专题04 实际问题与二次函数（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期人教版

专题04 实际问题与二次函数 4大高频考点概览 考点01 拱桥、投球、喷水问题 考点02 销售问题 考点03 图形问题 考点04 其它问题 地 城 考点01 拱桥、投球、喷水问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m 2．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市道里区群力经纬中学·期中)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（   ）米 A．3 B．2 C．3 D．2 二、填空题 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是 ． 4．(24-25九上·黑龙江省伊春市·期中)要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    6．(24-25九上·黑龙江省大庆市·期中)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 7．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 8．(24-25九上·黑龙江肇东第七中学校·期中)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第 秒时炮弹所在高度最高． 9．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市香远中学校·期中)如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是 ． 　　　   10．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为 m． 三、解答题 11．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离米时，实心球行进至最高点：米处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 12．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽为，水位上升就达到警戒线，这时水面宽米． (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每时的速度上升，从警戒线开始，再持续多久就达到拱桥顶？ 地 城 考点02 销售问题 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高 元时，可以使每天的销售利润最大． 二、解答题 2．(24-25九上·黑龙江省大庆市·期中)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． (1)当x＝50时，总利润为 　 　元； (2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； (3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学·期中)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． (1)当每件的销售价为53元时，该纪念品每天的销售数量为 件； (2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 5．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件;后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件. (1)该网店销售该商品原来一天可获利润 元. (2)设后来该商品每件售价降价元，网店一天可获利润元. ①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元? ②求与之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大?并求最大利润值. 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 8．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价(元 3.5 5.5 销售量(袋 280 120 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 9．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期中)为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 10．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中) “五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元． (1)求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 11．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期中)某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (2)问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 12．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少5个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 13．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示. (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元? (3)今年七月下旬天晴少雨，气温持续在上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元? 14．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)某商场经销一种商品，每件成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 65 70 销售量y（件） 70 60 50 40 (1)求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式： (2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 15．(24-25九上·黑龙江省肇东市第七中学校·期中)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为y件． (1)直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式______； (2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？ (3)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 16．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 17．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 18．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香远中学校·期中)戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元的医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低元，则日销售量增加盒． (1)若每盒售价降低元，则日销量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． (2)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？ 并求出最大日利润． 19．(24-25九上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是220件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量件：________________________； (2)在（1）的条件下，若商场获利了2520元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ (3)在（1）的条件下，销售单价应定为多少元时，商场销售该品牌玩具获利最大，最大利润是多少元？ 20．(24-25九上·黑龙江牡丹江海林朝鲜族中学·期中)22022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元． (1)求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式； (2)求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？ 21．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 22．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)某市照明公司减少白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元，某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 23．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 24．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县八校·期中)某商场购进一批单价为16元的商品，经市场调查发现若按每件20元销售，每月能售出360件，若按每件25元价格销售，每月能售出210件，假定每月销售量y（件）是销售单价x（元）之间满足一次函数关系． (1)试求y与x之间的函数关系式． (2)在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，销售单价定为多少元时，才能使月利润最大？最大销售利润是多少元？ 25．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)每年6月的第三个星期日即为父亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在父亲节为父亲送礼物，感恩父亲，祝福父亲．节日前夕，某店采购了一批礼盒，成本价为60元每件，分析上一年父亲节的礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数． 销售单价（元/件） … 90 95 100 110 … 每天销售量（件） … 50 45 40 30 … (1)求出与的函数关系； (2)物价局要求，销售该礼盒获得的利润不得高于成本价的； ①当销售单价取何值时，该店销售礼盒每天获得的利润为1479元？ ②试确定销售单价取何值时，店里销售该礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出该店销售该礼盒每天获得的最大利润． 26．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．(24-25九上·黑龙江省伊春市·期中)用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（    ） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县第五中学（五四学制）·期中)用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为 ，围成的矩形的最大面积是 ． 5．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是 平方米． 6．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，当是 米时，场地的面积最大？ 7．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 三、解答题 8．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t． (1)几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米； (2)若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值． 9．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 10．(24-25九上·黑龙江肇东第七中学校·期中)如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 11．(24-25九上·黑龙江萝北县鹤北中学·期中)如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 12．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 13．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． (1)若花园的面积为，求的值； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 14．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 地 城 考点04 其它问题 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来． 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市·期中)行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程与时间的函数关系式为，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 m才能停下来． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实际问题与二次函数 4大高频考点概览 考点01 拱桥、投球、喷水问题 考点02 销售问题 考点03 图形问题 考点04 其它问题 地 城 考点01 拱桥、投球、喷水问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m 【答案】B 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5， ∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米， 把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2， 解得：x=±3， 2×3﹣4=2， 所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米， 故选B． 2．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市道里区群力经纬中学·期中)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（   ）米 A．3 B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过两点，则抛物线顶点坐标为（0，2），的坐标为 设顶点式，代入点坐标， 得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面宽度增加到米， 故选B． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立坐标求得抛物线解析式． 二、填空题 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】且， 当时，取最大值． 故答案为：． 4．(24-25九上·黑龙江省伊春市·期中)要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 6．(24-25九上·黑龙江省大庆市·期中)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 7．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 8．(24-25九上·黑龙江肇东第七中学校·期中)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第 秒时炮弹所在高度最高． 【答案】10 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等， ∴对称轴为直线, ∴炮弹位置达到最高时，时间是第10秒． 故答案为：10． 9．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市香远中学校·期中)如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是 ． 　　　   【答案】3m 【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+，由题意，得 10=a+， a=-． ∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+ 当y=0时，， 解得：x1=-1（舍去），x2=3． OB=3m． 故答案填3m． 【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键． 10．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为 m． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 三、解答题 11．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离米时，实心球行进至最高点：米处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该生在此项考试中得不到满分，理由见解析 【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）根据题意设关于的函数表达式为：， 把代入解析式得， ， 解得： 关于的函数表达式为： （2）该生在此项考试中得不到满分，理由： 当，则，， 解得：，（舍去）， ， 该生在此项考试中得不到满分． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题． 12．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽为，水位上升就达到警戒线，这时水面宽米． (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每时的速度上升，从警戒线开始，再持续多久就达到拱桥顶？ 【答案】(1)图见解析； (2)5小时 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系，设所求抛物线的解析式为：，把，则代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点坐标，进而可得拱桥顶到正常水位的距离，进而求出时间． 【详解】（1）解：如图所示，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设所求抛物线的解析式为：， 由，可设， 由，水位上升就达到警戒线， 则， 把、的坐标分别代入得： ， 解得：， ； （2）， 拱桥顶到的距离为， 小时， 所以再持续小时到达拱桥顶． 地 城 考点02 销售问题 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高 元时，可以使每天的销售利润最大． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设销售价提高元时，每天的销售利润为元，根据利润（销售价进价）销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设销售价提高元时，每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大， 故答案为：4． 二、解答题 2．(24-25九上·黑龙江省大庆市·期中)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． (1)当x＝50时，总利润为 　 　元； (2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； (3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（元）； (2)； (3)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元 【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得； （2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式； （3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得． 【详解】（1）解：当时， ， ∴销售量为40件， 利润为：（元）， 故答案为：400； （2）解：由题意得： ， ， ， ∴w与x的函数关系式为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 解得：； ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为：（元）， ∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学·期中)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． (1)当每件的销售价为53元时，该纪念品每天的销售数量为 件； (2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 【答案】(1)170 (2)每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用． （1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：（件）， 故答案为：170； （2）解：由题意得： ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【答案】(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元;(3)见解析. 【详解】试题分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得 （0＜x≤15且x为整数）； （2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润. （3）当时，，解得：,． 当时，，当时，． 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． 试题解析：（1）（且为整数）； （2）． ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时,y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15且x为整数， ∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）当时，，解得：,． ∴当时，，当时，． ∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． ∴当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元． ∴当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）． 考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用. 5．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【分析】（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得销售量为100﹣2（x﹣60），销售量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可； （2）将（1）中的2250换成y即可解答． 【详解】解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85． （2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800； y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元． 答：当售价定为75时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件;后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件. (1)该网店销售该商品原来一天可获利润 元. (2)设后来该商品每件售价降价元，网店一天可获利润元. ①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元? ②求与之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大?并求最大利润值. 【答案】（1）1000；（2）①8；②95；1125 【分析】（1）用每件利润乘以50件即可； （2）每件售价降价x元，则每件利润为（100﹣80﹣x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y， ①利用y＝1080得到方程（100﹣80﹣x）（50+5x）＝1080，然后解方程即可； ②由于y＝（100﹣80﹣x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值． 【详解】解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100﹣80）×50＝1000（元）， 故答案为1000； （2）①y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000， 当y＝1080时，﹣5x2+50x+1000＝1080， 整理得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8， 答：每件商品的售价应降价2元或8元； ②y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000＝﹣5（x﹣5）2+1125， 当x＝5时，y有最大值，最大值为1125， 则100﹣x＝95， 答：当该商品每件售价为95元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为1125元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x+200  （30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元． 【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量； （2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可； （3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润． 【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20× ∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200  （30≤x≤60） （2）由题意得： （x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800 解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元． （3）设每月获得的利润为w元，由题意得： w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450 ＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0 ∴当x≤65时，w随x的增大而增大 ∵30≤x≤60 ∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元． 【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性． 8．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价(元 3.5 5.5 销售量(袋 280 120 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为； （2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【分析】（1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设． 将，；，代入， 得，解得． 则与之间的函数关系式为． （2）由题意得： ． ∵3.5≤x≤5.5， 当时，有最大值为240． 故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键． 9．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期中)为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 【答案】(1)w=-2x2+280x-8000（40<x<100） (2)当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元 (3)少获得1000元的销售利润，销售价应 【分析】（1）根据总利润=销售量×单件利润，列出函数关系式； （2）将（1）的函数关系式化为配方式，利用二次函数的性质求最大值； （3）把w=1000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，即可求出x的取值范围． 【详解】（1）由题意得，，解得：40＜x＜100， ∴w =（-2x+200）•（x-40）， ∴w与x之间的函数关系式是w=-2x2+280x-8000（40＜x＜100）； （2）由①可知， w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+1800， 当x=70时，w=1800， 答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元； （3）当w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+18001000， 解得 ∴时 ∴至少获得1000元的销售利润，销售价应． 【点睛】本题考查了二次函数的运用和一元二次方程的应用．根据题意列出函数关系式是解决问题的关键． 10．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中) “五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元． (1)求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元 (2)5元；2000元 【分析】（1）设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元， 根据题意，得： 解得：， ∴ 答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元． （2）设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元， 由题意得：， 当时，函数有最大值，最大值是2000元． 答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 11．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期中)某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (2)问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每件童装应降价20元 (2)将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【分析】（1）设每件童装应降价x元，根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每千克樱桃应售价m元，利润为W元，根据利润单件利润销售量列出W与m的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件童装应降价x元， 由题意得，， 解得或， ∵要尽量减少库存， ∴， ∴每件童装应降价20元； （2）解：设将售价降价m元/件，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为1250， ∴将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和关系式是解题的关键． 12．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少5个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量(售价-进价)，列出平均每天的销售利润(元)与销售价(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）根据题意得： ∵， ∴时，随增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为2640元， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元． 13．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示. (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元? (3)今年七月下旬天晴少雨，气温持续在上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元? 【答案】(1)， (2)当红布李的售价为元时，光明村农户一周的收入最大，最大收入是55125元 (3)本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为54000元和12元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）设本周光明村农户一周获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答； （3）设本周光明村农户获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵平台的运营成本为每千克3元，农户的保底收入为每千克3元，且售价不超过15元/千克， ∴； （2）解：设光明村农户一周获得的收入为w元， 由题意得：， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴当红布李的售价为元时，光明村农户一周的收入最大，最大收入是55125元； （3）设本周光明村农户获得的收入为w元， 由题意得：， ，即， ， ， ，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为54000元和12元． 14．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)某商场经销一种商品，每件成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 65 70 销售量y（件） 70 60 50 40 (1)求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式： (2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）设当天的销售利润为w元，利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，将表中数据代入得：， 解得：． ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：设当天的销售利润为w元，则：， 即， ∵， ∴当时，w最大，最大利润是800元． 答：当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元． 15．(24-25九上·黑龙江省肇东市第七中学校·期中)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为y件． (1)直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式______； (2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？ (3)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)为了让顾客得到更大实惠，该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元 (3)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解； （3）设日销售利润为W元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让顾客得到更大的实惠， ∴舍去， ∴， 答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元． （3）解：设日销售利润为W元，由题意得： ， ∵， ∴当时，（元）； 答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多． 16．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 17．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 18．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香远中学校·期中)戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元的医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低元，则日销售量增加盒． (1)若每盒售价降低元，则日销量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． (2)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？ 并求出最大日利润． 【答案】(1)， (2)当每盒售价定为元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键． （1）利用日销售量降低的价格，每盒口罩的利润售价进价，即可求出结论； （2）设每盒售价降低元时，日利润为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：每盒售价降低元，则日销量可表示为盒， 每盒口罩的利润为：（元）， 故答案为：，； （2）设每盒售价降低元时，日利润为， ， ， 当时，最大，最大值为， 当每盒售价定为元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为元． 19．(24-25九上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是220件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量件：________________________； (2)在（1）的条件下，若商场获利了2520元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ (3)在（1）的条件下，销售单价应定为多少元时，商场销售该品牌玩具获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)或； (3)销售单价定为36元时，获利最大，最大利润是2560元． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据销售利润单件利润销售量列出方程即可解答； （3）根据销售利润单件利润销售量得出函数关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得，，， 故该玩具销售单价应定为或元； （3）解：设获利元． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故销售单价定为36元时，获利最大，最大利润是2560元． 20．(24-25九上·黑龙江牡丹江海林朝鲜族中学·期中)22022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元． (1)求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式； (2)求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当销售单价为65元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为2825元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，在顶点出取最大值即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件与销售单价（元的函数关系式是， 点，点在该函数图象上， ， 解得， 即日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式是； （2）解：由题意可得， ， 即该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 该函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，此时， 答：当销售单价为65元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为2825元． 21．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)120， (2)4元或6元 (3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用． （1）由每降低1元，则每天的销售量可增加列式即可； （2）根据（1）中所得关系式列方程计算出的值即可； （3）根据总利润与降价元的函数关系式，配方求出最大值即可； 【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是千克； 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 故答案为：120，； （2）解：设单价应降价元， ， 解得，， 答：单价应降价4元或6元； （3）解：设利润为元，单价降低元， ， ， 有最大值， 当时，的最大值是2250． 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 22．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)某市照明公司减少白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元，某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 【答案】(1)，自变量的取值范围 (2)当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式知识点， （1）首先表示出销售单价x元时涨价元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买，表示出y，进而求出自变量的取值范围即可； （2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）由每月商场最多可销售这种节能灯300个可得，又因为销售单价不得高于25元可得x取值范围，根据二次函数的性质得最值． 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 【详解】（1）∵销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个， ∴ ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； （2）依题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值， 答：当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元； （3）依题意得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∵，当0时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值（元）， 答：当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元． 23．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元 (2)11种 (3)甲种鱼皮画售出70件，乙种鱼皮画售出130件 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元，根据用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同列出方程求解即可； （2）设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画件，根据总利润不少于4000元，且不超过4100元列出不等式组求解即可； （3）设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元，列出w关于y的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元， 由题意得，， ∴解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴甲种鱼皮画的进价为（元）． 答：甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元． （2）解：设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画件， 由题意得，， 解得， 又∵为正整数， ∴该文创专卖店有11种进货方案； （3）解：设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元， 则 ∵， 当时，有最大值．    ∴此时，甲种鱼皮画的售价为：（元），甲种鱼皮画售出：（件），乙种鱼皮画售出：（件）． 24．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县八校·期中)某商场购进一批单价为16元的商品，经市场调查发现若按每件20元销售，每月能售出360件，若按每件25元价格销售，每月能售出210件，假定每月销售量y（件）是销售单价x（元）之间满足一次函数关系． (1)试求y与x之间的函数关系式． (2)在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，销售单价定为多少元时，才能使月利润最大？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售定价为24元，月利润最大，最大销售利润是1920元 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得到利润与售价之间的函数关系式，转化为二次函数求最值问题． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为：， ∵按每件20元销售，每月能售出360件，若按每件25元价格销售，每月能售出210件， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：设利润为元， 由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，元， ∴当销售定价为24元，月利润最大，最大销售利润是1920元． 25．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)每年6月的第三个星期日即为父亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在父亲节为父亲送礼物，感恩父亲，祝福父亲．节日前夕，某店采购了一批礼盒，成本价为60元每件，分析上一年父亲节的礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数． 销售单价（元/件） … 90 95 100 110 … 每天销售量（件） … 50 45 40 30 … (1)求出与的函数关系； (2)物价局要求，销售该礼盒获得的利润不得高于成本价的； ①当销售单价取何值时，该店销售礼盒每天获得的利润为1479元？ ②试确定销售单价取何值时，店里销售该礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出该店销售该礼盒每天获得的最大利润． 【答案】(1) (2)①当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元；②当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法求一次函数解析式． （2）①根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并结合利润不得高于成本价的得出合适的解即可． ②根据题意列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将和 分别代入得： 解得：， 所以，与的函数关系式为； （2）解：①据题意得： 解得：， 又因为不合题意，舍去， 当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元． ②据题意得，， 即 即当时，有最大值1600，但， 因为，抛物线开口向下， 在对称轴的左边，随的增大而增大， 所以，当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大， 最大利润元． 26．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． (2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式． （1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论； （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县联盟学校·期中)将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积. 【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB， 如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键． 2．(24-25九上·黑龙江省伊春市·期中)用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（    ） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值 【详解】设窗框的长为， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县第五中学（五四学制）·期中)用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为 ，围成的矩形的最大面积是 ． 【答案】 25 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．由矩形的面积公式写出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为25， 故答案为：，25． 5．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．长可表示为，于是得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，且， 自变量的取值范围为：， ， ∵， ∴当，S有最大值，最大值为， 答：长10米时，矩形茶园的面积有最大值为平方米． 故答案为：． 6．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，当是 米时，场地的面积最大？ 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练应用配方法是解题关键．利用矩形的周长表示出两边长，进而用矩形的面积公式写出得出与之间的函数关系式，再根据函数的性质求最大值时的值． 【详解】解：由题意，得： ， ， 当时，有最大值，最大值为400， 当是时，场地的面积最大． 故答案为：20 7．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，又墙长为米，从而可得，故，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为米， ∴． ∴． 又菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是， 即垂直于墙的边长为米时，可围成的菜园的最大面积是平方米． 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t． (1)几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米； (2)若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值． 【答案】(1)1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米 (2)时，取最小值为15平方厘米 【分析】（1）由可得与的函数关系式，令求解． （2）将与的函数关系式化为顶点式求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 令， 解得或（不符合题意，舍去）． 秒后四边形的面积是19平方厘米． （2）解：由（1）得， 时，取最小值为15平方厘米． 【点睛】本题考查图形的动点问题，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，由题干列出与的关系式． 9．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】(1)秒或秒后,的面积等于； (2)大；9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可； （2）根据，当时，即可取得最大值9． 【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,, 根据题意得： ， 解得:或， 答：秒或秒后,的面积等于； （2）解：∵ ， ，开口向下， ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 故答案为：大；9． 10．(24-25九上·黑龙江肇东第七中学校·期中)如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 【答案】经过3秒，最小面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先设运动时间为秒时，四边形的面积为，可表示，进而得出，再根据得出二次函数，配方得出顶点式，讨论得出答案. 【详解】解：设运动时间为秒时，四边形的面积为， 根据题意可知， 则， ， ， ， 经过3秒四边形的面积最小，最小面积是． 11．(24-25九上·黑龙江萝北县鹤北中学·期中)如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值； （2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； （2）解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 12．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 即， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 13．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． (1)若花园的面积为，求的值； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【答案】(1)的值为12或16 (2)花园面积S的最大值为192平方米 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出长×宽，进而得出答案； （2）由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值． 【详解】（1）解：∵，则， ∴， 解得：，， 答：的值为12或16； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在处有一株树与墙，的距离分别是和， ∵， ∴， ∴当时，S取到最大值为：， 答：花园面积S的最大值为192平方米． 14．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 【答案】(1)3或4 (2)40平方米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （1）根据为，就为，利用长方形的面积公式，列出方程，解方程即可； （2）设花圃的面积为S平方米，根据长方形的面积公式列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：为3米或4米时，矩形的面积为48平方米； （2）解：设花圃的面积为S平方米， 则， ∵， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为40， 答：围成花圃的最大面积为40平方米， 地 城 考点04 其它问题 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来． 【答案】480 【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数的最大值，因此将函数化为顶点式即可． 【详解】解：∵， ∴当时，该函数有最大值480， ∴飞机着陆后滑行480米才能停止． 故答案为：480． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∴当时，汽车滑行的距离最远为； 故答案为：15． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市·期中)行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程与时间的函数关系式为，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 m才能停下来． 【答案】20 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意：该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了． 故惯性汽车要滑行20米． 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $