠C与∠D。 例题2：若△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，求△DEF的周长。 解析： ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等） 已知AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm ∴DE=5cm，EF=7cm，DF=9cm △DEF的周长 = DE + EF + DF = 5 + 7 + 9 = 21 cm 故△DEF的周长为21cm。 例题3：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F的度数。 解析： 在△ABC中， ∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理） ∠A=60°，∠B=70° ∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 70° = 50° ∵△ABC≌△DEF ∴∠C=∠F（全等三角形的对应角相等） ∵∠C=50° ∴∠F=50° 故∠F的度数为50°。 例题4：若△MNP≌△QRS，且MN=QR，NP=RS，∠M=∠Q。已知MN=3x-2，QR=x+6，求x的值及MN的长度。 解析： ∵△MNP≌△QRS ∴MN=QR（全等三角形的对应边相等） 已知MN=3x - 2，QR=x + 6 ∴3x - 2 = x + 6 3x - x = 6 + 2 2x = 8 x = 4 则MN = 3x - 2 = 3×4 - 2 = 12 - 2 = 10 故x的值为4，MN的长度为10。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形是全等三角形 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形 C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 2. 已知△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定 3. 若△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠E=50°，则∠F的度数为（ ） A. 70° B. 50° C. 60° D. 120° 4. 已知△ABC≌△A'B'C'，△ABC的周长为32cm，A'B'=9cm，B'C'=10cm，则AC的长为（ ） A. 9cm B. 10cm C. 12cm D. 13cm 二、填空题 1. 若△OAD≌△OBC，且OA=OB，则对应边为AD与________，OD与________，对应角为∠A与________，∠D与________。 2. 若△ABC≌△DEF，且∠B=60°，∠C=70°，则∠D=________度。 3. 已知△ABC≌△DEF，AB=DE=8cm，△ABC的面积为24cm²，则△DEF中DE边上的高为________cm。 4. 若△ABC≌△DEF，AB=3x-1，DE=2x+5，则x=________，AB=________。 三、解答题 1. 已知△ABC≌△DEF，∠A=58°，∠B=63°，BC=15cm。求∠F的度数及EF的长度。 2. 若△MNP≌△QST，MN=QS=4cm，NP=ST=5cm，PM=TQ=6cm，∠M=70°，∠N=60°。求△QST的周长和∠T的度数。 3. 已知△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=∠A'=90°，∠B=35°。 （1）求∠C'的度数； （2）若AC=A'C'=10cm，BC=B'C'=20cm，求A'B'的长度 4. 已知△ABC≌△DEF，且△ABC的三边长分别为a、b、c，△DEF的三边长分别为4、5、6。若a=5，b=6，求c的值，并说明理由。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：C 解析：A选项，形状相同但大小不一定相等，故错误；B选项，面积相等的三角形形状不一定相同，故错误；C选项，全等三角形的性质，正确；D选项，等边三角形边长不一定相等，故错误。 2. 答案：A 解析：∵△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点 ∴BC=AD（对应边相等） ∵AD=4cm ∴BC=4cm。 3. 答案：C 解析：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50° ∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 70° - 50°=60° ∵△ABC≌△DEF ∴∠C=∠F（对应角相等） ∴∠F=60°。 4. 答案：D 解析：∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B'=9cm，BC=B'C'=10cm（对应边相等） ∵△ABC的周长为32cm ∴AB + BC + AC=32cm ∴AC=32 - AB - BC=32 - 9 - 10=13cm。 二、填空题 1. 答案：BC ； OC ； ∠B ； ∠C 解析：由△OAD≌△OBC及OA=OB，可得对应顶点为O与O，A与B，D与C。因此对应边AD与BC，OD与OC，OA与OB；对应角∠A与∠B，∠D与∠C，∠O与∠O。 2. 答案：50 解析：在△ABC中，∠B=60°，∠C=70° ∠A=180° - ∠B - ∠C=180° - 60° - 70°=50° ∵△ABC≌△DEF ∴∠A=∠D（对应角相等） ∴∠D=50°。 3. 答案：6 解析：∵△ABC≌△DEF ∴△DEF的面积=△ABC的面积=24cm²（全等三角形面积相等） 设△DEF中DE边上的高为h cm。 S△DEF = (1/2) × DE × h = 24 即 (1/2) × 8 × h = 24 4h = 24 h = 6。 4. 答案：6 ； 17 解析：∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE（对应边相等） ∴3x - 1 = 2x + 5 3x - 2x = 5 + 1 x = 6 AB=3x - 1=3×6 - 1=17。 三、解答题 1. 答案：∠F=59°，EF=15cm 解析：在△ABC中，∠A=58°，∠B=63° ∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 58° - 63°=59° ∵△ABC≌△DEF ∴∠C=∠F（对应角相等），BC=EF（对应边相等） ∵∠C=59°，BC=15cm ∴∠F=59°，EF=15cm。 2. 答案：△QST的周长为15cm，∠T=50° 解析：△QST的周长=QS + ST + TQ ∵MN=QS=4cm，NP=ST=5cm，PM=TQ=6cm ∴△QST的周长=4 + 5 + 6=15cm 在△MNP中，∠M=70°，∠N=60° ∠P=180° - ∠M - ∠N=180° - 70° - 60°=50° ∵△MNP≌△QST ∴∠P=∠T（对应角相等） ∵∠P=50° ∴∠T=50°。 3. 答案：（1）∠C'=55°；（2）A'B'=10√3 cm 解析：（1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=35° ∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 90° - 35°=55° ∵△ABC≌△A'B'C' ∴∠C=∠C'（对应角相等） ∴∠C'=55°。 （2）∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B'，AC=A'C'=10cm，BC=B'C'=20cm（对应边相等） 在Rt△ABC中，∠A=90°，根据勾股定理 AB² + AC²=BC² AB²=BC² - AC²=20² - 10²=400 - 100=300 AB=√300=10√3 cm ∴A'B'=AB=10√3 cm。 4. 答案：c=4 解析：∵△ABC≌△DEF ∴△ABC与△DEF的对应边相等 ∵△ABC的三边长分别为a、b、c，△DEF的三边长分别为4、5、6 ∴a、b、c应分别与4、5、6中的某一个数相等（对应关系） ∵a=5，b=6 ∴a对应5，b对应6 因此剩下的c必然对应4 ∴c=4。 学科网（北京）股份有限公司 $