专题01 二次函数及其应用（期中专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题01 二次函数及其应用 题型1 根据二次函数的定义求参数（常考点） 题型12利用不等式求自变量或函数值的范围（重点） 题型2 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质（重点） 题型14 图形问题(实际问题与二次函数) 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质（重点） 题型15 图形运动问题(实际问题与二次函数)（难点） 题型5 二次函数图象与各项系数符号（常考点） 题型16 拱桥问题(实际问题与二次函数)（重点） 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断（重点） 题型17销售问题(实际问题与二次函数)（常考点） 题型7反比例函数、二次函数图象综合判断 题型18 投球问题(实际问题与二次函数) 题型8 两个二次函数图象综合判断（重点） 题型19增长率问题(实际问题与二次函数)（常考点） 题型9 抛物线与x轴的交点问题（难点） 题型20面积问题(实际问题与二次函数)（难点） 题型10 根据二次函数图象确定相应方程根的情况（重点） 题型11 求x轴与抛物线的截线长（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 1．若函数是二次函数，则 ． 2．已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 3．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 题型2 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 4．已知抛物线的顶点坐标是，则m和n的值分别是(   ) A． B． C． D． 5．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ． 6．已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质（共3小题） 7．二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 8．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 9．抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小关系（　　） A． B． C． D． 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质（共3小题） 10．已知二次函数 的自变量对应的函数值分别为 ．当 时，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．已知点，均在抛物线上，且，则 （填“”“”或“”）． 12．已知抛物线， 当抛物线的顶点位置最低时，抛物线上有两点． 若， 则m的取值范围为 ． 题型5 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 13．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 14．二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②；③；④若，且y在时取最大值，则m的取值范围是．其中正确的结论有 ． 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 16．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 18．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型7反比例函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 19．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 20．在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 21．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型8 两个二次函数图象综合判断（共3小题） 22．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 23．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 24．已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 题型9 抛物线与x轴的交点问题（共3小题） 25．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ． 26．抛物线与轴只有一个交点，求的值． 27．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点坐标． 题型10 根据二次函数图象确定相应方程根的情况（共3小题） 28．已知函数的图像如图，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 29．二次函数（，为常数）与x轴交于点，，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 30．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 题型11 求x轴与抛物线的截线长（共3小题） 31．抛物线与轴两交点间的距离为 ． 32．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 题型12利用不等式求自变量或函数值的范围（共3小题） 34．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 35．如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 36．二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ． 题型13 根据交点确定不等式的解集（共3小题） 37．如图所示，在直角坐标平面中，抛物线 与直线 相交于 和，则不等式 的解集是 ． 38．我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 39．如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 题型14 图形问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 40．学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 41．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 42．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 题型15 图形运动问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 43．如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 44．如图所示，矩形中，，，点从出发，沿向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度（、到达、两点后就停止运动）．若设运动第秒时五边形的面积为，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 45．如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为． (1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求的面积的最大值． 题型16 拱桥问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 46．如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 47．某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ． 48．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 题型17销售问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 49．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 50．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 51．电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 题型18 投球问题(实际问题与二次函数（共3小题）) 52．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 53．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 54．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方的点P发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式：． (1)当，求的值； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为，离地面的高度为的Q处时，乙扣球成功，求的值． 题型19增长率问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 55．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 56． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 57．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 题型20面积问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 58．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 59．已知：如图，直线与抛物线交于 A、B 两点 ，求出 A、B 两点的坐标 ，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．    60．如图，直线过轴上的点，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求出的面积． (3)当时，请观察图象直接写出x的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数及其应用 题型1 根据二次函数的定义求参数（常考点） 题型12利用不等式求自变量或函数值的范围（重点） 题型2 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质（重点） 题型14 图形问题(实际问题与二次函数) 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质（重点） 题型15 图形运动问题(实际问题与二次函数)（难点） 题型5 二次函数图象与各项系数符号（常考点） 题型16 拱桥问题(实际问题与二次函数)（重点） 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断（重点） 题型17销售问题(实际问题与二次函数)（常考点） 题型7反比例函数、二次函数图象综合判断 题型18 投球问题(实际问题与二次函数) 题型8 两个二次函数图象综合判断（重点） 题型19增长率问题(实际问题与二次函数)（常考点） 题型9 抛物线与x轴的交点问题（难点） 题型20面积问题(实际问题与二次函数)（难点） 题型10 根据二次函数图象确定相应方程根的情况（重点） 题型11 求x轴与抛物线的截线长（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 1．若函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数不为，从而求解的值． 【详解】是二次函数， ，， ，， ， 故答案为：． 2．已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或， ∴或时，函数是二次函数． 3．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 题型2 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 4．已知抛物线的顶点坐标是，则m和n的值分别是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点坐标，写出顶点式，进而转化为一般式，求出m和n的值即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式为， ∴； 故选A． 5．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 6．已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质（共3小题） 7．二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 8．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误； ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 9．抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断；根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：因为，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，图象关于直线对称， 因为点，，在二次函数的图象上，且， 故， 故选：D． 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质（共3小题） 10．已知二次函数 的自变量对应的函数值分别为 ．当 时，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握当开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 先确定出三点离对称轴的远近，再根据当开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵二次函数的二次项系数， ∴． 故选D． 11．已知点，均在抛物线上，且，则 （填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式以及二次函数的增减性是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的二次项系数判断其增减性，最后结合点的横坐标范围比较纵坐标大小． 【详解】解：对于抛物线，其对称轴公式为． 因为， 所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，即时，随的增大而增大． 因为，都在对称轴左侧， 所以． 故答案为：． 12．已知抛物线， 当抛物线的顶点位置最低时，抛物线上有两点． 若， 则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据解析式，得到抛物线过定点，进而得到当抛物线的顶点位置最低时，顶点即为，得到对称轴为直线，根据对称性得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴过定点， ∴当抛物线的顶点位置最低时，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线上有两点，关于的对称点为，且， ∴； 故答案为：． 题型5 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 13．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据图像依次判断即可． 【详解】①对称轴 ②二次函数与轴有两个不同的交点 ； ③将代入二次函数解析式，得 时, 二次函数图像与轴交于正半轴 ④当时，根据图像可知 即 将代入，得 即 故选：C． 14．二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据其开口方向，对称轴，图象交轴的负半轴，可知，，，，从而可以判断①，②；根据图象过，，可得，，推出，可判断③；由，，可判断④． 【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，， 图象开口向上， ， ， ， 图象交轴的负半轴， ， ；故①错误； ，， ， ，故②正确； 图象过，， ，， ，， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：D． 15．已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②；③；④若，且y在时取最大值，则m的取值范围是．其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据函数图象得出，即可判断①错误；先将点代入抛物线的解析式，即可判断②正确；根据，，即可判断③错误；先求出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的开口向上，当，且y在时取最大值，得出，求出不等式组的解集，即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点位于轴的负半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交点为， ∴， 整理得：，故②正确； ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上，当，且y在时取最大值， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， ∴，且y在时取最大值，，故④正确； 综上分析可知，正确的有②③④． 故答案为：②③④． 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 16．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，运用数形结合的方法是解题的关键． 先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，即可得出答案． 【详解】解：A、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，故本选项符合题意； D、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 17．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据已知图象判断出a，b，c的符号． 由二次函数与一次函数的图象可得，即可判断二次函数对称轴，开口方向以及与轴交点位置，即可得答案． 【详解】解：由二次函数与一次函数的图象可得， ∴， ∴二次函数对称轴在轴左侧，开口向上，与轴交于负半轴， 故选：D． 18．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据已知二次函数的图象判断系数、的符号．根据二次函数的图象开口方向、对称轴可以判断、的正负情况，从而可以判断一次函数的图象． 【详解】解：由二次函数的图象可知， ，， ， ， 一次函数的图象在第一、二、四象限． 故选：D． 题型7反比例函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 19．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 20．在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解答本题的关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出，的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：A、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故A选项错误； B、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则，同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项错误； C、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故C选项错误； D、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故D选项正确； 故选：D． 21．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 题型8 两个二次函数图象综合判断（共3小题） 22．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 23．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 24．已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）将代入抛物线解析式求出解析，再化成顶点式即可求得； （2）把代入抛物线解析式中求出解析式，再根据对称轴公式即可求得； （3）令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，分四种情况时， 时， 时， 时，画出函数图象，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， 设函数的对称轴为直线， 则； （3）解：当时，函数图象开口向下， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，与的图象重合，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 综上分析可知，当时，；当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 题型9 抛物线与x轴的交点问题（共3小题） 25．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴的交点横坐标是解题的关键．令，根据根的判别式大于零且二次项系数不等于0即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴当时，有两个不等的实数根， ∴且， 即且， 解得且． 故答案为：且． 26．抛物线与轴只有一个交点，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则；抛物线与x轴有一个交点，则；抛物线与x轴没有交点，则．根据抛物线与轴只有一个交点，则进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得． 27．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴，顶点坐标，与x轴的交点坐标和 【分析】本题考查待定系数法求解二次函数的解析式、求二次函数的对称轴、顶点、与x轴交点坐标： （1）采用待定系数法或者根据二次函数与二次方程的关系直接可写出解析式； （2）根据抛物线的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过和，且， 抛物线的解析式为， 展开得； （2）解：对于二次函数，对称轴为， 在中，， ∴对称轴为， 将代入解析式，得， 顶点坐标为， 由二次函数性质可知，抛物线与x轴的交点即为A、B，故坐标为，． 综上，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，与x轴的交点坐标为和． 题型10 根据二次函数图象确定相应方程根的情况（共3小题） 28．已知函数的图像如图，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，利用图象法进行判断即可． 【详解】解：如图， 抛物线与直线，在第四象限有2个交点， ∴关于x的方程有两个同号不等实数根； 故选：C． 29．二次函数（，为常数）与x轴交于点，，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根． 【详解】解：∵二次函数（，为常数）与x轴交于点，， ∴关于x的方程的解为，， 故选：C． 30．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 题型11 求x轴与抛物线的截线长（共3小题） 31．抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 32．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12利用不等式求自变量或函数值的范围（共3小题） 34．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 35．如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当分别在对称轴两侧时， ∵ ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故选：B． 36．二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 题型13 根据交点确定不等式的解集（共3小题） 37．如图所示，在直角坐标平面中，抛物线 与直线 相交于 和，则不等式 的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线在直线下方的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】解：借助图象可得抛物线在直线下方的自变量x的取值范围为或， ∴ 不等式 的解集是或， 故答案为：或 ． 38．我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查了画二次函数图象，抛物线与x轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线即可； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 描点连线，如图所示； （2）解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 39．如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联合直线解析式和抛物线解析式，求解即可获得答案； （2）结合函数图象，由二次函数图象在直线上方部分，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ； （2）由（1）得， 结合图象可知，的解集为或． 题型14 图形问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 40．学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【答案】(1) (2)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题时要熟知等量关系是关键． （1）依据题意，，从而，再由，且，可得的范围； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 41．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 【答案】(1)当饲养室长时，占地面积最大 (2)占地面积不能达到，过程见详解 【分析】此题主要考查了由实际问题列二次函数关系式以及二次函数的最值问题，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题. （1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积长宽计算，再根据二次函数的性质分析即可； （2）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积长宽计算，再根据二次函数的性质分析即可， 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长时，占地面积最大. （2）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长为时，占地面积最大，为338. ∴占地面积不能达到. 42．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 题型15 图形运动问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 43．如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 44．如图所示，矩形中，，，点从出发，沿向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度（、到达、两点后就停止运动）．若设运动第秒时五边形的面积为，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、动点问题，首先用含的代数式表示出和的长度，根据三角形的面积公式可知，根据矩形的面积公式可以求出矩形的面积是，利用矩形的面积减去三角形的面积即为五边形的面积． 【详解】解：，， 运动时，，， ， 矩形中，，， 矩形的面积是， ， 整理得：． 故选：A． 45．如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为． (1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确列出函数关系式，是解题的关键： （1）由题意，求出的长，利用面积公式求出解析式，再根据当N到达C点时，M、N停止运动，求出取值范围即可； （2）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴， 当N到达C点时，则， ∴； 故：； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为； 即：的面积的最大值为． 题型16 拱桥问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 46．如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意得的横坐标为，把直接代入解析式即可解答，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得的横坐标为，将代入得：， ∴， ∴， ∴水面与桥拱顶部的高度等于， 故选：． 47．某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，将点代入二次函数中求解，即可解题． 【详解】解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由题知，二次函数过点， ， 解得， 二次函数解析式为， ， 故答案为：． 48．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题： （1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度 【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系 则抛物线的顶点在原点，设其解析式为 当拱顶离水面时，水面宽 即当时， 将代入解析式得： 解得： 所以函数解析式为： （2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即 代入解析式得： 解得： 此时水面宽度为 原水面宽 所以水面宽度增加： 题型17销售问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 49．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 【答案】14万元 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，根据题意列出二次函数，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元， 则 ； ∴当时，能获得的最大利润； 故最大利润为14万元． 故答案为：14万元． 50．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题意，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 51．电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)W最大值（元） (3)销售单价为110元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得， 解得， ； （2）依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； （3）依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 题型18 投球问题(实际问题与二次函数（共3小题）) 52．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 令，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和， 即小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D 53．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 54．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方的点P发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式：． (1)当，求的值； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为，离地面的高度为的Q处时，乙扣球成功，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把的值以及点代入解析式，即可求出的值； （2）将代入解析式中得到一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出的值． 【详解】（1）解：∵甲在O点正上方的点P发出一球， ∴ ∵，且 ∴， ∴． （2）解：∵羽毛球飞行到与点O的水平距离为，离地面的高度为的Q处时， ∴ 把代入， 得：， 解得， 即的值为． 题型19增长率问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 55．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 56． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 57．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 题型20面积问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 58．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键． 59．已知：如图，直线与抛物线交于 A、B 两点 ，求出 A、B 两点的坐标 ，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．    【答案】，，面积为10 【分析】本题考查一次函数和二次函数交点坐标求法，三角形面积等．根据题意将与联立方程组，继而求得A、B 两点的坐标，后求出点坐标，继而求出面积． 【详解】解：∵直线与抛物线交于 A、B 两点 ， ∴，解得：或， ∴，， 令，即， ∴， ∴， ∴． 60．如图，直线过轴上的点，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求出的面积． (3)当时，请观察图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）把点代入抛物线解析式，即可求解； （2）联立两函数解析式可得点C的坐标为，再求出D点坐标． 然后根据，即可求解； （3）直接观察图象可得当或时，直线在抛物线的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由题可知，直线的解析式为． 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为． 对于， 当时，， ∴D点坐标． ∴； （3）解：由图象得：当或时，直线在抛物线的下方， ∴当时，x的取值范围或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $