专题03 图形的相似（9知识&12题型&5易错&10模型）（期中知识清单）九年级数学上学期华东师大版

专题03 图形的相似（9知识&12题型&5易错&10模型） 【清单01】成比例线段 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例的项：在比例式中，a，b，c，d叫做比例的项，其中：线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例的性质 1）基本性质： 2）更比性质： 【补充】我们常常看到，在地图或其他工程图纸上都标有比例尺，比例尺就是图上长度与实际长度的比值. 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 【清单03】相似图形 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法：最大（小）角与最大（小）角对应，最长（短）边与最长（短）边对应. 【清单04】平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单05】判定两个三角形相似 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 【清单06】相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 【清单07】中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质：∵DE是∆ABC的中位线∴DE=BC且DE∥BC AD=DB，AE=CE，△ADE与△ADE的相似比为1:2，面积比为1:4 【清单08】位似图形 1. 位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 2. 位似的坐标变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 【清单09】图形的变化与坐标 名称 规律 平移变换 横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数； 以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数. 旋转变换 一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形的对应点横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的坐标之比的绝对值等于相似比 【题型一】相似多边形的识别 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①所有的矩形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形． A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③④ 【题型二】利用比例的性质求解 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知． (1)求的值． (2)求的值． 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，连接两格点（小正方形的顶点），线段与网格线的其中两个交点为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【题型四】选择或补充条件使两个三角形相似 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 14．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可） 17．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【题型五】选用合适的方法判定两个三角形相似 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，交于点O，则图中与相似的三角形共有多少个？请你写出来． 21．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【题型六】利用相似三角形的性质求解 22．（24-25九年级上·广西梧州·期末）若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为和，则另一个三角形最小的角为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的两组图形中，各有两个三角形相似．试确定的值． 【题型七】相似三角形判定与性质综合 28．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）中，，交于． (1)求证：； (2)，求． 29．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，如图，在中，，垂足为点．点在边上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)求证：． 30．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于E，连接． (1)变化时，设．若用α表示和； (2)若，且与相似，求相应长． 【题型八】相似三角形的实际应用 31．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 32．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 33．（2025·河南驻马店·三模）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 34．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【题型九】位似图形的识别 35．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A．B．C． D． 36．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 【题型十】利用位似图形的性质求解 38．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 39．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【题型十一】在网格中画位似图形 41．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 42．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 43．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【题型十二】与三角形中位线有关的计算问题 44．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 45．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）工作人员要测算池塘两端A，B之间的距离，他们先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到和的中点D，E，并测得的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是（   ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 46．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关 47．（24-25九年级上·全国·随堂练习）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由． （2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．      48．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务． 用尺规作图将线段三等分 尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分． 探究一：已知：线段，如图． 求作：如图1，点C、点D，使点C、点D在线段上，且． 作法： 1．作射线． 2．在射线上依次截取线段使，连接． 3．分别过点作平行于的直线交于点，则点为所求的点． 探究二：已知：如图2，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法： 1．作边的垂直平分线交于点M． 2．连接交于N． 则点N为所求的点． 任务： (1)“探究一”作图的依据是_________________； (2)①按照“探究二”的作法，在图2中作出点N． ②在探究二中，．请说明理由． (3)已知：在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 49．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 【题型一】由平行判断成比例 50．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A．B．C． D． 51．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 52．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型二】成比例线段的识别 54．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 55．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组中的数据分别是四条线段的长，其中能使它们成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 56．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）下列长度的四条线段中，不能成比例的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用相似三角形的性质求面积时出错 57．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 58．（2025·浙江·模拟预测）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 59．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离 ． 【题型三】相似三角形在动态几何问题中的应用 60．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 61．（22.2相似三角形的判定（6种题型基础练 能力提升练）数学沪科版九年级上册）如图，已知于点B，于点C，，，，P为BC上的点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求的长． 【题型四】求位似图形的对应坐标 62．（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 63．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 64．（2025·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 模型01 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 模型02 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 模型03 母子型相似 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 模型04 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 模型05 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 模型06 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 模型07 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 模型08 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 【题型一】A 字模型 1．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 2．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）如图，中，，，，，，求和长． 【题型二】8 字模型 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为 ． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，点E为的边上一点，且，点F为的中点，交于点G，则等于 ． 【题型三】母子型相似 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【题型四】三角形内接矩形模型 1．（山东省济南育英教育集团2025--2026学年上学期九年级9月月考数学试题）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点E，H分别在AB，AC上．已知，． (1)求证：． (2)求这个正方形的边长与周长． (3)若四边形是矩形，且，则的长为_______． 【题型五】三平行模型 1．（上海宝山区世外学校2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷）如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【题型六】一线三等角模型 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 2．（2025年山东省聊城文轩初级中学中考数学三模）四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点， ，如图，则线段的长为多少？ 3．（山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制））我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【题型七】手拉手模型 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…    【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上， ①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                    图2                            图3 2．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请写出当点C与M重合时的长，并说明理由． 【题型八】对角互补相似模型 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 2．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【题型九】角含半角模型 1．（山东省威海市环翠区2024-2025学年下学期八年级数学期末考试）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 3．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【题型十】折叠模型 1．（21-22九年级上·浙江舟山·期末）如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（山东省日照市开发区中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷）如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． (1)求证：； (2)点H在上，，求证：； (3)若正方形的边长为9，，求的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似（9知识&12题型&5易错&10模型） 【清单01】成比例线段 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例的项：在比例式中，a，b，c，d叫做比例的项，其中：线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例的性质 1）基本性质： 2）更比性质： 【补充】我们常常看到，在地图或其他工程图纸上都标有比例尺，比例尺就是图上长度与实际长度的比值. 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 【清单03】相似图形 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法：最大（小）角与最大（小）角对应，最长（短）边与最长（短）边对应. 【清单04】平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单05】判定两个三角形相似 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 【清单06】相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 【清单07】中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质：∵DE是∆ABC的中位线∴DE=BC且DE∥BC AD=DB，AE=CE，△ADE与△ADE的相似比为1:2，面积比为1:4 【清单08】位似图形 1. 位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 2. 位似的坐标变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 【清单09】图形的变化与坐标 名称 规律 平移变换 横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数； 以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数. 旋转变换 一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形的对应点横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的坐标之比的绝对值等于相似比 【题型一】相似多边形的识别 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①所有的矩形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形． A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的定义，根据形状相同的图形为相似图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，所有的矩形四个角都是直角，但是对应边不一定成比例， 故所有的矩形不都是相似图形，①是不符合题意； 所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例， 故所有的平行四边形不都是相似图形，②是不符合题意； 所有的圆的形状相同，大小成比例， 故所有的圆都是相似图形，③是符合题意； 所有的正方形的四个角都是直角，且对应边成比例， 故所有的正方形都是相似图形，④是符合题意； 所有的等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例， 故所有的等腰三角形不都是相似图形，⑤是不符合题意； 故选：D 【题型二】利用比例的性质求解 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．利用内项之积等于外项之积进行判断． 【详解】解：A．由可得，与已知不符，不合题意； B．由可得，与已知不符，不合题意； C．由可得，与已知不符，不合题意； D．由可得，与已知相符，符合题意； 故选D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可得，，，即可得，再分和两种情况解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行恒等变换即可求解． （1）先求出，再根据比例的性质即可得． （2）先求出，再根据比例的性质即可得． 【详解】（1）解： ． ． 故答案为：． （2）解： ． ， ． 故答案为：． 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】 ， 即 故选：B． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，连接两格点（小正方形的顶点），线段与网格线的其中两个交点为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 取格点、、、，连接、、、，设的正方形网格中每个小正方形的边长都是，再根据平行线分线段成比例定理分别求得,,,,得到答案． 【详解】解：如图，取格点、、、，连接、、、，设的正方形网格中每个小正方形的边长都是， 选项A： ， ，故A正确． 选项B：， ，故B正确． 选项C：， ，故C错误． 选项D：， ，故D正确． 故选：C． 12．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 【题型四】选择或补充条件使两个三角形相似 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 14．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 15．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，本题中已知，再添加即可使． 【详解】解：∵，， ∴． 所以可添加： （答案不唯一）； 故答案为： （答案不唯一）． 17．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型五】选用合适的方法判定两个三角形相似 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，交于点O，则图中与相似的三角形共有多少个？请你写出来． 【答案】一共有3个，分别是：，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 利用两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后利用有两个角相等的三角形相似进行判定即可． 【详解】解：∵， , ； ∵， , ， ， ； ， ， ； 所以，与相似的三角形一共有3个，分别是：，，． 21．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【题型六】利用相似三角形的性质求解 22．（24-25九年级上·广西梧州·期末）若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为和，则另一个三角形最小的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为， ∴这个三角形的第三个角是， ∵两个三角形相似，已知三角形的最小角是， ∴另一个三角形的最小的内角为． 故选：B． 23．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题；先证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴与的周长比为 故选：D． 24．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 25．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，掌握相似三角形的判定及其性质，数形结合，准确运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答是解题的关键. 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的两组图形中，各有两个三角形相似．试确定的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等． 对于图1，由图形中给出的线段长度，可以确定出这两个三角形的相似比，进而可求x的值； 对于图2，由于2个三角形相似，运用相似三角形角和边的性质就可以求出的值以及的值． 【详解】解：在题图1中，两个三角形相似， ， 解得． 在题图2中，两个三角形相似， ， 解得． 综上，． 【题型七】相似三角形判定与性质综合 28．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）中，，交于． (1)求证：； (2)，求． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质得到相似； （2）利用相似三角形得到相似比即可算出． 【详解】（1）四边形是平行四边形， 平行于， ， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 29．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，如图，在中，，垂足为点．点在边上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质、三角形外角的性质： （1）利用即可证明； （2）由（1）得，由得，再结合三角形外角的性质可得，从而可证，写出比例即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 30．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于E，连接． (1)变化时，设．若用α表示和； (2)若，且与相似，求相应长． 【答案】(1)， (2)2或或1 【分析】两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键． （1）先根据、分别平分、，结合三角形三条角平分线交于一点得到平分，，再推出，，进而可得；根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解； （2）根据，得到和不是对应点，再据此分情况讨论，根据相似三角形对应边的比相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵、分别平分、， ∴平分， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵是的平分线，是的外角平分线， ∴， 分情况讨论： ①当时，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，，， ∴， ∴， ∴． ③当时，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，长为2或或1． 【题型八】相似三角形的实际应用 31．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 32．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 33．（2025·河南驻马店·三模）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 34．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又 ， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 【题型九】位似图形的识别 35．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 36．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 37．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【题型十】利用位似图形的性质求解 38．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 39．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质“1、位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；2、位似图形对应点连线交于一点；3、位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；4、位似图形是相似图形”，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．根据位似图形的性质即可得选项A、B、C正确；先判断出，，再根据相似三角形的性质即可判断选项D错误． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，点、、三点在同一条直线上，，；则选项B和C正确； ∴，，则选项A正确；选项D错误； 故选：D． 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．根据位似图形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故D不正确，符合题意． 故选D． 【题型十一】在网格中画位似图形 41．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求， ∴点的坐标为． 42．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 43．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 【题型十二】与三角形中位线有关的计算问题 44．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据三角形中位线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出，作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴的最小值即为， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 45．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）工作人员要测算池塘两端A，B之间的距离，他们先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到和的中点D，E，并测得的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是（   ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由题意可得是的中位线，再由三角形中位线定理即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：∵和的中点分别为D，E， ∴是的中位线， ∵的长为10米， ∴米， 故选：D． 46．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：点E、F、G、H分别是线段、、、的中点， ，，，， 四边形EGFH的周长， 故选∶B． 47．（24-25九年级上·全国·随堂练习）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由． （2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．      【答案】（1）相似，见解析；（2）不相似，见解析 【分析】本题考查相似多边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相似多边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理结合相似多边形的判定方法，进行判断即可； （2）求出对应边的比例 【详解】解：（1）四边形和四边形相似，理由如下： ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴． ∵G，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可得，，，， ∴四边形和四边形相似． （2）矩形与矩形不相似，理由如下： 由题意，， ∴，， ∴， ∴矩形与矩形不相似． 48．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务． 用尺规作图将线段三等分 尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分． 探究一：已知：线段，如图． 求作：如图1，点C、点D，使点C、点D在线段上，且． 作法： 1．作射线． 2．在射线上依次截取线段使，连接． 3．分别过点作平行于的直线交于点，则点为所求的点． 探究二：已知：如图2，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法： 1．作边的垂直平分线交于点M． 2．连接交于N． 则点N为所求的点． 任务： (1)“探究一”作图的依据是_________________； (2)①按照“探究二”的作法，在图2中作出点N． ②在探究二中，．请说明理由． (3)已知：在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 (2)①见解析；②见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线截线段成比例和相似三角形判定与性质，掌握这些知识点是解题关键． （1）通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； （2）①先通过做中垂线得到中点M，再连接交于N点，即为所求； ②根据为中位线，得出，再利用相似比即可得证； （3）过点A作轴，过点B作于点D，分别过点作于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：，且， ， ， “探究一”作图的依据是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （2）解：①如下图： ②如下图，连接， 分别是中点， 为中位线， ∴， ， ， ； （3）解：线段的三等分点C可能靠近A点，也可能靠近B点，如下图分别为， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点作于点E，F， ， ， ， 和， ，即； ，即； 故点Ｃ坐标为：或． 49．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 【答案】(1)= (2)①；证明见解析；②或 【分析】（1）作于点，于点，根据题意及角的等量代换，证明，得到，即可解答； （2）①分别取和的中点和，连接、并延长交于点，连接、，证明四边形为平行四边形，，即可得到与的数量关系，根据平行线的性质及角的等量代换，即可得到与的位置关系； ②分情况讨论，当点在线段上时，取的中点，连接，；当点在线段的延长线上时，取的中点，连接，，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点，于点， ，，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 则， 即． 故答案为：． （2）①，且，证明如下： 分别取和的中点和，连接、并延长交于点，连接、， ，， △为等边三角形， ， ， 又， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， 为的中点， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ，且． ②或． 当点在线段上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 【题型一】由平行判断成比例 50．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 51．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 52．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D错误，符合题意． 故选：D． 53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【题型二】成比例线段的识别 54．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段就叫做成比例线段.根据比例的基本性质，可以检验是否存在两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积的情况，若存在则成比例． 【详解】解：A、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； B、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； C、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； D、由于，则，，，四条线段的长度成比例，符合题意； 故选：D． 55．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组中的数据分别是四条线段的长，其中能使它们成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段. 先对每组线段长度从小到大排序，再判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积， 是否等于中间两个数的乘积．如果等于，则是成比例线段，反之就不是． 【详解】解：A、先排序得：.则有．不是成比例线段，不符合题意． B、由，不是成比例线段，不符合题意． C、先排序得：，则有．不是成比例线段，不符合题意． D、由.则是成比例线段，符合题意． 故选：D． 56．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）下列长度的四条线段中，不能成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例的线段的定义逐一判断即可求解，熟记：“在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解题的关键． 【详解】解：A、，则四条线段能成比例，故不符合题意； B、，则四条线段能成比例，故不符合题意； C、，则四条线段不能成比例，故符合题意； D、，则四条线段能成比例，故不符合题意． 故选：C． 【题型三】利用相似三角形的性质求面积时出错 57．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 58．（2025·浙江·模拟预测）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 59．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质、平移的性质，熟练掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．设交于点，根据平移的性质得，，可得，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求出，再根据，即可求出平移的距离． 【详解】如图所示，设交于点， 由平移的性质得，，， ， ， 它们重合部分的面积是面积的， ， ， 设，， ， ，即， ， 故答案为：． 【题型三】相似三角形在动态几何问题中的应用 60．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意得：设、两点的运动时间是s， ∴，， ∴， ∵， ①当时，， ∵，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； ②当时，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； 故答案为∶ 或． 61．（22.2相似三角形的判定（6种题型基础练 能力提升练）数学沪科版九年级上册）如图，已知于点B，于点C，，，，P为BC上的点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求的长． 【答案】的长为12.6或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分类进行讨论．分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为x，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得， 综上可知，的长为12.6或3或18． 【题型四】求位似图形的对应坐标 62．（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查是位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，熟练掌握位似变换是解决本题的关键． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴点C的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故选:D． 63．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可． 【详解】解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍， 则：点E的对应点的坐标是或，即：或； 故选C． 64．（2025·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 模型01 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 模型02 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 模型03 母子型相似 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 模型04 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 模型05 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 模型06 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 模型07 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 模型08 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 【题型一】A 字模型 1．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】1或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 2．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）如图，中，，，，，，求和长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段此比例定理即可得到的长，证明，即可求得的长，证明，利用相似三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 【题型二】8 字模型 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】由，求得，由，，证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 是解题的关键． 【详解】解：线段、相交于点，：：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，点E为的边上一点，且，点F为的中点，交于点G，则等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．延长，交于点H，易证，根据已知条件和相似三角形的性质可得，再证得，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于点H， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ， 故答案为：． 【题型三】母子型相似 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型四】三角形内接矩形模型 1．（山东省济南育英教育集团2025--2026学年上学期九年级9月月考数学试题）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．设，证明，根据性质得出 ，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， 设． ∵四边形 是矩形，中，高， ∴， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， 解得． ∴， 则四边形的面积． 答：四边形 的面积为． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点E，H分别在AB，AC上．已知，． (1)求证：． (2)求这个正方形的边长与周长． (3)若四边形是矩形，且，则的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2)边长为，周长为 (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，得到，进而得出，，即可判定； （2）设正方形的边长为，则分别表示出、，根据，根据相似三角形的性质得到关于的方程，进而解得，即可得出正方形的边长与周长； （3）与（2）相同，通过相似三角形对应高之比等于相似比列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； （2）如图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为， 则，， ∵， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为cm，周长为cm． （3）如上图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比列方程求解． 【题型五】三平行模型 1．（上海宝山区世外学校2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷）如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 【题型六】一线三等角模型 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又 ， ； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．（2025年山东省聊城文轩初级中学中考数学三模）四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点， ，如图，则线段的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线构建直角三角形，利用角的关系证明三角形相似，结合相似三角形性质求出相关线段长度，再用勾股定理计算． （2）过点作，过点作交的延长线于点，利用角的关系找相似，结合已知条件求出相关线段，最后用勾股定理算出长度． 【详解】（1）解：过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，为对角线中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ，， ，， ， 又， ， 即， ∴， ； （2）解：过点作，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中， ， ∴ ， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ， ∴， 即， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，灵活运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 3．（山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制））我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由，，得出； （2）作于，可证得，从而，，进而推出，进一步得出结论； （3）①在上截取，根据（2）得，从而，从而得出，，进而得出，从而； ②延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，可证得，从而，设，根据得出，从而得出，，根据得出方程，求得，进而得出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）证明：如图， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图， 在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ； 如图， 延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接， 可得，， ， ， ， 设， 由知，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【题型七】手拉手模型 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…    【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上， ①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                    图2                            图3 【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②；③图见解析，115°；④ 【模型拓广：问题延伸】 【分析】【模型改编：问题解决】 ①先证明，可得，再证明，可得； ②由，可得，再结合三角形的外角可得答案； ③连接并延长交于，同理可得：，，再结合三角形的外角可得答案； ④先求解，结合③的思路可得答案； 【模型拓广：问题延伸】 连接、， 先证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】【模型改编：问题解决】 ①∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①知，， ∴， ∴ ③补图如下：连接并延长交于，    图2 同理可得： ∴， ∴ ， ④∵，， ∴， 同理③可得， 故答案为：； 【模型拓广：问题延伸】 连接、，    图3 ∵在矩形和矩形中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请写出当点C与M重合时的长，并说明理由． 【答案】（1）①1；② （2）； （3）或 【分析】本题考查图形的旋转，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键， （1）①根据题意易证得，从而得到，即可得到；②由于，可得，再由三角形内角和定理在中，可求得的度数； （2）利用锐角三角函数可证得，从而推出，即可得到的值，然后在中，利用三角形内角和定理可求得的度数； （3）①点与点在右侧重合时，由（2）中，可得，设，则，可推出，在中，易求得 ，在中，由勾股定理得：，即，解之得，从而得到；②当点与点在左侧重合时，同理设，则，可推出，在中，由勾股定理得：，即，解之得，从而得到； 【详解】解：（1）①如图1：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. ②∵ ∴， ∵， ∴， 在中， . （2）；． 理由如下：如图2，在中， ∵，， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中， . （3）AC的长为或，理由如下： ①点与点在右侧重合时，如图3， 由（2）知，；． 设，则， 在中， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴，（舍去）， ∴； ②点与点在左侧重合时，如图4， 由（2）知；． 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：AC的长为或． 【题型八】对角互补相似模型 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理；过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，根据，设，则，进而分别求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ 设，则 ∵中，，， ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 【题型九】角含半角模型 1．（山东省威海市环翠区2024-2025学年下学期八年级数学期末考试）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）利用有一个角为度的等腰三角形为等边三角形可判定为等边三角形． （2）先根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （3）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下： 由作法得， ， 为等边三角形； （2）证明： 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （3）解： 为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 3．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【题型十】折叠模型 1．（21-22九年级上·浙江舟山·期末）如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（山东省日照市开发区中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷）如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． (1)求证：； (2)点H在上，，求证：； (3)若正方形的边长为9，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，证得四边形是矩形，得到，由折叠知，进一步得到，再证明，即可得出结论； （2）由折叠知，进一步得到，证明 ，得到，即可得出结论； （3）连接，由折叠知，，根据勾股定理求出，证明，得到，求出，，得到，同理可证，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ， ∵为正方形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠知：， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由折叠知：，， ， 在中，，即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $