专题05 期中真题百练通关（压轴题）（期中专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题05 期中真题百练通关（48题14大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多结论问题 题型6 线段周长问题（二次函数综合） 题型2 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型7 面积问题(实际问题与二次函数) 题型3 已知比例系数求特殊图形的面积 题型8 角度问题（二次函数综合） 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 题型9 特殊三角形问题（二次函数综合） 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 题型10 特殊四边形问题（二次函数综合） 题型11 相似三角形问题（二次函数综合） 题型12 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型13 相似三角形——动点问题 题型14 相似三角形的判定与性质综合 题型一 多结论问题（共5小题） 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，下列结论中：①；②；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得．正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25九年级下·全国·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；；．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 6．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 题型三 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 9．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 10．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 12．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，四边形是平行四边形，点A在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，且与边的延长线交于点．若，则点D的坐标为 ． 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知反比例函数与一次函数图象的一个交点的横坐标是纵坐标的两倍，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用（共3小题） 15．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 16．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    17．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    题型六 线段周长问题（二次函数综合）（共3小题） 18．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 19．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 题型七 面积问题(实际问题与二次函数)（共5小题） 21．（24-25九年级下·福建漳州·期中）已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 22．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 24．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线过点 ， ，且它的对称轴为直线，是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积为15时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 25．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 题型八 角度问题（二次函数综合）（共3小题） 26．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 题型九 特殊三角形问题（二次函数综合）（共3小题） 29．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 30．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， (1)若，当时，求抛物线解析式； (2)若是等边三角形，求的值； (3)若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 题型十 特殊四边形问题（二次函数综合）（共3小题） 32．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 33．（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (3)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当以点Q、M和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，直接写出此时m的值． 34．（24-25九年级下·河北邢台·期中）嘉嘉在练习无人机飞行控制，如图所示，在平面直角坐标系中，无人机从x轴上的点A处起飞，沿直线飞到y轴上的点B处，然后沿抛物线降落，设该抛物线的顶点为点C，与x轴的交点为点D． (1)当L的对称轴为时，求b，c的值，并判断点D是否与点A重合． (2)若L的对称轴交线段于点E．是x轴上一动点，过点P作直线轴交线段于点F、交抛物线L于点G． ①是否存在点P，使四边形为平行四边形．若存在，求n的值；若不存在，请说明理由； ②若点M是直线上位于第一象限内的一点，且，当点M在线段上（不与端点重合）时，请直接写出n的取值范围． 题型十一 相似三角形问题（二次函数综合）（共3小题） 35．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 36．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． (1)求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； (2)如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； (3)如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 题型十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用（共3小题） 38．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 39．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 题型十三 相似三角形——动点问题（共3小题） 41．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 43．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 题型十四 相似三角形的判定与性质综合（共5小题） 44．（24-25九年级下·广东中山·期中）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线（）上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 (1)求证：函数的图象必经过点C． (2)如图2，把矩形沿折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为时，求k的值． (3)【深入探究】如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 45．（24-25九年级上·吉林·期中）【发现】如图①，正方形的边长为4，点E为的中点．连接，将绕点A顺时针旋转至，连接交于点G，爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点H……请沿着小明的思路思考下去，则________________； 【应用】如图②，菱形的边长为3，且，连接、交于点O，点E为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，若，求的值． 46．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 47．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到． 探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分． 探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积． 探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 1．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒） (1)当为何值时，平分四边形的面积？ (2)当为何值时，？ (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，是等腰三角形？ 7．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（48题14大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多结论问题 题型6 线段周长问题（二次函数综合） 题型2 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型7 面积问题(实际问题与二次函数) 题型3 已知比例系数求特殊图形的面积 题型8 角度问题（二次函数综合） 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 题型9 特殊三角形问题（二次函数综合） 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 题型10 特殊四边形问题（二次函数综合） 题型11 相似三角形问题（二次函数综合） 题型12 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型13 相似三角形——动点问题 题型14 相似三角形的判定与性质综合 题型一 多结论问题（共5小题） 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵开口向上， ∴， 故①错误； ∵， ∴； ∵与y轴交于负半轴， ∴； 故， 故②正确； ∵抛物线经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故③正确； 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与x轴的交点坐标为， 故交点在得左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为，    且， 故交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 2．（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．由题意求出对称轴，再根据抛物线的开口方向，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， ， 由图像可知，， ，故①正确； 在抛物线上， ， ， ， ， 故，故②错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 故当时，取最小值为， 故对任意实数，当时，函数值 故，③正确； 抛物线开口向上， 故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ，故④错误； 综上，正确的有个， 故选B． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，下列结论中：①；②；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得．正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，掌握抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点； 时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点，是解题关键． 利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用时得到，把代入得到，可对②进行判断；利用二次函数当时有最小值可对③进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，，从而得到，，则可对④进行判断． 【详解】解∶①抛物线的对称轴为直线， 即， ， ∵抛物线与x轴的一个交点在x轴的正半轴， ∴抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，故结论①错误； ②时，， ， 而， ，故结论②正确； ③时，有最小值， 为任意实数）， 即，故结论③正确； ④图象经过点，时，方程的两根为，， 二次函数与直线的一个交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与直线的另一个交点为，， 即，， ，故结论④错误． 综上所述，正确的结论是②③． 故选：B． 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴为，即，判断①；时，，判断②；开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断③；根据函数图象可以判断④，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性． 【详解】解：根据对称轴为，即，，故①正确； 根据图象可得，当时，， 即，故②正确； 开口向下，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故③正确； 由图象可的点， 或中，，故④不正确． 故正确的个数为3个， 故选：C． 5．（24-25九年级下·全国·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；；．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与、、的关系是解决此题的关键． 利用开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与、、的关系判定即可． 【详解】解析：二次函数的图象的开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， ， 正确； 对称轴为直线， ， ， 、异号，即， 错误，正确； 当时，， 错误； 综上可知正确， 故选：C． 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数)（共3小题） 6．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 7．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 8．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分段考虑，正确表示出时关于的函数解析式． 分三种情况可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 题型三 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 9．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于点，交于点，可得，即得，得到，设，则，，可得，，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 12．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，四边形是平行四边形，点A在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，且与边的延长线交于点．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接并延长，交x轴于点E，先求出，再利用平行四边形性质得到，即点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，与反比例函数解析式联立方程组求出点D坐标即可． 本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，连接并延长，交x轴于点E， 由，可得 ∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，由，， ， 解得， 直线的表达式为 反比例函数的图象经过点， ∴， 反比例函数的表达式为， 联立方程解得或 点D的坐标为 故答案为： 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知反比例函数与一次函数图象的一个交点的横坐标是纵坐标的两倍，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题为一次函数与反比例函数综合题，掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．根据交点的横坐标是纵坐标的两倍，可设交点坐标为，代入反比例函数与一次函数求解即可． 【详解】解：由题意可设交点坐标为， ∴， 解得：． 故选：A． 14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用（共3小题） 15．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 16．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 17．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，    ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 题型六 线段周长问题（二次函数综合）（共3小题） 18．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 19．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)①②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； （3）①当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象及性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （）令，得，即可求点的坐标； （）有抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴，可得，再根据，可得的值，从而求出函数的解析式； （）由、、，得，，，由，可判断，即点在边上，再得出抛物线与线段相交时的的范围，结合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵、、， ∴，，，，， ∴，为斜边， ∵， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 由点在上，则令， ∴， 整理得， ∴， 解得：或， 由， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 题型七 面积问题(实际问题与二次函数)（共5小题） 21．（24-25九年级下·福建漳州·期中）已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）抛物线（a为常数）经过点，代入即可求解； （2）设直线为，联立方程组得，消y整理得： 根据根与系数的关系可得，代入中可求解； （3）设直线的解析式为，联立方程组得，消去y整理得，求解方程，根据四边形的面积为，得，求出，代入即可. 【详解】（1）解：∵抛物线（a为常数）经过点， ∴ ∴ ∴ （2）设直线为 联立方程组得 消y整理得： ∴ ∴． （3）设直线的解析式为 联立方程组得 消去y整理得 解这个方程得， ∴， ， 由 得 整理得 解得：或（舍去） ∴ ∴的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，一次函数定义，联立方程，解一元二次方程，根与系数的关系等相关内容，解题关键在于熟练掌握各个知识点是解题关键. 22．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，作出辅助线，证明，根据全等三角形的性质，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， 则 ， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P的运动可知： ， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， 又， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）解：存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，． ∵是等腰直角三角形，，， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， ∴M点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 23．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8或64 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点A及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意可得点P、点Q都在对称轴的右侧时，然后问题可求解； （3）由题意可分当轴时，则有点P的坐标为，当轴时，则有点Q的坐标为，然后根据三角形面积公式可进行求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式； （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为； （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴． 24．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线过点 ， ，且它的对称轴为直线，是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积为15时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)点 的坐标为； (3)点 的坐标为， 的最大值为． 【分析】本题考查二次函数与几何综合，一次函数，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称轴可得交点坐标，用待定系数法，代入点的坐标，即可得抛物线的解析式； （2）用点的坐标表示线段长度，结合三角形的面积，即可得点的坐标； （3）由三角形三边的关系可得点在直线上，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，由点的坐标求线段长度，即可得的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点 ， ，且它的对称轴为直线 ， ∴抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ． 设抛物线的解析式为，把 代入，得 ，解得 ， ∴， 答：抛物线的解析式为． （2）设点的坐标为 ，直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 如图，设直线与抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为 ， ∴，， ，， 解得，， ∴， 答：点的坐标为． （3）解：设直线 的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线 的解析式为， 如图，当的值最大时，点，，在同一条直线上， ∵是抛物线上的动点， ∴ ， 解得， 或（舍去）， ∴， 此时，， 答：点的坐标为，的最大值为． 25．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 题型八 角度问题（二次函数综合）（共3小题） 26．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)存在，点Q的横坐标为或． 【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案； （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为； （3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：对于，令． ∴． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合， 当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． （3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知． ，则． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线y′的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：y． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键． 28．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)为定点 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、根和系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解； （2）先求得点的坐标，进而求得当为直角时，点的坐标，结合图形，即可求解； （3）设点的坐标分别为：，求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出，，根据即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∵在的左侧， ∴，， （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 抛物线，与轴交于点． 当时，， ∴， 又， ∴，， 当时， ∴ 解得：或 ∴当为锐角时，或； （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为： (点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 解得： 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 题型九 特殊三角形问题（二次函数综合）（共3小题） 29．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，P点坐标为或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）分三种情况：利用勾股定理建立方程即可完成； （3）在上取，使，连接，构造相似三角形把的最小值转化为即可求出答案． 【详解】（1）解：∵线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 解得， 抛物线的解析式是； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， ①当时，， ∴，解得， ∴； ②当时，， ∴，解得， ∴； ③当时，， ∴，整理得， ∵， ∴方程无解， 综上，存在点P使为直角三角形，点P的坐标为或； （3）解：在上取，使，连接， ∵， ∴， ∵以点B为圆心，以1为半径画圆， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴的最小值是最小， ∴当C、Q、M共线时，的最小值为的长度， 此时，而， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数，圆，直角三角形，线段和最小值等综合问题，难度较大，解题关键是构造相似三角形把的最小值转化为． 30．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， (1)若，当时，求抛物线解析式； (2)若是等边三角形，求的值； (3)若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的特征，和二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想解题． （1）把代入得，结合，则可求出、，从而得到抛物线解析式； （2）根据等边三角形的性质，可得，根据是方程的两根，进而求得的值 （3）设抛物线顶点P为,根据抛物线对称轴以及的中点坐标可得，设直线为：，根据P、D两点的坐标求出直线的解析式，从而得到点E的坐标，运用三角形面积公式代入数据结合二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解方程组， 解得， ∵抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∵点是图象的顶点， ∴ ∵抛物线与x轴交于不重合的两点，， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ∴ 即 解得：（舍去）或 （3）设抛物线顶点P为， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 且的中点坐标为， ∴， ∴， 设直线为：， 经过点P，点， ，解得：， ∴直线为：， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，最小值为：， 当时，最大，最大值为：5， ∴． ∴ 题型十 特殊四边形问题（二次函数综合）（共3小题） 32．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 33．（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (3)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当以点Q、M和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时， (3)的取值范围为或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，设，由中心对称的性质求出，求出抛物线的顶点坐标为，再结合当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在轴右侧，即，从而可得，求解即可； （3）由（2）可得，令，求得，，令，即，求得或，则抛物线经过点，再分五种情况，分别画出图象，结合图象分析即可得解； （4）由（2）可得：，，抛物线的顶点坐标为，从而可得，求出，，抛物线的顶点到的距离为，表示出矩形的面积以及以点Q、M和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积，再结合题意可得 ，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m， ∴，当时，，即， 设， ∵点A为对称中心构造矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在轴右侧，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，； （3）解：由（2）可得， 令， 解得：，， 令，即， 解得：或，则抛物线经过点， 当，如图①，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图②，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图③，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图④，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图⑤，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大先增大后减小， 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（2）可得：，，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，，抛物线的顶点到的距离为， ∴矩形的面积为，以点Q、M和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积为， ∵以点Q、M和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的， ∴， 整理可得：， ∴或， 当时，即， 解得：或； 当时，即， 解得：或； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，中心对称的性质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 34．（24-25九年级下·河北邢台·期中）嘉嘉在练习无人机飞行控制，如图所示，在平面直角坐标系中，无人机从x轴上的点A处起飞，沿直线飞到y轴上的点B处，然后沿抛物线降落，设该抛物线的顶点为点C，与x轴的交点为点D． (1)当L的对称轴为时，求b，c的值，并判断点D是否与点A重合． (2)若L的对称轴交线段于点E．是x轴上一动点，过点P作直线轴交线段于点F、交抛物线L于点G． ①是否存在点P，使四边形为平行四边形．若存在，求n的值；若不存在，请说明理由； ②若点M是直线上位于第一象限内的一点，且，当点M在线段上（不与端点重合）时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，，点D不与点A重合 (2)①  ② 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）求出点，的坐标，设抛物线的解析式为，然后求出值即可得到解析式，然后计算当时的函数值判断解题即可； （2）①先求出抛物线的解析式，得到顶点C的坐标，然后根据平行四边形的性质求直线的解析式，然后联立解方程组即可解题； ②根据点的坐标得到点的坐标为，点G的坐标为，然后根据M的位置得到不等式组求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标为，B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，， 当时，， ∴点D不与点A重合； （2）解：①∵是平行四边形， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴， ∴顶点C坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴； ②∵点P的坐标为， ∴点的坐标为，点G的坐标为， ∵点M在线段上， ∴， 解得． 题型十一 相似三角形问题（二次函数综合）（共3小题） 35．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)，的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，得到，再证明是等腰直角三角形，根据题意得到是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，再求出抛物线的对称轴为，得到，求出，，，设，求出，根据，则分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作轴于点M，求出直线的解析式为，设，再求出直线的解析式为，求出点，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：存在， 由（1）知抛物线的表达式为：， 将代入，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， ∴点P在点G上方， 设直线的解析式为， 则，解得： 设直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴点G的横坐标为， ∴， ∴，， ∴，，， 设， ∴， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或； （3）解：过点作轴于点M， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵，的面积为的面积为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时，， ∴，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 36．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． (1)求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； (2)如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； (3)如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； (2)最大值为； (3)存在．或或或． 【分析】（1）根据已知的圆心坐标和半圆直径可确定二次函数的顶点坐标，再利用图像过的点，设出顶点式来求解二次函数表达式． （2）先求出直线的表达式，设出点的坐标，进而得到点的坐标，通过两点纵坐标之差表示出，再根据二次函数性质求最大值； （3）根据相似三角形的性质分情况讨论，结合 “甜筒圆” 的图形特征求出点的坐标． 【详解】（1）解：已知半圆直径，圆心， ， 则点坐标为即， 点坐标为即， 二次函数的最小值为， 二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，把代入可得， ， 解得，， 二次函数的表达式为， 即“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； （2）解：先求点坐标，令， 则， ， 已知，设直线的表达式为， 把，代入， 可得 解得 直线的表达式为， 设点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 把代入， 可得 解得，即， 则， ， 当时，有最大值为； （3）解：存在，由点、、的坐标得，，当和相似时，则或， 当点在“甜筒圆”上时，连接，如图所示： 当时，设，则，， 当时，设，则，， 在中，则， 即或， 解得，或 (舍去)， ， 则点， 根据图形的对称性，另外一个点关于对称， 则点， 当点在抛物线上时，如图所示， 则或， 设点，则， 则或， 解得，(舍去)或或， 即点或， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆的性质勾股定理等知识，分类求解是解题的关键． 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的横坐标为或； (3)直线过定点． 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上， 当，则，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； （2）解：令， 可解得或， 即，， 由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得（正值舍去）， 则． 综上，点的横坐标为或． （3）解：直线过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线的表达式为， 过点作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中， 即， 令，即，此时， 故直线过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 题型十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用（共3小题） 38．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 39．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求出b的值，得出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式，即可求出n的值； （2）记一次函数交轴于点，利用一次函数解析式求出点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据，的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点， ， 解得， 即一次函数解析式为， ； （2）解：记一次函数交轴于点， 当时，，解得， ，即， 点，点， 的面积； （3）解：点，点， 则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数与轴交点问题，解题的关键是利用数形结合思想求解． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)①8；② 或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用， （1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案； （2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可； ②根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数中，得 ， ， ， 将代入反比例函数得： ， ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：① 在中，当时， ， ， ∴， ； ②∵， ∴， 由图象可得：或． 题型十三 相似三角形——动点问题（共3小题） 41．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 42．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 43．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，随着x的增大而减小 (3)或 【分析】（1）过点作交于，根据勾股定理求出的长，运用等积法求出的长，运用相似三角形的判定与性质求出的长，即可求解； （2）据（1）所得函数解析式画出函数图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象写出x的取值范围即可； 【详解】（1）解：过点作交于，如图， 在矩形中，，， ∴, 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴， ∴； ∵, ∴， ∴，即， ∴； （2）解：画的图象： 列表， x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点，连线，如图： 画的图象： 列表， x ⋯ 2 6 ⋯ y ⋯ 3 1 ⋯ 由函数图象可知，随着x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，矩形的性质，解直角三角形，利用三角函数求出函数解析式是解题的关键． 题型十四 相似三角形的判定与性质综合（共5小题） 44．（24-25九年级下·广东中山·期中）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线（）上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 (1)求证：函数的图象必经过点C． (2)如图2，把矩形沿折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为时，求k的值． (3)【深入探究】如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，则，求出点，代入函数解析式中，得出函数的图象必经过点C； （2）证明，根据对应边成比例求出k的值； （3）根据过点A和过点B，求出临界值，从而求出k的取值范围． 【详解】（1）解：设，则， ∵轴， ∴D点的横坐标为， ∴将代入中得：， ∴ ∴， ∴， 将代入中得， ∴， ∴函数的图象必经过点C； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为2，C点的纵坐标为1， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴，， ∵把矩形沿折叠，点A的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵， ∴H，F，E三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）解：∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作， ， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根据A，C关于直线对称可知，必过点C， 如图所示，连接，，过点D作轴交y轴于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 45．（24-25九年级上·吉林·期中）【发现】如图①，正方形的边长为4，点E为的中点．连接，将绕点A顺时针旋转至，连接交于点G，爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点H……请沿着小明的思路思考下去，则________________； 【应用】如图②，菱形的边长为3，且，连接、交于点O，点E为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，若，求的值． 【答案】发现：；应用： 【分析】发现∶结合正方形的性质、旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 应用：过点E作，交于点H，由相似三角形的判定方法得，可得，结合菱形的性质、等边三角形的判定及性质，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：发现： 四边形是正方形， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， （）， 四边形是矩形， ， ， 点E为的中点， ， ； ， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； 应用：在菱形中，，，，， 是等边三角形，，，， ， ， ，， ， 、D、C三点共线， 如图，过点E作，交于点H， ，， 是等边三角形， ， ， 由“发现”同理可证：， ， 解得：， ， 在中， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质等，掌握菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，能添加恰当的辅助线构造相似三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 46．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 47．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到． 探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分． 探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积． 探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 探究一：证明过程见解析； 探究二：矩形的面积为； 探究三：存在的值使点落在轴上，点的坐标为． 【分析】探究一：由矩形的性质，结合已知，用，表示点的坐标，可得，根据翻折的性质即可证得结论； 探究二：证明四边形是正方形，，结合（1）所得结论，可得，设，可得点E的坐标，代入，可得，从而可得矩形的面积； 探究三：用表示点的坐标，可得，过点D作于点F，证明，对应边成比例，可得，由勾股定理可得，从而可得点的横坐标，代入反比例函数的解析式，可得点的纵坐标． 【详解】探究一：证明：∵，， ∴点B的坐标是 ∴点D的坐标是， 将代入，得， 又点E的横坐标是m， 把代入，得， ∴E是的中点，即， 由折叠的性质可知， ∴， ∵，， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 探究二：解：设正方形的边长是a，则，， ∴点D的坐标是，点E的坐标是， ∴， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， 又平分， ∴， ∴， 设，则， ∴点E的坐标是， 将代入，得， ∴， ∴， ∴正方形的面积是． 探究三：解：存在的值使点落在轴上， 由得或， ∵点D在第一象限内， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标为， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 在中， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得 ∴存在的值使点落在轴上，点E的坐标是. 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，角平分线的判定，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，反比例函数的图象和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． 48．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 1．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 3．如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：当时，点P，Q在上；当时，点在上，点在上；当时，点，在上．利用矩形的性质和三角形的面积公式求得的面积随时间变化的函数解析式，再利用函数的图形的性质解答即可． 【详解】解：当时，点P，Q在上， 连接，如图， 四边形为矩形， ，， 是的中点， ∴，，， ， ，两点分别沿着和方向从点，点同时出发，且都以的速度运动， ∴ ， ； 当时，点在上，点在上， 连接，过点作于点，如图， 四边形为矩形， ，， ， ， ∴， ， 由题意得：，，，， ． 当时，点，在上， 过点作于点，如图， 此时，， ． 综上，的面积随时间变化的图象分为三部分， 当时，，图象为平行于轴的线段， 当时，图象为顶点为的抛物线的一部分， 当时，图象为平行于轴的线段， 与的面积随时间变化的图象最接近的是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，分类讨论的思想方法，函数的图象，熟练掌握三角形的面积公式和二次函数的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②面积的最大值是8，此时点的坐标是 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）令抛物线，即解一元二次方程即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：令抛物线，即， 解得， ∴； （2）解：①∵， 当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒） (1)当为何值时，平分四边形的面积？ (2)当为何值时，？ (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）由，及的坐标得出，及的长，利用梯形的面积公式求出梯形的面积，当平分四边形面积时，梯形面积为梯形面积的一半，由，表示出，利用梯形的面积公式列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （2）当时，过作垂直于于点，根据相似三角形的判定和相似三角形的对应边的比相等到关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （3）当时，根据平行四边形的判定定理得出得到为平行四边形，可得出，由表示出，列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （4）分三种情况考虑：当时；当时；当时，分别列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 梯形的面积， 当平分四边形的面积时， 解得， 即当时，平分四边形的面积． （2）解：当时，作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得， 即当时，． （3）解：当时，四边形为平行四边形， ∴， 又∵，， ， 解得， 即当时，． （4）解：分三种情况考虑： 当时，作于， 则， 又∵，， 即， 解得； 当时，， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴； 当时，，，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得，． 综上所述：当或或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程等，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键． 7．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $