第二章　有理数及其运算　单元培优B卷　2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

2025-2026学年七年级上学期第二章有理数及其运算培优卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．计算大于且小于的整数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数大小的比较，利用不等式组的性质是解决本题的关键，本题属于基础题目通过读题，是要找到大于而小于的整数，我们可以根据有理数的性质把大于而小于的整数一一列举出来，最好是按照从大到小或者从小到大的顺序列举，以免丢失数字，列举出来有以下数字：，我们就可以得出答案． 【详解】解：本题要求大于而小于的整数的个数，我们根据有理数的性质把符合条件的整数列举出来，有，我们可以看到有6个数字， 故大于而小于的整数共有6个， 故选：C 2．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据操作步骤输入数据依次进行计算即可，再与进行比较，小于则输出，大于则继续输入一直到小于输出即可． 【详解】解：由题可知，将代入， ， ， 故继续代入， ， ， 故继续代入， ， ． 故选：D． 3．定义一种新运算*，已知，，则的结果为（　　） A．-1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解： ， 故选：A． 4．若，，则的值是（    ）。 A．0 B．-1 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算、绝对值的性质，会利用绝对值的性质化简是解答的关键．先根据题意得出，，，再根据绝对值的性质化简即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 5．点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，有理数的加法法则，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数，右边>左边；同号两数相加，取它们相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大数的符号． 根据数轴可得，分两种情况进行讨论：当a、b同号时，当a、b异号时． 【详解】解：根据数轴可得， 当a、b同号时： ∵， ∴，故A正确，符合题意；C、D不正确，不符合题意； 当a、b异号时： ∵，， ∴，故B不正确，不符合题意； 故选：A． 6．下列说法：整数和分数统称为有理数；的相反数是；互为相反数的两个数的积一定是负数或；是五次三项式．正确的说法有（   ） A．1个 B． C．3个 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和相反数的定义，以及多项式系数和次数的定义，根据有理数和相反数的定义，以及多项式系数和次数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①整数和分数统称为有理数，正确； ②的相反数是，正确； ③ 互为相反数的两个数的积一定是负数或0，正确； ④ 是二次三项式，原说法错误， 则说法正确的为：①②③， 故选：C． 7．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2022秒时所对应的数是（    ） A．-405 B．-406 C．-1010 D．-1011 【答案】B 【分析】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒． 一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，2022÷5＝404…2，即可求解． 【详解】解：∵一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ∵2022÷5＝404…2， ∴该点运动到2020秒时对应的数为−404， ∴第2022秒再向左运动2个单位得−406， 故选：B． 8．满足的整数对共有 组． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故选：C． 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算． 计算可分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 10．对于正数，规定，例如，则的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性运用等知识，先由是最大的负整数求出，再根据绝对值非负性得到、，从而由数轴上两点之间距离公式代值求解即可得到、，熟记数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性是解决问题的关键． 【详解】解：（1）是最大的负整数， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数， ；； 故答案为：． 12．当式子取最小值时， ． 【答案】81 【分析】本题考查了非负数的性质“任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数”、有理数的乘方，熟练掌握非负数的性质是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负数性质可得，再代入计算即可得． 【详解】解：，， 当式子取最小值时，， 解得， 则， 故答案为：81． 13．若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数的相反数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，正确理解题意是解题的关键．根据题意得到点表示的数为，于是求出点运动的距离为，进而即可得到答案． 【详解】解：表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度， 点表示的数为， 点运动的距离为， 点C在数轴上表示的数为或， 故点C在数轴上表示的数的相反数为或． 故答案为：或． 14．某种病毒的直径约为0.00000012米，用科学计数法表示为 ​米；若精确到百万分位，则其直径可记为 米。 【答案】1.2×10-7 ；1.0×10-7 【分析】本题考查科学计数法的标准形式（a×10n，其中 1≤∣a∣<10）及精确度转换，属于有理数运算的实际应用。 【详解】解： 1． 科学计数法：0.00000012=1.2×10−7（小数点右移7位，指数为-7）． 2． 精确到百万分位​：百万分位即小数点后第6位， 原数 0.00000012的第6位为2， 根据四舍五入得 0.00000010=1.0×10−7． 故答案为：1.2×10-7 ；1.0×10-7 15．数字运算蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数，计算得； 第二步：计算出各数位上的数字之和得，再计算得； 第三步：计算出各数位上的数字之和得，再计算得； …… 依此类推，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是根据题意写出前面6个数，发现其存在的规律． 根据题意写出前6个数，不难发现第3个数开始，每2个数为一个循环组，依次循环，则，则可确定的值． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …， 依此类推，第3个数开始，每2个数为一个循环组，依次循环， ∵， ∴． 故答案为：38． 16．现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了速度路程的问题，有理数的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 分三种情况讨论，画出示意图分析即可． 【详解】解：①高速列车和低速列车第1次相遇，如图： 时间为， ②高速列车到达C站需要，此时低速列车距离C站，高速列车要追到它需要，而，大于低速列车到达B站的时间，显然低速列车先到达B站，而高速列车没有追到它，如图， 此时高速列车距离C站：，距离B站：，低速列车1小时后离开B站，此时高速列车距离B站：，则追到低速列车需要时间为：，显然此时低速列车还没有到达A站，如图： 此后低速列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与低速列车共相遇3次； ③高速列车与低速列车第1次相遇，如图， ， 高速列车先出发1小时，距离B站：，两车此时都向C站走，高速列车需要追到普通列车；④高速列车到达C站返回后与普通列车第2次相遇，如图： ， 高速列车到达C站需要，此时普通列车距离C站，两车还需要相遇，此后高速列车向A站走，此后普通列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与普通列车共相遇3次； ⑤普通列车与低速列车第1次相遇，如图： 普通列车出发时，两车相距，两车相遇需，⑥低速列车第1次出B站的时间是，此时普通列车在距离B站处，要追到低速列车需要大于低速列车到达A站的时间，低速列车从A站返回后与普通列车相遇，如图： 低速列车从A站返回时，普通列车距离A站：，两车还需要第2次相遇，⑦普通列车到达A站用时：，低速列车到达A站需要：，故此时低速列车从A站离开了，走了，则它第2次离开B站还需要，此时普通列车距离B站，则刚好到达B站，两车第3次相遇，此后普通列车不再行驶，故普通列车与低速列车相遇3次，故共相遇9次， 故答案为：9． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（共６分，每小题３分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法统一成加法，再按加法的交换律和结合律计算； （2）先算乘方、括号，再算乘除，后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（共９分，每小题３分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方等知识．熟练掌握有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方是解题的关键． （1）先计算乘除，然后进行减法运算即可； （2）先计算乘方，然后进行乘除运算即可； （3）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 19．（３分）把下列六个数：﹣2.5，，0，+5，﹣4，，分别在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】本题侧重考查的是数轴，掌握其概念并正确找到点是解决此题的关键． 根据数轴上的点所表示的数在数轴上找到点即可． 【详解】解：如图所示： 20．（11分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)（3分）这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)（4分）请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)（4分）已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 【答案】(1)80 (2)1500 (3)14250元 【难度】0.65 【来源】四川省成都市锦江区师一学校2024-2025学年上学期半期考试数学试卷 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中最大数减去最小数进行计算即可； （2）表格中所有数据的和加上标准质量乘以7进行计算即可； （3）用每千克的利润乘以销量进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：80； （2）； 答：该合作社这七天一共收购了1500千克的苹果． （3）（元）； 答：该合作社获得的利润是14250元． 21．（12分）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)（3分）已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)（3分）观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)（6分）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 22．（7分）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类，然后逐类进行研究和解决；最后综合各类结果使整个问题得到解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)（3分）______； (2)（4分）求的值． 【答案】(1)1或 (2)或2或0 【分析】本题考查了绝对值化简，掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”是解题的关键． （1）根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可解答； （2）根据题意进行分类讨论：当数、全为正数时，当数、为一正一负时，当数、全为负数时，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：1或； （2）解：当数、全为正数时，． 当数、为一正一负时，； 当数、全为负数时，． 综上所述：值为：或2或0． 23．（12分）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)（3分）把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)（4分）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)（5分）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 【答案】(1)-π ；(2)±4π ；(3)①3；②A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π 【分析】本题考查了数轴和正负数，圆的周长公式是解题的关键． （1）根据向左运动做减法求解； （2）分向左或向右运动两种情况求解； （3）①逐次求解，再比较大小求解；②把这些数的绝对值求解，再乘以周长，求出路程，把这些数求和，再乘以周长得出到原点距离． 【详解】（1）解：0-π=-π， 故答案为：-π； （2）若向左滚动，0-4π=-4π， 若向右滚动，0+4π=4π， 故答案为：±4π； （3）①|2|=2，|2-1|=1，|1+3|=4，|4-4|=0，|0-3|=3， 0＜1＜2＜3＜4， 故答案为：3； ②（|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|）×2π=26π， +2-1+3-4-3=-3， 3×2π=6π， 答：A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π． 24．（12分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)（3分）根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)（3分）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)（6分）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期第二章有理数及其运算培优卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．计算大于且小于的整数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 2．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C． D． 3．定义一种新运算*，已知，，则的结果为（　　） A．-1 B． C．0 D． 4．若，，则的值是（    ）。 A．0 B．-1 C．-3 D．-4 5．点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．下列说法：整数和分数统称为有理数；的相反数是；互为相反数的两个数的积一定是负数或；是五次三项式．正确的说法有（   ） A．1个 B． C．3个 D． 7．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2022秒时所对应的数是（    ） A．-405 B．-406 C．-1010 D．-1011 8．满足的整数对共有 组． A．4 B．5 C．6 D．7 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．对于正数，规定，例如，则的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 12．当式子取最小值时， ． 13．若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数的相反数为 ． 14．某种病毒的直径约为0.00000012米，用科学计数法表示为 ​米；若精确到百万分位，则其直径可记为 米。 15．数字运算蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数，计算得； 第二步：计算出各数位上的数字之和得，再计算得； 第三步：计算出各数位上的数字之和得，再计算得； …… 依此类推，则 ． 16．现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（共６分，每小题３分）计算： (1)； (2)． 18．（共９分，每小题３分）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（３分）把下列六个数：﹣2.5，，0，+5，﹣4，，分别在数轴上表示出来． 20．（11分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)（3分）这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)（4分）请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)（4分）已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 21．（12分）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)（3分）已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)（3分）观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)（6分）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 22．（7分）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类，然后逐类进行研究和解决；最后综合各类结果使整个问题得到解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)（3分）______； (2)（4分）求的值． 23．（12分）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)（3分）把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)（4分）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)（5分）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 24．（12分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)（3分）根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)（3分）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)（6分）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $