精品解析：江苏省南京市中华中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

南京市中华中学2025-2026学年第一学期9月调研试卷 高一数学 考试时间：100分钟 满分：150分 命题：彭晓霞 代孟莹 审核：彭晓霞 代孟莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 2. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故选：B. 3. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】确定选项ABD的推导依据，利用几何意义解释选项C即可. 【详解】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释； 对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为， 由图知，当且仅当时等号成立. 故选：C 4. “”是“”（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则或，不能推出，所以充分性不成立； 若，不一定有成立，所以必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程的根为且，即可得到，再将所求不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为且， 即可得到， 故不等式，即，等价于， 等价于， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以， 所以实数的取值范围是 故选：B 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合特例法、换元法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然满足，但是不成立，所以本选项的命题是假命题； B：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为4，因此本选项的命题是真命题； C：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，因此本选项的命题是真命题； D：设， 因为，，， 所以， 因此， 因为，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号，因此本选项命题是真命题， 故选：BCD 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可； 法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 13. 满足条件的集合的个数为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合之间的关系列举出集合. 【详解】符合条件的集合有：，，共个. 故答案为：2 14. 设，，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到，求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知：设，，，求： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由交集运算即可求解； （2）由并集及补集运算即可求解. 【小问1详解】 由题意可得. 【小问2详解】 由已知得， 所以. 16. 已知命题，，当命题为真命题时，实数的取值集合为． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分及进行讨论，当时结合根的判别式计算即可得； （2）由题意可得且，利用集合间关系计算即可得. 【小问1详解】 若，则，解得； 若，则有， 解得，又，则或； 综上所述，当时，命题为真命题， 则； 【小问2详解】 由，则有，解得， 由是的必要条件，则， 则有，解得， 又，则， 即实数的取值范围为. 17. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） （2）3万元 【解析】 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 18. 法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）22或37． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，构造一元二次方程，再利用韦达定理求解即得. （2）变形给定条件，构造一元二次方程，求出方程的解即可. 【小问1详解】 由，，得m，n可看作方程的两个不相等的实数根， 则，， 所以． 【小问2详解】 由，， 得xy，可看作一元二次方程的两个实数根，解得或， 于是，或，， 当，时，； 当，时，． 所以的值为22或37． 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）求不等式的解集； （3）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2025-2026学年第一学期9月调研试卷 高一数学 考试时间：100分钟 满分：150分 命题：彭晓霞 代孟莹 审核：彭晓霞 代孟莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D. 如果，那么 4. “”是“”（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为______． 13. 满足条件的集合的个数为_______． 14. 设，，若，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知：设，，，求： （1） （2） 16. 已知命题，，当命题为真命题时，实数的取值集合为． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 17. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18. 法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）求不等式的解集； （3）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $