专题04 期中真题百练通关（常考题、易错题）（期中专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题04 期中真题百练通关（54题18大常考题型） 题型1 根据二次函数的定义求参数 题型10判断反比例函数图象所在象限 题型2 待定系数法求二次函数解析式 题型11 比较反比例函数值或自变量的大小 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型12求反比例函数解析式 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型13实际问题与反比例函数 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型14 利用两角对应相等判定相似 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 题型15 利用三边对应成比例判定相似 题型7销售问题(实际问题与二次函数) 题型16利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型8 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型17 选择或补充条件使两个三角形相似 题型9已知反比例函数的增减性求参数 题型18 利用相似三角形的性质求解 题型一 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 题型二 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 题型三 y=a(x-h)2+k的图象和性质（共3小题） 7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是 （写出一个符合题意的解析式）． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请写出一个二次函数的表达式，满足当时，函数图像从左到右下降： ． 题型四 y=ax2+bx+c的图象与性质（共3小题） 10．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ． 12．（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 题型五 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 13．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 题型六 一次函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 16．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·江西景德镇·期中）已知点A在直线上，点B，C，，在抛物线上，当时，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型七 销售问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 19．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ (3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 20．（24-25九年级上·全国·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元． 21．（24-25九年级上·全国·期中）一家公司成立之初，投资1500万元购买新生产线生产新产品，生产每件产品需成本60元．按规定，产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，产品年销售量 y（单位；万件）与产品售价x（单位；元）之间的函数解析式为． (1)第一年该公司是盈利还是亏损？ 求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价． (2)在（1）的前提下，第二年该公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？ 若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由． 题型八 拱桥问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 22．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 23．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 24．（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设计方案，分别如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度为10m，拱高为5m． 方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高为6m． 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式； (2)求铁艺大门框架的面积和的面积 并比较 与 的大小． 题型九 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 25．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（只写一个） 26．（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 27．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 28．（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 29．（24-25九年级上·广西梧州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．函数图象位于第一，二象限 D．函数图象位于第二，四象限 30．（24-25九年级上·山西运城·期末）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 题型十一 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 31．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 (用“或”连接)． 32．（24-25九年级下·云南·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级下·全国·期中）点，，均在的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十二 求反比例函数解析式（共3小题） 34．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 35．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 36．（24-25九年级下·全国·期中）若点在反比例函数（）的图象上，则的值是（　　） A． B． C． D． 题型十三 实际问题与反比例函数（共3小题） 37．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 38．（24-25九年级下·广东深圳·期中）已知妈妈在家洗菜，设用一定量清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为反比例函数关系．已知用5升清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量是清洗前的，若要使蔬菜上残留的农药量不超过清洗前的，则至少需要用 升清水清洗．（假设每次清洗时，农药在清水中均匀分布，且清洗后蔬菜上的水分被充分沥干） 39．（24-25九年级下·吉林长春·期中）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 题型十四 利用两角对应相等判定相似（共3小题） 40．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 41．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    42．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 题型十五 利用三边对应成比例判定相似（共3小题） 43．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 44．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 题型十六 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似（共3小题） 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 47．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 48．（24-25九年级上·广西北海·期末）如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 题型十七 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 49．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 题型十八 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 54．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 1．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 4．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 6．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 7．项目化学习 项目主题：如何获得最大利润？ 项目背景：3月5日是二十四节气之一的惊蛰，惊蛰吃梨的风俗在中国有着悠久的历史和丰富的文化内涵，因此梨成为了惊蛰前的热销水果之一．某城市水果销售商以2元/千克的进价购进了一批梨，并放到了本市5家分店进行销售． 任务驱动：销售这批梨完，并获得最大利润． 研究步骤：研究步骤：（1）分别对5家分店进行不同价位的销售； （2）收集每家分店的日销量； （3）分析数据，形成结论． 收集数据∶ 分店编号 1 2 3 4 5 售价（元/千克） 6 2.5 5 3 5.5 日销量千克 40 180 80 160 60 (1)结合数据分析，请直接写出5家分店销售梨的日销量与售价的函数关系式． (2)该水果销售商计划对5家分店统一规定售价，在无损耗的情况下，当售价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出该销售商销售此梨一天的最大利润． (3)若每天未售出的梨中会有因变质第二天无法销售，请直接写出当统一售价定为多少时，平均每天可获得最大利润． 8．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中真题百练通关（54题18大常考题型） 题型1 根据二次函数的定义求参数 题型10判断反比例函数图象所在象限 题型2 待定系数法求二次函数解析式 题型11 比较反比例函数值或自变量的大小 题型3 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型12求反比例函数解析式 题型4 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型13实际问题与反比例函数 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型14 利用两角对应相等判定相似 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 题型15 利用三边对应成比例判定相似 题型7销售问题(实际问题与二次函数) 题型16利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型8 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型17 选择或补充条件使两个三角形相似 题型9已知反比例函数的增减性求参数 题型18 利用相似三角形的性质求解 题型一 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 题型二 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法解二次函数，掌握二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 已知顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点代入即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为． 5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 y=a(x-h)2+k的图象和性质（共3小题） 7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是 （写出一个符合题意的解析式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的图象的对称轴为直线，写出二次函数的顶点式即可． 【详解】解：由题意，对称轴为直线， 这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请写出一个二次函数的表达式，满足当时，函数图像从左到右下降： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据题意可知只需要写成一个开口向下，对称轴为直线的二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，当时，该二次函数的函数值随自变量的增大而减小， ∴满足题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型四 y=ax2+bx+c的图象与性质（共3小题） 10．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查过定点，且开口方向确定的二次函数的表达式的确定的知识，理解二次函数图像性质是本题解题关键． 根据二次函数的性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：设， 将代入， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）当时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 题型五 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 13．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号，根据图象判断①和②，特殊点判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴，，故②正确； ∴，故①错误， 由图象可知：当时，，故③正确； 当时，， ∵， ∴，故④正确； 故正确的结论为②③④； 故选B． 14．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据对称轴是直线判断②的正误；根据函数在的函数值判断④的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵当时，函数值为负值， ∴，故④正确； 故选：B． 15．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：∵开口向上， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B错误； 根据图象可得当时，，故C正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故D错误； 故选：C． 题型六 一次函数、二次函数图象综合判断（共3小题） 16．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出是解题的关键．先求出，，再求出，最后判断一次函数图象即可． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， 当时，， ∴的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 17．（24-25九年级下·江西景德镇·期中）已知点A在直线上，点B，C，，在抛物线上，当时，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，求出二次函数的最小值，以及两个函数图象的交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值为1， ∴， 联立，解得：或， ∴两个图象的交点为，如图， 当时，， 由图可知：； 故选B． 18．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 题型七 销售问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 19．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ (3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【答案】(1)A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元 (2)8元 (3)实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （3）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． （2）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． （3）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 20．（24-25九年级上·全国·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元． 【答案】每件定价为65元时利润最大 【分析】本题考查二次函数的应用，每件涨价x元，则销量为件，单件利润为元，由此列y关于x的二次函数，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元．由题意得， ， ∴当时，y有最大值6250， ， 答：每件定价为65元时利润最大． 21．（24-25九年级上·全国·期中）一家公司成立之初，投资1500万元购买新生产线生产新产品，生产每件产品需成本60元．按规定，产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，产品年销售量 y（单位；万件）与产品售价x（单位；元）之间的函数解析式为． (1)第一年该公司是盈利还是亏损？ 求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价． (2)在（1）的前提下，第二年该公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？ 若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)亏损，售价为180元/件时亏损最小 (2)160元/件 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握销量、利润、成本、售价的关系是解题的关键． （1）设第一年利润为W万元，根据销量、利润、成本、售价的关系列出W关于x的二次函数，化为顶点式，即可求解； （2）设第二年利润为Q万元，，两年共盈利达 1340万元时，，解方程即可． 【详解】（1）解：设第一年利润为W万元， ， 化为顶点式，得：， 当时，W取最大值，最大值为， 第一年该公司亏损，亏损60万元，当售价为180元/件时亏损最小． （2）解：设第二年利润为Q万元， ， 两年共盈利达 1340万元时， ， 解得，， ， ， 当售价为160元/件时，两年共盈利达1340万元． 题型八 拱桥问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 22．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知， ∴货车可以通过． 23．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 24．（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设计方案，分别如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度为10m，拱高为5m． 方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高为6m． 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式； (2)求铁艺大门框架的面积和的面积 并比较 与 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知方案一中抛物线的顶点，方案二中抛物线的顶点，分别设顶点式用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）令可得，，可求出故，再比较的大小即可． 【详解】（1）解：如图1，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为 把代入得∶ 解得： ∴方案一中抛物线的函数表达式为 ． 如图2，方案二中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为 把代入得∶ 解得： ∴方案二中抛物线的函数表达式为 （2）在 中，令，得∶ 解得 或 在 中，令，得∶ 解得 或 题型九 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 25．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（只写一个） 【答案】3（大于2的数均可） 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键．根据题意得出时，满足该反比例函数在各象限内y的值随x的增大而增大，再求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴k的值可以是3． 故答案为：3（大于2的数均可）． 26．（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 27．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故选C． 题型十 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 28．（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数图象的性质即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限． 故选：C． 29．（24-25九年级上·广西梧州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．函数图象位于第一，二象限 D．函数图象位于第二，四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据函数解析式的系数小于零，即可判断选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象经过二、四象限，在每一个象限中y随着x的增大而增大， ∴A、B、C错误，D正确，故D选项符合题意； 故选：D． 30．（24-25九年级上·山西运城·期末）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断反比例函数图象所在象限，根据，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴函数图象过二，四象限； 故选C． 题型十一 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 31．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 (用“或”连接)． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小”是解题的关键．由，利用反比例函数的性质可得出，此题得解． 【详解】解：， 反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 32．（24-25九年级下·云南·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限，进而可判断各点值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第一、三象限， 点的横坐标，位于第三象限，故． 点和的横坐标均大于0，位于第一象限，故，． ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴． 综上，， 故选：A． 33．（24-25九年级下·全国·期中）点，，均在的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数图象的性质，结合各点的横坐标代入计算对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，均在的图象上 ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：C． 题型十二 求反比例函数解析式（共3小题） 34．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 35．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，一次函数的表达式为，求出，故有，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一比例函数的图象过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 由（）得，一次函数的表达式为， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴ ． 36．（24-25九年级下·全国·期中）若点在反比例函数（）的图象上，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上， 解得：， 故选：D． 题型十三 实际问题与反比例函数（共3小题） 37．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)； (2)50； 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； （2）解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 38．（24-25九年级下·广东深圳·期中）已知妈妈在家洗菜，设用一定量清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为反比例函数关系．已知用5升清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量是清洗前的，若要使蔬菜上残留的农药量不超过清洗前的，则至少需要用 升清水清洗．（假设每次清洗时，农药在清水中均匀分布，且清洗后蔬菜上的水分被充分沥干） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y，清水量为x，先求出反比例函数表达式，进而得出答案． 【详解】解：设蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y，清水量为x， 由已知条件可得，， 当时，， 代入可得，， 解得：， 则反比例函数的表达式为， （升）． 故答案为：． 39．（24-25九年级下·吉林长春·期中）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 由已知设，结合图象求出解析式，再分别求出当时，当时的函数值，并进行比较求解，即可解题． 【详解】解：设， 由图知，， ， 当时，； 当时，； 小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了(度)； 故选：B． 题型十四 利用两角对应相等判定相似（共3小题） 40．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 41．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 42．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．要使，已有（公共角），则只需作出即可； 以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前面所画弧相交于点Q；连接并延长，交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 题型十五 利用三边对应成比例判定相似（共3小题） 43．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 44．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 45．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 题型十六 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似（共3小题） 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 47．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 48．（24-25九年级上·广西北海·期末）如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】证明：，， ， 又， ． 题型十七 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 49．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 50．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：和中，，满足一组对角相等． A．添加后，不能使； B．添加后，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，即可判定； C．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； D．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； 故选A． 51．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 题型十八 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 53．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 54．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 1．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合判断，根据一次函数图象以及二次函数图象与系数之间的关系，进行判断即可． 【详解】解：，， ∵当时，对于，，对于，， ∴直线和抛物线交于点， ∵的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴位于轴的右侧， 综上，观察可知，只有选项D的图象符合题意； 故选D． 3．已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 4．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 5．有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用对称轴、最小值得出顶点式解析式是解题关键． 根据对称轴、最小值，可得顶点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标，可得图象上的点，根据待定系数法，可得答案． 【详解】解：对称轴是直线，函数有最小值， 顶点坐标是， 设该二次函数的表达式为， 点关于轴的对称点是， 将点代入函数表达式，得， 解得， 该二次函数的表达式为． 6．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 7．项目化学习 项目主题：如何获得最大利润？ 项目背景：3月5日是二十四节气之一的惊蛰，惊蛰吃梨的风俗在中国有着悠久的历史和丰富的文化内涵，因此梨成为了惊蛰前的热销水果之一．某城市水果销售商以2元/千克的进价购进了一批梨，并放到了本市5家分店进行销售． 任务驱动：销售这批梨完，并获得最大利润． 研究步骤：研究步骤：（1）分别对5家分店进行不同价位的销售； （2）收集每家分店的日销量； （3）分析数据，形成结论． 收集数据∶ 分店编号 1 2 3 4 5 售价（元/千克） 6 2.5 5 3 5.5 日销量千克 40 180 80 160 60 (1)结合数据分析，请直接写出5家分店销售梨的日销量与售价的函数关系式． (2)该水果销售商计划对5家分店统一规定售价，在无损耗的情况下，当售价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出该销售商销售此梨一天的最大利润． (3)若每天未售出的梨中会有因变质第二天无法销售，请直接写出当统一售价定为多少时，平均每天可获得最大利润． 【答案】(1) (2)售价为4.5元/千克时，每天获得的利润最大，销售此梨一天的最大利润为1250元 (3)当定价为元/千克时，平均每天可获得最大利润 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）由表格数据可知，是关于的一次函数，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设一家店的利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式进行求解即可； （3）设每家店一天有千克梨预售，一天获得的利润为元，根据题意，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，是关于的一次函数， 设， 把，代入得， 解得， ∴； （2）解：设一家店的利润为元， 根据题意得， 即， 当时，取最大值，最大值为250元， （元）． 答：该水果销售商对5家分店统一规定售价为4.5元/千克时，每天获得的利润最大，销售此梨一天的最大利润为1250元． （3）解：设每家店一天有千克梨预售，一天获得的利润为元， 根据题意得 ， ∴当时，取最大值． 答：当定价为元/千克时，平均每天可获得最大利润． 8．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $