精品解析：四川省遂宁中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

遂宁中学高2027届第三期九月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15 【答案】B 【解析】 【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】三次投篮共有20种， 恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种 ∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 故选：B 【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证平面，取BD的中点F，连接EF，则为直线与所成的角，利用余弦定理求出，根据三棱锥体积公式即可求得体积． 【详解】如图， ∵，点为的中点， ∴，， ∵，，两两垂直，， ∴平面，取BD的中点F，连接EF， ∴为直线与所成的角，且， 由题意可知，，设，连接AF， 则， 在中，由余弦定理，得， 即，解得，即 ∴三棱锥的体积． 故选：． 4. 已知平面平面，．下列结论中正确的是（    ） A. 若直线平面，则 B. 若平面平面，则 C. 若直线直线，则 D. 若平面直线，则 【答案】D 【解析】 【分析】A，利用线面平行的判定定理；B，面面垂直没有传递性；C，利用面面垂直的性质定理；D，利用面面垂直的判定定理； 【详解】A，若，，则或，故A错误； B，若，，则或与相交，故B错误； C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误； D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确； 故选：D. 5. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 6. 如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点到平面距离转化为三棱锥的高，然后利用等体积的方法求距离即可. 【详解】 由题意得点到平面距离为三棱锥的高， 设点到平面距离为，取中点，连接， 因为为长方体，所以，所以， ，，， 所以，，解得. 故选：C. 7. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可. 【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，，， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题得，，，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由相互独立事件的乘法公式去计算和即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】由题意可知，，， 且，，， 对于A，由上可知A包含C，故A正确； 对于B，，，故，故B正确； 对于C和D，设事件“抛掷质地均匀的骰子两次”，则， 故由和知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况，再根据包含事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断得解. 10. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，B选项，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解； C选项，利用线面角的向量求解公式进行求解； D选项，利用点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，平面，直线与平面所成角, ， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则，设直线与所成的角大小为，则， 故，A正确； B选项，设直线与所成的角大小为，则， 故，B正确； C选项， 可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，C正确；    因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积的最大值为 B. 的取值范围是 C. 若二面角的平面角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式可判断A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B；结合二面角平面角定义找出，结合解直角三角形判断C；确定三棱锥的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥外接球表面积取值范围，判断D. 【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故， 点P到底面的距离为， 当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大， 则 ，故A正确； 由于，则， 又在中， ， 故， 因为，所以，则 ，故B错误； 因为平面，平面，故，而, 平面，故平面，平面， 故，所以是二面角的平面角， 则，因为 ，所以，故C正确； 设线段BC的中点为N， 线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上， 在四边形中，,, 设，在中，在中， 故， 整理得，所以 ，所以外接球的表面积为，D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围. 三、填空题（本大题共5小题，共15分） 12. 已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，利用向量相等求解即可. 【详解】设，由题可得， 所以可得， 则，解得：， 故点的坐标为． 故答案为： 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 为了激发学生的阅读兴趣，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券，其它情况均不能获得书券．游戏规则如下表： 箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5” 项目 游戏一 游戏二 游戏三 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学首先玩游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大？ 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）5或6或7 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得书券的概率，从而游戏三获胜的概率的范围，据此可求的取值集合. 【小问1详解】 设事件为“游戏一获胜”， 游戏一中样本空间，，， ，则． 设事件为“游戏二获胜”， 游戏二中样本空间， ，， 则．所以游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为． 【小问2详解】 游戏三中，不放回地依次取两个球，样本个数为个， 当时，满足条件的样本点为：共4个， 所以获胜概率为， 所以当时，游戏三获胜概率为． 【小问3详解】 设事件为“游戏三获胜”，事件为“玩游戏一后先玩游戏二再玩游戏三，获得书券”， 事件为“玩游戏一后先玩游戏三再玩游戏二，获得书券”． ，且，，两两互斥，相互独立， 则 ． ，且，，两两互斥， 则 ． 依题意，，即需使，解得． 列出游戏三取球所有情况如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 当或4或8或9时， ； 当或6或7时， ． 所以的取值为或6或7时，先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁中学高2027届第三期九月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15 3. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知平面平面，．下列结论中正确的是（    ） A. 若直线平面，则 B. 若平面平面，则 C. 若直线直线，则 D. 若平面直线，则 5. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 10. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积的最大值为 B. 的取值范围是 C. 若二面角的平面角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 三、填空题（本大题共5小题，共15分） 12. 已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为______． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 为了激发学生的阅读兴趣，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券，其它情况均不能获得书券．游戏规则如下表： 箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5” 项目 游戏一 游戏二 游戏三 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学首先玩游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大？ 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $