第2讲平面向量的加、减法运算讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量加、减法运算核心知识点，承接向量基本概念，系统梳理加法的三角形法则、平行四边形法则、模的关系及运算律，延伸至多边形法则，同时涵盖减法的相反向量定义与几何意义，构建从概念到法则再到应用的完整学习支架。 资料以分层设计与情境化例题为特色，即学即练选用正六边形、平行四边形等实例，培养学生几何直观（数学眼光），考法典例结合运算律与模的关系分析，发展逻辑推理（数学思维），分层题组满足基础与提升需求，课中助力教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，强化符号运算能力（数学语言）。

时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 第2讲 平面向量的加、减法运算 知识精讲 1．向量的加法 (1)向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的三角形法则 如图，已知向量、，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作+，即+，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． (3)向量加法的平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． (4)和向量的模与原向量之间的关系 一般地，我们有|+|≤||+||． 当与共线且同向时，|+|=||+||； 当与共线且异向时，|+|=||-||； 当与不共线时，|+|<||+||． (5)向量加法的运算律 交换律：+=+； 结合律：(+)+=+(+)． 注意： ①当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立； ②当、共线时，交换律和结合律也成立． (6)向量求和的多边形法则 由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量，，，，在平面上任选一点，作=，=，=，=，则+++． 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 2．向量的减法 (1)相反向量 我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-． 规定：零向量的相反向量仍为零向量，且①-(-)=；②+(-)=； 若，互为相反向量，则=-，=-，+=． (2)向量减法的定义 向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即-=+(-)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 3．向量减法的几何意义 (1)非零共线向量，的差-； ①若，反向，则-与同向，且|-|=||+||． ②若，同向，(ⅰ)若||>||，则-与同向，且|-|=||-||； (ⅱ)若||<||，则-与反向，且|-|=||-||； (ⅲ)若||=||，则-=． 其几何意义分别如图(1)(2)(3)(4)． 即学即练 【即学即练1】在正六边形ABCDEF中，++=( ) A． B． C． D． 【即学即练2】若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，=，=，则向量=( ) A．+ B．-- C．- D．-+ 【即学即练3】下列命题中一定正确的是( ) A．-= B．+= C．-= D．++= 【即学即练4】下列四式不能化简为的是( ) A． B． C． D． 【即学即练5】已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是( ) A． B． C． D． 能力拓展 考法1、向量加法运算及其几何意义 【典例1】如图，在正六边形中，+++等于( ) A． B． C． D． 考法2、向量加法的运算律 【典例2】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考法3、向量的减法运算及其几何意义 【典例3】已知||=9，||=6，则||的取值范围是 ． 考法4、向量加、减法的综合应用 【典例4】如图，在平行四边形ABCD中，=4，=2，=a+b，则a-b= . 【典例5】已知S△ABC=3，点Ｍ是△ABC内一点且+2=，求△MBC的面积. 分层提分 题组A 基础过关练 1、已知在△ABC中，点E在CB的延长线上，且满足=2-2，则=( ） A． B． C． D． 2、点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ） A． B． C． D． 3、化简的结果等于（ ） A． B． C． D． 4、设为△ABC中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则( ) A. B. C. D. 5、设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则(　　)． A． B． C． D． 6、已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的( ) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 7、平面上有三点A，B，C，设， ，若的长度恰好相等，则有( ) A．A，B，C三点必在同一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形，且∠B=90° D．△ABC必为等腰直角三角形 8、在五边形ABCDE中(如图)，下列运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 9、在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量( ) A． B． C． D． 10、下列命题中正确的是( ) A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在△ABC中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则与一定相等 12、如图，在△ABC中，=，=，则=( ) A． B． C． D． 13、设平面内四边形及任一点，=，=，=，=．若+=+且|-|=|-|．则四边形的形状是_________． 题组B 能力提升练 1、在等腰梯形中，，，为的中点，则( ) A． B． C． D． 2、已知是△ABC内部的一点，，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是( ) A． B． C．2 D．1 3、在中，为线段上一点，且，则　　 A． B． C． D． 4、在△ABC中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则： ①；②；③；④． 上述结论中，正确的是( ) A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 5、△ABC中，，点M在BD上，且满足，则实数t的值为( ) A． B． C． D． 6、设为的边的中点，为内一点，且满足，，则　　 A． B． C． D． 7、(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点，以下可能成立的是( ) A． B． C． D． 8、已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若=，则△ABC与△APQ的面积之比为　 　． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $