专题06 典型题专练（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期人教版

专题06 典型题专练 4大高频考点概览 考点01 定义新运算问题 考点02 多结论判断问题 考点03 与旋转有关的探究题 考点04 与二次函数有关的探究题 地 城 考点01 定义新运算问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 2．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为 ． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨美佳外国语学校初中部·期中)定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． (1)若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． (2)将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (3)在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 地 城 考点02 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是(　　)    A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25九上·黑龙江哈尔滨·期中)已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25九上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25九上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有如下结论：①；②；③；④，则正确的结论是(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(24-25九上·黑龙江虎林卫星学校·期中)已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市德强学校·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．(24-25九上·黑龙江哈尔滨市嵩山中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②当时，函数有最大值；③当和1时，函数y的值都等于0；④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 13．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，且，，则下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的结论有（   ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香远中学校·期中)如图，在二次函数 的图像中，你的同学观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．其中信息正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 16．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图所示，抛物线的对称轴是直线，x轴交点为．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④若抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程有两个相等实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 19．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到△，点与点对应，点恰好落在上，过作∥交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③：④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④ 20．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县八校·期中)如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；     ②3a+c＞0；③方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数是（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)二次函数的图象如图所示，下面结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 23．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)如图，四边形是边长为的正方形，是上一动点（不与点，重合），将直线绕点顺时针旋转，交的外角平分线于点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③面积的最大值为；④；⑤．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 地 城 考点03 与旋转有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 2．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数； (2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 3．(24-25九上·黑龙江佳木斯第二十中学·期中)如图，矩形中，，相交于点O，，P是直线上（不与点A，B重合）的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当点P在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； (2)如图②，当点P在线段的延长线上时：如图③，当点P在线段的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请选择其中一种情况进行证明：若不成立，请说明理由． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 5．(24-25九上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． (1)若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论． (2)将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度． 6．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学·期中)综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． (1)如图1，把绕点逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； (2)方法迁移：如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)问题应用与拓展：如图1，若，则________； (4)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为_________． 7．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 8．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 9．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． (1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 10．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接 ，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． 11．(24-25九上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 地 城 考点04 与二次函数有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求直线AC的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值． 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求满足条件的点P的坐标 （3）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)阅读材料： 材料：如图1，某公园计划在矩形草坪上修建一条小路，园艺人员设计了三种方案，分别为①②③，每条小路的水平宽度相等即，易证①与②设计的小路面积相等，③设计的小路可理解为无数个平行四边形组成，所以③小路的面积与①、②小路的面积也相等．    根据上述材料，结合你所学的知识，完成下面问题： 如图2，二次函数与y抽交于点A，将此二次函数向下平移交y轴于点B，点，，过点N、D作y轴的平行线交抛物线于点H、G、E、F，连接，若阴影部分的面积为，求线段所在直线的解析式． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 6．(24-25九上·黑龙江省肇东市第七中学校·期中)如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 9．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)求a的值； (2)点D为第三象限内抛物线上的一点，当的面积为3时，直接写出点D的坐标． 10．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且，，抛物线经过A、B、C三点，直线与抛物线交于另一点M． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一动点，E为直线上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)请直接写出将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到的抛物线的解析式． 11．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 12．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 13．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； (3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．(24-25九上·黑龙江哈尔滨市第八十四中学校·期中)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C．     (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接BC，点P为下方抛物线上一点，连接，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接并延长交x轴于点E，延长至点D，连接交x轴于点M，，点M为中点，连接，点F在上，连接，交于点K，连接平分交于点H，交于点T，于点G，若，，求点P的坐标． 15．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 16．(24-25九上·黑龙江龙东·期中)如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)请你求出四边形的面积的最大值； (4)的最小值是__________． 18．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线和抛物线交于D、E两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，m的值； (3)当时，m的值为 ； (4)在x轴上有一点F，恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标． 19．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松北区·期中)如图1，抛物线过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接，且平分，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段于点E，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，设点F的横坐标为t，的面积为s，求s关于t的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，当时，将沿折叠，点B的对应点为点，求点的坐标． 20．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中)综合与探究 若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点在抛物线上，若，则点的横坐标为______； (3)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，当四边形的面积最大值时，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上，是否存在点使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．(24-25九上·黑龙江哈尔滨新区两校·期中)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 22．(24-25九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期中)已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 23．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，抛物线与轴交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)点在抛物线上，当满足时的点个数恰好是三个，请直接写出常数的值． 24．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔·期中)如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； (3)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； (4)在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 25．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为． (1)求二次函数的解析式； (2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $ 专题06 典型题专练 4大高频考点概览 考点01 定义新运算问题 考点02 多结论判断问题 考点03 与旋转有关的探究题 考点04 与二次函数有关的探究题 地 城 考点01 定义新运算问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的一般形式及根的判别式是解题的关键． 根据新定义可得，根据一元二次方程的一般形式可得，根据一元二次方程根的情况可得，解该一元一次不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 根据新定义，得：， 整理，得：， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 即的取值范围为且， 故选：． 二、填空题 2．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】二次函数与轴相交，交点横坐标即为方程的根，根据方程的解的定义即：使方程左右两边相等的未知数的值；可得方程满足时，方程的一个根为1，满足时，方程的一个根为，由此可求出如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数时，图象与x轴两个交点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：二次函数与轴相交时，， 交点的横坐标即为方程的根， 二次函数，满足， 为方程的一个根， “和谐”函数的图象与x轴的一个交点是， 二次函数，满足， 为方程的一个根， “美好”函数的图象与x轴的一个交点是， 又二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数， 此二次函数的图象与x轴的两个交点为和， 图象与轴两个交点间的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值；理解方程的解的定义及掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨美佳外国语学校初中部·期中)定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 4．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． (1)若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． (2)将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (3)在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 【答案】(1)【2，4，6】 (2) (3)，14 【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”，得出，再结合“特征数”的定义，即可作答． （2）因为函数的“特征数”是，所以这个函数是，再结合图象向上平移2个单位，所以，即可作答． （3）依题意，分别求出，；因为证明四边形是平行四边形，运用勾股定理列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 结合定义：得出对应的函数“特征数”是【2，4，6】， 故答案为：【2，4，6】； （2）解：∵函数的“特征数”是， ∴这个函数是， ∵图象向上平移2个单位， ∴， ∴这个新函数的解析式是， 故答案为：； （3）解：依题意，如图所示： ∴把分别代入， 得，， 则； ∴把分别代入， 得，， 则； 则 ∴四边形是平行四边形 则 ∴以、、、四点为顶点的四边形的周长是． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，新定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 【答案】(1) (2)；；互为倒数 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； （2）解：对于方程， ， 解得，， 根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下： 一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根，， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；；互为倒数； （3）解：方程的两根是，， 该方程的“友好方程”的两根为，， 则方程的两根，， 即，， 整理方程得， 关于x 的方程的两根为，． 地 城 考点02 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将，，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，， 由函数的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，对称轴在y轴左侧，， 则， 图象与y轴交于负半轴，则， 故；故②正确； ③当时，，③正确； ④当时，，④错误； ⑤当时，，⑤错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C． 2．(24-25九上·黑龙江省龙东地区·期中)已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是(　　)    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，故，故①正确，符合题意； ②抛物线和轴的交点为个，故，即②正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为直线，则，即故③正确，符合题意； ④， ∵和都大于， 故， 则方程有两个不相等的实数根． 故④正确，符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·黑龙江哈尔滨·期中)已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断的符号，即可判断①；根据函数对称轴可得，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④； 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在轴右侧，图象与轴相交于正半轴， ∴，，， ∴，故①正确； ②， ， ，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵为任意实数， ∴，则，故④不正确； 综上：正确的有①②③． 故选：C． 4．(24-25九上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握由二次函数的图象确定二次函数中的符号是解题的关键．根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，由与x轴的交点，确定方程的根，以及观察图象确定函数的增减性，再逐项分析即可． 【详解】①由二次函数的图象开口向上，可知， 与轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象，与x轴交于、点， 方程的根是；故②正确 ③二次函数的图象，与x轴交于， 由图象可知，当时，故③错误； ④观察图象可知，对称轴为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 即当时，y随x的增大而增大． 所以正确的有①②④3个． 故选：C． 5．(24-25九上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有如下结论：①；②；③；④，则正确的结论是(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质；根据图象和二次函数性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象和轴交于正半轴，则，故①错误； ②抛物线对称轴为直线，则，故②正确； ③抛物线与轴有两个交点，则，即；故③错误； ④由图象知，当时，，故④正确， 故选：C． 6．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值的计算等方法是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点可得，判定①②；根据二次函数最值的计算方法判定③；根据二次函数图象的对称轴可判定④；将变形得，则有，可判定⑤，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，， ∴，即，故②错误，符合题意； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴实数（）时，，故③错误，符合题意； 由二次函数图示可得，时，二次函数， ∵对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴不等式 的解集是 ，故④正确，不符合题意； 若，且， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，不符合题意； 综上所述，错误的有②③，共2个， 故选：B ． 7．(24-25九上·黑龙江虎林卫星学校·期中)已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意求出对称轴为直线，从而得出即可判断①；由图象可得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，推出，即可判断②；求出，即可判断③；根据二次函数与轴的交点个数即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为，． ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故②错误； 由题意可得：， 解得：， ∴，故③正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 8．(24-25九上·黑龙江大庆景园中学·期中)抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， ∵抛物线经过， ∴当时， ∴时，，即，故②错误； ∵点与点关于直线对称， ∴抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为， ∴， ， ∴ ，故⑤错误； 综上所述，正确的个数为3个． 故选：B． 9．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市德强学校·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断： 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴＜0得b＞0，∴2a﹣b＜0，①正确； ②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＜0；②正确； ③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确； ④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误； 故错误的有2个． 故选B． 10．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解． 【详解】∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴 ∴a>0,c<0 ∵抛物线的对称轴为直线x=－=1 ∴b<0 ∴abc＞0；①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0， 即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， ∴ =m， ∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键． 11．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故此选项正确； ②当时，，故，错误； ③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且， 即，代入得，得，故此选项错误； ④当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，（其中，故此选项正确． 故①④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为． 12．(24-25九上·黑龙江哈尔滨市嵩山中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②当时，函数有最大值；③当和1时，函数y的值都等于0；④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，根据函数图象，我们可以得到以下信息：，，对称轴，，与轴交于，两点，进而对所得结论进行判断即可．根据函数图像正确判断出各系数的符号是解题关键． 【详解】解：①由图知：抛物线开口向上，得 抛物线与轴的负半轴相交，得 抛物线的对称轴为，，故 ∴，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为 ∴当时，函数有最小值，故②错误； ③由函数图像可知，抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当或时，函数的值都等于，故③正确； ④∵抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， 即，故④错误 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 13．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期中)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 14．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，且，，则下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的结论有（   ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断①，特殊点判断②，图象法确定方程的根判断③，根与系数的关系，判断④，由时，，当时，，可判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②由图象可知，当时，，故②不符合题意； ③∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故③符合题意； ④∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故④不符合题意； ⑤∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：B． 15．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香远中学校·期中)如图，在二次函数 的图像中，你的同学观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．其中信息正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键．根据抛物线与轴的交点情况判断①；根据函数的开口方向判断的大小，根据函数与轴的交点判断的符号，即可判断②；根据抛物线的开口方向和对称轴可判断③；根据当时对应的函数值小于，可判断④；根据，可判断⑤． 【详解】解：由图像可知：抛物线与轴交于两个点， ，故①正确； 由函数图像可得，， ，故②正确； 由抛物线的对称轴的位置可得：， 又 ， ，即，故③正确； 由函数图像可得：当时对应的函数值小于，即，故④正确； 由函数图像得：， ，故⑤正确； 故正确的有①②③④⑤，共个， 故选：D． 16．(24-25九上·黑龙江哈尔滨风华中学·期中)对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②正确； 当时，， ， ， 即，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 17．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴，③错误； ∵时，， ∴，④正确； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ∴，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 18．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图所示，抛物线的对称轴是直线，x轴交点为．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④若抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程有两个相等实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号；②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大；④由抛物线顶点纵坐标为m可得与直线的唯一交点，从而进行判断有两个相等实数根． 【详解】解：①∵抛物线的图象开口向上， ∴， 又抛物线的对称轴在直线y轴左侧， ∴a，b同号，， 又抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ②， 当时，，由图象可得， 由图象知，当时，， 由图象可得，， ∴，即，故②正确； ③，, ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③错误； ④∵抛物线的顶点坐标为， ∴与直线的唯一交点， ∴有两个相等实数根，故④正确， 综上，①②④正确， 故选：B． 19．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到△，点与点对应，点恰好落在上，过作∥交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③：④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】连接、，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准确性． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 设交于O， ∵是等腰直角三角形，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转综合，根据等腰直角三角形性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算即可得解，熟练掌握等腰直角三角形性质是解题的关键． 20．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县八校·期中)如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；     ②3a+c＞0；③方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数是（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】分析：①根据抛物线与x轴的交点个数判断；②由对称轴方程得到a与b的关系，再根据x＝－1时的函数值变形；③抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称；④根据函数值大于0确定自变量的取值范围；⑤二次函数的增减性在对称轴的左侧与右侧不相同. 详解：①因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即4ac＜b2，则①正确； ②因为对称轴为x＝1，所以，则b＝－2a，当x＝－1时，a－b＋c＝0，所以a＋2a＋c＝0，则3a＋c＝0，则②错误； ③因为x1＋x2＝2，x1＝－1，所以x2＝3，则③正确； ④抛物线与x轴的两个交点的坐标是(－1，0)，(3，0)，开口向下，所以当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，则④正确； ⑤因为抛物线开口向下，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误. 故选B. 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，①抛物线的开口向上，则a＞0，开口向下，则a＜0；②对称轴是y轴，则b＝0，对称轴在y轴右侧，则a，b异号，在y轴左侧，则a，b同号；③抛物线过原点，则c＝0，与y轴的正半轴相交，则c＞0，与y轴的负半轴相交，则c＜0；④抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，有唯一交点，则△＝0，没有交点，则△＜0；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c，当x＝－1时，y＝a－b＋c. 21．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)二次函数的图象如图所示，下面结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图象与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可． 【详解】∵二次函数的图象开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且抛物线与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∵二次函数的图象开口向下， ∴二次函数有最大值，且时，， ∴, ∴ ∵故①正确； 由抛物线的图象可知当时，，故②正确； ∵二次函数的图象开口向下， ∴二次函数有最大值，且时，， ∴当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线经过点，抛物线的对称轴直线为， ∴点C关于对称轴的对称点的坐标为， ∴一定是方程的一个根． 故正确的有①②③④, 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时及抛物线的对称轴可判断②，由抛物线对称轴为直线可判断③，由抛物线顶点坐标及顶点坐标公式可判断④，根据抛物线与直线的交点个数判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ∴，①正确． 由图象可得时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，，②正确． ∵， ∴， ∴，③不正确． 由函数最大值为可得， ∴，④正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，⑤正确． 故选：C． 23．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)如图，四边形是边长为的正方形，是上一动点（不与点，重合），将直线绕点顺时针旋转，交的外角平分线于点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③面积的最大值为；④；⑤．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】在上取，连接，根据正方形的四个角都是直角，三条边都相等，对边平行得出，，，根据等腰直角三角形的定义得出为等腰直角三角形，故，求得，结合题意得出，根据角平分线的定义求出，即，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可判断①正确；根据等腰直角三角形的定义得出为等腰直角三角形，故，推得，即可判断②正确；根据全等三角形的面积相等可得，结合三角形的面积公式和配方法得出，根据偶次方的非负性可得出当时，的面积有最大值为，即可判断③正确；将绕点逆时针旋转得到，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可判断④正确；根据全等三角形的对应角相等得出，根据两直线平行，内错角相等可推得，即可判断⑤正确． 【详解】解：在上取，连接，如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， 设，则，， 故， ∵， ∴， 即当时，的面积有最大值为，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，如图： 则， ∴，，， ∵， 故， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，配方法的应用，偶次方的非负性，旋转的性质，平行线的性质等，灵活运用所学知识是解题的关键． 地 城 考点03 与旋转有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数； (2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ； （2）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ； （3）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：将逆时针旋转得到； ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴； （2）将逆时针旋转得到； ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， 在中，，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）将绕A点顺时针旋转90°得，连接， ∵由旋转所得， ∴， ∴，，， 在中，，且， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键． 3．(24-25九上·黑龙江佳木斯第二十中学·期中)如图，矩形中，，相交于点O，，P是直线上（不与点A，B重合）的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当点P在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； (2)如图②，当点P在线段的延长线上时：如图③，当点P在线段的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请选择其中一种情况进行证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及矩形的性质．连接，构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）连接，由旋转可知，，，证明是等边三角形，得出，，根据矩形的性质得出，根据三角形外角的性质和等量代换得出，证明，根据全等三角形的性质即可证明． （2）①当点P在线段的延长线上时，连接，同（1）证明，根据全等三角形的性质即可证明． ②当点P在线段的延长线上时，如图③，连接，同（1）证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图①，连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①当点P在线段的延长线上时：如图②，（1）中结论成立． 理由如下： 连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②当点P在线段的延长线上时，如图③，（1）中结论成立． 理由如下：连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见详解 (2)是直角三角形，理由见详解 (3)当或或时，则是等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质； （1）由旋转的性质得出、即可知是等边三角形； （2）由旋转可以得出，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出，进而得出的形状； （3）由条件可以表示出就有，分当，或时分别求出的值即可． 【详解】（1）解： 绕点按顺时针方向旋转得， ，， ， 是等边三角形． （2）解：当时，是直角三角形．理由如下： 绕点按顺时针方向旋转得 ， ， 由（1）是等边三角形 ， ， 当时，是直角三角形． （3）解：， ． 是等边三角形， ， ，， ①当时， ， 解得： ②当时， ， 解得：， ③当时， ， 解得： 综上，当或或时，则是等腰三角形． 5．(24-25九上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． (1)若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论． (2)将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用证明，推出，即可得到； （2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 在△AED和△BFA中， ∵，，． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图， 由题设得， ∴， 由旋转的性质知：，， ∴， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 6．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学·期中)综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． (1)如图1，把绕点逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； (2)方法迁移：如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)问题应用与拓展：如图1，若，则________； (4)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为_________． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析 (3)6 (4)5 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案； （2）结合（1）中证明过程即可求解； （3）设，则，，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （4）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与（1）同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：设，则，，由（1）得， 在中，，即， 解得，（舍去）； 即， 故答案为：6； （4）解：中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 7．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，仍有，理由见解析 (3) 【分析】）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图（），在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：当时，仍有，理由如下： 如图（），延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故答案是：； （3）解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）结论有， 即这条道路的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 8．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)不发生变化，见解析 (3)①，见解析；②能，60° 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，．   ，   ． ， ， ， ． （2）不发生变化． 理由如下：  ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． （3）① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为  ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 9．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． (1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 【答案】(1) (2)当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，故，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，即可得出； （2）当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出；当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出； 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 在中，， 即． 故答案为：． （2）解：当点在的延长线上时，； 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 当点在的延长线上时，， 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， 故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．(24-25九上·黑龙江佳木斯第五中学·期中)等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接 ，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质． （1）如图，延长至，使，由，推出是等边三角形，即可解决问题； （2）由“”可证，推出是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长至，使，连接、、． ∵等边 ， ∴，， ∵平分， ， ， ， ∴， ∵中点， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴是等边三角形， ，， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论成立． 证明：如图，延长至，使，连接、、、． 由（2）可知，， ， ， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴是等边三角形， ，， ∴， 故答案为：，；． 11．(24-25九上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）由完全平方数的非负性和绝对值的非负性可得，解方程组即可求出与的值，进而求得点和点的坐标，然后求出，的长，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积； （2）过点作轴于点，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等式的性质可得，利用可证得，于是可得，，设，则可用含的式子将和表示出来，于是得到点坐标为，设直线的解析式为，将，代入，可得，解方程组即可求出与的值，进而得到直线的解析式，令，即可求得直线与轴交点的坐标； （3）由及点坐标可得，设，然后分三种情况讨论：当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；分别利用平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标列出二元一次方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：，，， ， 解得：， ，， ， ， ， 的面积为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 将点绕点逆时针旋转得到点， ，， ， ， 由题意可知：， ， 在和中， ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴交点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为：或或， ，点的坐标为， ， 又，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设，然后分三种情况讨论： 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解二元一次方程组，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，旋转的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 地 城 考点04 与二次函数有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县西部四校·期中)如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求直线AC的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值． 【答案】(1)y＝−x2−2x＋3 (2)y＝−x＋1 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法确定直线解析式； （3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点作轴，交于点，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得 ， 解得， 故抛物线为y＝−x2−2x＋3； （2）设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则 ， 解得， 故直线AC为y＝−x＋1； （3）如图，过点作轴，交于点， ∵直线AC为y＝−x＋1； 设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3）， ∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2， ∴S△APC＝ ＝ ＝， ∴△APC面积的最大值为 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市·期中)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求满足条件的点P的坐标 （3）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标． 【答案】（1）；（2）P点坐标为（-3，-5）；（3）F的坐标为（-4，-12）． 【分析】（1）把抛物线解析设为交点式，然后代入C（0，-8），进行求解即可； （2）连接BP，AP，CP，设BC于抛物线对称轴交于 ，由于A（2，0）、B（-8，0）分别是抛物线与x轴的两个交点，则A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，即可得到PA+PC=PB+PC，要使PA+PC最小，即PB+PC最小，故当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即此时P点在的位置，求出直线BC的解析式，即可得到答案； （3）过点F作FN∥y轴，交BC于N，设F的坐标为（t，），则N点坐标为（t，-t-8），则，根据可以得到，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线的图像经过点C（0，-8）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）如图所示，连接BP，AP，CP，设BC于抛物线对称轴交于 ， ∵A（2，0）、B（-8，0）分别是抛物线与x轴的两个交点， ∴A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴PA=PB， ∴PA+PC=PB+PC， ∴要使PA+PC最小，即PB+PC最小， ∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即此时P点在的位置， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 当时，， ∴P点坐标为（-3，-5）； （3）如图所示，过点F作FN∥y轴，交BC于N， 设F的坐标为（t，），则N点坐标为（t，-t-8）， ∴， ∴ ， ∴当时，△BCF的面积最大， ∴F的坐标为（-4，-12）． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，根据二次函数的对称性求最短路径，二次函数与图形面积最值问题，一次函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)阅读材料： 材料：如图1，某公园计划在矩形草坪上修建一条小路，园艺人员设计了三种方案，分别为①②③，每条小路的水平宽度相等即，易证①与②设计的小路面积相等，③设计的小路可理解为无数个平行四边形组成，所以③小路的面积与①、②小路的面积也相等．    根据上述材料，结合你所学的知识，完成下面问题： 如图2，二次函数与y抽交于点A，将此二次函数向下平移交y轴于点B，点，，过点N、D作y轴的平行线交抛物线于点H、G、E、F，连接，若阴影部分的面积为，求线段所在直线的解析式． 【答案】 【分析】连接，作，由平移性质得：，根据可求得平移的距离为，将，代入求出的坐标，设所在直线的解析式为，即可求解． 【详解】解：连接，作，如图，    由材料可知，且由平移性质得：阴影部分的竖向宽度恒相等，且等于平移距离， ∴， ∵， ∴ ∴，即平移的距离为， 把代入 ，得，即， ∴向下平移了3单位长度， ∴平移后的二次函数为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 设所在直线的解析式为， 将，代入得：，解得 ∴所在直线的解析式为； 【点睛】本题考查了二次函数平移问题，正确作出辅助线得出平移的距离为，是关键． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】(1) (2)不在该抛物线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的特征，全等三角形的性质与判定，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再代入点A的坐标求解即可； （2）如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C，通过证明，得到，求出，在中，求出当时，y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：设该二次函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴该二次函数解析式为； （2）解：不在该抛物线上，理由如下： 如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C， ∴， ∵， ∴ 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴不在该抛物线上． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为， ． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，求出点C坐标，再求出，由二次函数的性质求最值，并得出点P坐标． 【详解】（1）解：把代入得： 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线解析式为，把代入得： 解得， ∴直线解析式为， 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为 ． 的最大值为，此时点P的坐标是 ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 6．(24-25九上·黑龙江省肇东市第七中学校·期中)如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，为2 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． （1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式； （2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标； 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时； ∴，， 把，代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵点G的坐标为， ∴ ， ∴S关于n的函数关系式为； ∵， ∴当时，S有最大值，为2； （3）设， 则， ∴， ∵F为线段的中点， ∴， ∵以为半径的与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴G点的坐标为． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市绥棱县第六中学·期中)如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 8．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值．将线段的最值转化为二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把、两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得、的值，即可得抛物线的解析式；令，解方程即可求得的坐标； （2）线待定系数法求出直线的解析式，根据解析式分别表示、两点的坐标，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 令可得，， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴点坐标为． （2）解：设直线解析式为， 把、代入可得， 解得， ∴直线解析式为； ∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为． 9．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)求a的值； (2)点D为第三象限内抛物线上的一点，当的面积为3时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点：把二次函数与坐标轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，三角形面积的计算． （1）求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，即可求解； （2）由的面积，即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得或， 故点的坐标分别为、， 则， 在中，， 则， 故点， 将点代入抛物线解析式得：， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 故直线的解析式为， 由（1）知抛物线解析式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点 ， 则， 解得或， 将代入， 得， 将代入， 得， 故点的坐标为或． 10．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且，，抛物线经过A、B、C三点，直线与抛物线交于另一点M． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一动点，E为直线上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)请直接写出将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论： ①以点为直角顶点．过点作直线的垂线，与抛物线的交点即为所求点．首先求出直线的解析式，然后联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标；②以点为直角顶点．此时点只能与点重合；③以点为直角顶点．此时点亦只能与点重合． （3）抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式． 【详解】（1）解：根据题意得，，，，． 抛物线经过点，，， 则有：，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在． 为等腰直角三角形，有三种可能的情形： ①以点为直角顶点． 如解答图，过点作直线的垂线，与抛物线交于点，与轴交于点． ，则为等腰直角三角形， ，则为等腰直角三角形， ，． 设直线的解析式为，将点，的坐标代入得： ， 解得，， ． 将代入抛物线解析式得，， 整理得：， 解得或， 当时，， ； ②以点为直角顶点． 此时， 因此点只能在轴上或过点与轴平行的直线上． 过点与轴平行的直线，只有点一个交点，故此种情形不存在； 因此点只能在轴上，而抛物线与轴交点只有点、点，故点与点重合． ； ③以点为直角顶点．此时， 由②可知，此时点只能与点重合， 点位于直线与对称轴的交点上，即； 综上所述，存在点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形．点的坐标为或； （3）解：抛物线的解析式为：． 抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位， 平移后的抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想． 11．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)． 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线， ，解得：， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为． （2） 当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ． ， ． ， 当时，的面积最大， 最大面积是 16 ． ， 存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ． （3） 设点的坐标为，则点的坐标为， ． 又， ． 当时， 有， 解得：，， 点的坐标为或； 当或时， 有， 解得：，， 点的坐标为，或，． 综上所述：点的坐标为，、、或，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ． 12．(24-25九上·黑龙江省虎林市卫星学校·期中)如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4） 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值． （3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）． 将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2； 将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=． ∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2． （2）如图1， 设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t． ∵， ∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t． 又∵N点在抛物线上，且xN=t， ∴yN=﹣t2+t+2． ∴． ∴当t=2时，MN有最大值4． （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 如图2， 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形． （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）． （ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点， 由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6； 由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程为y=x﹣2． 由两方程联立解得D为（4，4）． 综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）． 【点睛】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解． 13．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； (3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当P点坐标为时， (3)Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点，先用待定系数法求得直线解析式为，，则，当最大时，四边形的面积最大，所以，所以，然后利用求二次函数最值方法即可求解； （3）分两种情况：①当以为平行四边形的边时，②当以为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点，如图1： ∵， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为，， ∴， 当最大时，四边形的面积最大， ∴， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴当P点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积； （3）解：当以为平行四边形的边时，则在x轴上方有平行四边形，在x轴下方不存在平行四边形， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， ∴； 当以为平行四边形的对角线时，则有平行四边形， ∵， ∴点P、Q关于线段AB中点对称， 设，则， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 综上，存在一点Q，Q的坐标为或，使得以点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，本题属二次函数与面积、特殊四边形的综合题目，难度一般，属中考常考题目． 14．(24-25九上·黑龙江哈尔滨市第八十四中学校·期中)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C．     (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接BC，点P为下方抛物线上一点，连接，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接并延长交x轴于点E，延长至点D，连接交x轴于点M，，点M为中点，连接，点F在上，连接，交于点K，连接平分交于点H，交于点T，于点G，若，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）根据题意得，确定，过点P作于点R，于S，结合图形根据即可确定函数解析式； （3）过点Q作交AB于点N，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由待定系数法确定直线AC解析式为,过点P作于点I，由函数交点问题即可得出结果． 【详解】（1）解：将、代入得 解得， 抛物线的解析式为． （2）点P在抛物线上， ， 当时，， ， 过点P作于点R，于S， 点P在第三象限， ，， 连接， ， ，    （3）过点Q作交于点N， ，，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设解析式为， ， ， 直线解析式为， 设直线的解析式为， 过点P作于点I， ， ， 把点、代入， 得， 解得，（舍去）， ．    【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，面积问题及全等三角形的判定和性质，一次函数与二次函数交点问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 15．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县第二中学·期中)如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)P的坐标为：，，， 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a，b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线的解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线的解析式； （2）当点M在直线上时，根据抛物线的对称性， ，值最小．把代入直线得到y的值，即可求出点M坐标； （3）设，根据，，得到，，，分点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论求出t值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则, 解得，，或（舍去）， ∴， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：； （2）解：∵点A与点B关于对称轴对称， ∴当点M在直线上时，，值最小， 把代入直线解析式， 得，， ∴点M的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， ①若点B为直角顶点，， ∴， 解之得，； ②若点C为直角顶点，， ∴， 解之得，； ③若点P为直角顶点，， ∴， 解之得，，． 综上所述，P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数的图象与性质，轴对称线段和最小，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 16．(24-25九上·黑龙江龙东·期中)如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 17．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区等5地·期中)如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)请你求出四边形的面积的最大值； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，根据易得点B的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可； （3）联立一次函数与二次函数解析式求出点D的坐标，根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （4）连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为，先证明四边形是正方形，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，再求出点L的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于A、B两点，直线与抛物线交于A、D两点， 点A的纵坐标为0，则， 解得：， ，， ， ，即， 将，代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或（舍去）， ； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或； （3）解：联立一次函数与二次函数得，则， 解得：或， 当时，， ， 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （4）解：连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为， ， ，即， ， ， ，， 同理得，， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 根据题意得：， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，正方形的判定与性质，三角形全等的评定与性质，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 18．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线和抛物线交于D、E两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，m的值； (3)当时，m的值为 ； (4)在x轴上有一点F，恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)的值为 (3) (4)或或或 【分析】（1）将点、、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）作交于，先通过勾股定理，计算出的长度，利用根据勾股定理求得的长度，利用两点距离公式，可以表示出的长度，由（2）可知，，结合，从而知道，从而计算出值； （4）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分当时， 当时， 当时，三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入中， 解得：，， 抛物线的解析式为：； （2）设直线的解析式为：，将，代入，得 解得：， 直线的解析式为： ，，点、分别是抛物线和直线上的点 点坐标为，点坐标为 ， 解得：， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． （3）作交于，如图 ， ，则， ∴， ∵， ，即 由（2）可知，点坐标为 由（2）可知， ． 方程两边同时平方得： 整理得：， 解得： ， ，， 舍去 ； 当时，点M与点O重合，点E在y轴上，，不符合题意； 综上可得：， 故答案为：； （4）设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．(24-25九上·黑龙江哈尔滨松北区·期中)如图1，抛物线过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接，且平分，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段于点E，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，设点F的横坐标为t，的面积为s，求s关于t的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，当时，将沿折叠，点B的对应点为点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）把点和分别代入抛物线的解析式，用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式可得顶点，点，因此，，在中，作斜边上的中线，根据勾股定理得，进而求得是等边三角形，根据角平分线的定义求得， 在中，由勾股定理得，进而可知，作于N，点F的横坐标为t，则，利用即可求出答案； （3）当时，可得，，由，求得，，将沿折叠，由折叠的性质可知，，进而可得，因此，即轴，设垂足为P，，在中，求出 和的值，进而求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：把点和分别代入中，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解： ， ∴顶点，对称轴与x轴的交点， ∴，， 在中，作斜边上的中线， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ， 在中，， ， ， 作于N， ∵点F的横坐标为t， ∴， ， ， 即； （3）解：当时，代入，得， ， ∵， ， ∴， ∵将沿折叠， ，， ， ， ，即轴，设垂足为P， ， 在中， ∵， ， ∵， ， ， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中)综合与探究 若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点在抛物线上，若，则点的横坐标为______； (3)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，当四边形的面积最大值时，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上，是否存在点使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)P的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）先根据一次函数求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）由，，可推出，分两种情况：当点在上方时，设直线交轴于点，当点在下方时，设直线交轴于点，根据含角的直角三角形的性质，一次函数与二次函数的交点即可求解； （3）过点作轴，交直线于点，由，可得当最大时，四边形的面积最大，设，则，得到，推出，即可求解； （4）由（3）知，最大为，设，则，推出，根据题意可得：，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，解得：， ，， 将，，代入中， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2） ，， ， ， 分两种情况： 当点在上方时，设直线交轴于点， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入中， 得：， 解得：或（舍去）， 点的横坐标为； 当点在下方时，设直线交轴于点， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入中， 得：， 解得：或（舍去）， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或， 故答案为：或； （3） ， 当最大时，四边形的面积最大， 如图，过点作轴，交直线于点， 设，则， ， ， 当时，最大，即四边形的面积最大， 此时P的坐标为； （4）存在， 由（3）知，最大为， 设， 则， ， 根据题意可得：， 解得：或， 点的坐标为或 存在点使的面积与的面积相等，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 21．(24-25九上·黑龙江哈尔滨新区两校·期中)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式为，即可求解； （3）证明，，，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点坐标代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，直线的函数表达式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴； （3）解：当，则，则， ∴ 延长交延长线于点，过点作于点，交延长线于点， 在函数中，令，则， ∴点， ∴轴， 当时，直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立得：， 解得： ， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 22．(24-25九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期中)已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过F作轴于H，过D作轴于K，，得出，设，则，得出方程，解方程即可得，，，然后再利用三角形面积公式计算即可得解； （3）过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G，证出，然后再证出，得出，，设，则，用含a的代数式表示出，再代入抛物线解析式即可得解． 【详解】（1）解：将，，代入得： 解得 ∴； （2）解：如图，过F作轴于H，过D作轴于K，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得，（舍）， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴ ； （3）解：过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴． 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 23．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)如图，抛物线与轴交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)点在抛物线上，当满足时的点个数恰好是三个，请直接写出常数的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或； (3) 【分析】（1）把点，代入解析式，运用待定系数法求解即可； （2）运用勾股定理可得，设，则，则，，由等腰三角形的定义可得，在中，运用勾股定理即可求解； （3）根据题意，运用待定系数法求出直线的解析式为，如图所示，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，设，则，分类讨论：当点在上方时，，则，整理得，，所以；当点在直线下方时，，则，整理得，，所以；由满足时的点个数恰好是三个，则有，可得，此时可得的三个点横坐标，符合题意，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点为，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴直线为， 当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上，设对称轴与轴交于点， ∴设，则， ∴，， 如图所示，，则是以点为顶点，以为腰的等腰三角形， ∵， ∴在中，，即， 解得，， ∴或； 当以点为顶点，以为腰的等腰三角形时，， ∵二次函数图象的对称轴为，点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为， ∵，且， ∴， 设点，且， ∴， 解得，或或， ∴ 或，或； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或 （3）解：∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，设， ∴， ∴，， ∴， 当点在上方时，， ∴， 整理得，， ∴， 当点在直线下方时，， ∴， 整理得，， ∴， ∵满足时的点个数恰好是三个， ∴， 解得，， ∴，，符合题意． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，二次函数与几何图形面积的计算，公式法求一元二次方程的解等知识的综合，掌握二次函数与几何图形的综合运用是解题的关键． 24．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔·期中)如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； (3)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； (4)在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3) (4)或或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求得该抛物线解析式，再令，即可求得点的坐标； （2）过点作轴，交于点，设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，进而确定点坐标，结合三角形面积公式可求得的值；设，过点作轴，交于点，则，然后分点在直线上方和点在直线下方两种情况，分别求解即可； （3）设，过点作轴，交于点，则，结合三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可知当时，取最大值，并求得此时坐标； （4）设，可分三种情况讨论：该平行四边形以为对角线线，以为对角线线，以为对角线线，结合平行四边形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴； （2）过点作轴，交于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 设，过点作轴，交于点，如下图， 则， 当点在直线上方时，， ∴， 整理可得，解得（舍去），， ∴； 当点在直线下方时，， ∴， 整理可得，解得，， ∴，． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或； （3）根据题意，点是抛物线（第一象限内）上的一个动点， 可设，过点作轴，交于点，如下图， 则， ∴， ∴， 即当时，取最大值，最大值为8， 此时； （4）根据题意，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，如下图， 设，可分三种情况讨论， 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、二次函数图像与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 25．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期中)如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为． (1)求二次函数的解析式； (2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．，， 【分析】把点，代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式； 这是一个分段函数，分点在边上和点在边上两种情况求函数关系式； 分三种情况求解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的直角边． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：点，， ,， 四边形是矩形， ， 当时，点在上运动， 此时扫过的图形是， ， 当点运动到边上时，如下图所示， 此时扫过的图形是四边形， ， ， ； （3）解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示，过点作轴于点，延长交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 设点的坐标为 则，， ， ， 整理得：， 解得:，， 当时，， 此时点的坐标为与点重合， 故应舍去， 当时， 此时点的坐标为； 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示， 点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 此时点的坐标为，与点重合， 故应舍去， 当时，， 此时点的坐标为； 如下图所示， 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 过点作轴于点， 则， 又， 则， 在和中， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 解方程， 整理得：， 解得：，， 当时，此时点与不能构成直角三角形， 故应舍去， 当时，对应的纵坐标为， 综上所述点的坐标为，，； 【点睛】本题是二次函数和动点问题的综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $