专题05 期中真题百练通关（压轴题）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题05 期中真题百练通关（55题7大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 点坐标规律探索 题型5 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型2 判断一次函数的图象 题型6 求直线围成的面积 题型3一次函数的规律探究问题 题型7 一次函数的几何综合 题型4 三角形折叠中的角度问题 题型一 点坐标规律探索（共6小题） 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 题型二 判断一次函数的图象（共3小题） 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 9．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 题型三 一次函数的规律探究问题（共3小题） 10．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 11．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 题型四 三角形折叠中的角度问题 （共5小题） 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 17．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 题型五 坐标系中的动点问题（不含函数）（共16小题） 18．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级下·全国·期末）如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 21．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 22．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)填空：______，______； (2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标； (3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长． 24．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 25．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点．且满足， (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求x，y之间的关系； ②若点的坐标是，连接，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 26．（24-25七年级下·广东阳江·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点． (1)求的面积． (2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围． (3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积． 27．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 28．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 30．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 32．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 33．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 题型六 求直线围成的面积（共12小题） 34．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 35．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． (1)求m的值和的解析式； (2)当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； (3)点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图像经过点，，与y轴交于点C． (1)求m，n的值及点C坐标． (2)连接，，请直接写出的面积． (3)若点P是直线上一点，且的面积为12，请直接写出点P坐标． 37．（24-25八年级下·河南南阳·期中）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“画一次函数的图象”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，画函数与的图象，可知直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一： 在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 如图2，画函数与的图象，利用所学知识可知这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二： 在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立 ①请写出一条直线解析式，使它与直线平行； ②已知直线与直线互相垂直，则_______． (2)感悟应用 如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． (3)拓展延伸 在（2）的条件下，若点Q是x轴上一动点，且三角形的面积是1，请直接写出线段的长． 38．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点A，与y轴交于点E，直线与y轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，点F在直线位于第二象限的图象上，使得，求点F的坐标． (3)如图2，在线段存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求M点坐标． 39．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 41．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．    (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 42．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 43．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 44．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线，分别与x轴，y轴交于点B，A，另一直线与x，y轴交点分别为C，D． (1)求四边形的面积； (2)P为直线上一动点，当时，求点P坐标． 45．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 题型七 一次函数的几何综合（共10小题） 46．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数．点是平面内一点，为任意实数，将点向上平移1个单位长度得到点． (1)当时， ①若一次函数图象过点，则_____． ②若一次函数与线段有公共点，求的取值范围． (2)如果当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点，直接写出满足题意的的取值范围_____． 47．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 48．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在直线上，直线经过点A，且与y轴交于点． (1)求m的值及直线的表达式； (2)过点且垂直于x轴的直线与分别交于两点． ①当时，连接，求的面积； ②若，直接写出n的取值范围． 49．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 50．（24-25八年级下·北京·期中）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为______； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当______时，函数有最大值，最大值为______； ②写出该函数的其它性质(写一条即可)______； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______． 51．（24-25八年级下·吉林长春·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … __________ 2 0 __________ … ①补全表格中横线部分的数据； ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方）．点在轴上，当的面积为8时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围． 52．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 53．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“－制导点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点时，点的“－制导点”的坐标为________； ②若点为点的“－制导点”，则点的坐标为________； (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“－制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“－制导点”，直接写出的取值范围________． 54．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点的“友好点”的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为． (1)点的“友好点”坐标是________，点的“友好点”坐标是________． (2)已知点的“友好点”在一次函数的图象上，求m的值． (3)已知点P在直线上，且点P的“友好点”为点Q． ①当时，设点P的横坐标为n，当时，求点Q纵坐标的最大值与最小值． ②已知点，，，，以这四个点为顶点构造矩形，设所有的点P的“友好点”点Q组成一个新的图形，记作图形G．当图形G与矩形有两个公共点时，直接写出b的取值范围． 55．（24-25八年级下·广西南宁·期中）已知：如图，直线和直线相交于点，直线的图象分别与轴，轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若，求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 3．对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____； (2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间： (3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标； ②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动（不与A点重合），设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②当时，请求出S的取值范围． 5．如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 6．【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（55题7大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 点坐标规律探索 题型5 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型2 判断一次函数的图象 题型6 求直线围成的面积 题型3一次函数的规律探究问题 题型7 一次函数的几何综合 题型4 三角形折叠中的角度问题 题型一 点坐标规律探索（共6小题） 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可得，，，，，，，，…… 其中，，， 结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于， ， 点的坐标为， 故选C． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出第个点的坐标是是解题的关键，根据所给排列方式，发现第个点的坐标是，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个点的坐标为， 第9个点的坐标为， 第25个点的坐标为， …， 所以第个点的坐标为， 因为， 所以第2025个点的坐标为， 所以第2026个点的坐标为 故答案为： 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为． 故选：C． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 题型二 判断一次函数的图象（共3小题） 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是根据程序得到函数解析式． 根据程序得到函数关系式，即可判断图象． 【详解】解：根据程序框图可得， 的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为． 故选A． 题型三 一次函数的规律探究问题（共3小题） 10．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 题型四 三角形折叠中的角度问题 （共5小题） 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质和三角形定理，由折叠得，求出，由可得结论． 【详解】解：由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质，平行线的性质．先由折叠得，，，结合平行线的性质列式，解得，由三角形的内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处， ∴，，， ∵第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处． ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 坐标系中的动点问题（不含函数）（共16小题） 18．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的面积为或 (3)存在，点H的坐标为 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值，平方的非负性求解即可； （2）首先得到，，，然后根据题意分两种情况讨论：当点在点C上方时，当点在点C下方时，然后分别表示出，利用代入求解即可； （3）如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N，证明出，得到，然后求出，利用求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得，，； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况： 当点在点C上方时，如图所示，   ∴， ∴； 当点在点C下方时，如图所示， ∴， ∴，                        综上所述，的面积为或； （3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：        如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N． 由（1）可得，，， ∴，，，， ，，且 ∴ 又∵ 解得 ∴ ∴点H的坐标为． ∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的． 【点睛】此题考查了算术平方根，绝对值的非负性，坐标与图形综合，解题的关键是正确表示三角形的面积． 19．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 20．（24-25七年级下·全国·期末）如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)18 (2)猜想：，见解析 (3)，，， 【分析】本题考查了坐标与图形性质． （1）由图可知：，，即可求的面积； （2）猜想：，根据三角形的面积公式进行验证； （3）根据，分别在x轴，y轴上找到点P． 【详解】（1）解：由图可知，，， ； （2）解：猜想：，证明如下： ∵直线l平行于x轴，点M与点C在直线l上， ∴和的边上的高相等，都为6， 又∵和同底，为， ∴； （3）解：①当点P在x轴上时，设， 当时， ， 解得 (舍去)； 当时，， 解得或， ∴，； ②当点P在y轴上时，设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴，． 综上所述，满足条件的点P坐标为，，，． 21．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确得到坐标是解题的关键． 22．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点 点与点互为“等和点”，理由见解析 (3)点或点 【分析】（1）分别计算出各个点的横纵坐标的和，即可得到与点互为“等和点”的点； （2）根据“等和点”的定义可得，与所给的联立求解，即可得到点的坐标；根据题意可得点在第二象限．连接，作轴，轴，根据的面积的不同表示方法可得的值，即可求得点的坐标，那么可得点与点是否互为“等和点”； （3）根据题意得到点在第一象限或第三象限，点的横、纵坐标相等，画出相应的图形，作轴于点，轴于点，设点的坐标为，根据的面积为可得的值，即可求得点的坐标，进而根据点和点关于点对称，可得点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， 与点互为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点与点互为“等和点”， ， ， ，解得：， 点； 点与点互为“等和点”． ， ． ， ． 在第二象限． 连接，作轴，轴， 则，， ， ． 三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ． ， ． ． ， 点与点互为“等和点”； （3）解：如图，和的面积为，作轴于点，轴于点， 由题意得：点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为， ，， 的中点坐标为：， 由题意得：点和点关于点对称， 点的横坐标为：， 点的纵坐标为：， 综上：点或点。 【点睛】本题综合考查新定义的应用．理解并应用“等和点”的定义是解决本题的关键；难点是根据三角形的面积和面积的不同表示方法解决相关问题． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)填空：______，______； (2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标； (3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长． 【答案】(1)5， (2)， (3)的长为或16 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了坐标系中的平移、算术平方根非负数的性质、三角形的面积． （1）先根据算术平方根的非负性，得到关于m，n的方程，解方程即可求得m，n； （2）先根据（1）求出，，，再根据“平移线段至，使A点的对应点是点C”，得出平移的方向与距离，由此求得，设，利用三角形面积，得出关于a的方程求解即可求得点P的坐标； （3）先求出四边形的面积分，再分“”、“”两种情况，分别求出的长． 【详解】（1）解：∵， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5，； （2）解：在平面直角坐标系中，，，，且，， ∴，，， ∵平移线段至，使A点的对应点是点C，点，， ∴点A向右移动5个单位，向上移动1个单位， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：设， ∵，，， ∴ ， 分以下两种情况： 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 综上所述，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，的长为或16． 24．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 25．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点．且满足， (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求x，y之间的关系； ②若点的坐标是，连接，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)且 【分析】本题考查的坐标与图形综合题， （1）根据平方、绝对值及算术平方根的非负性求出，即可解决； （2）①根据得出结论即可；②连接，由，得出方程组，解出即可得出结论； （3）根据求出，再分两种情况：当时，连接，当时，连接，过点作轴于，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①由，得： ， ； ②连接，由，得： ， 化简得，， 联立方程组， 解得， ； （3）解：且，理由如下： ， ， 解得：，      ， 当时，如图，连接，若， 由，得： ， 解得：， 点在轴上， 当时，如图，连接，过点作轴于，若， 由，得： ， 解得：， ，又当时，点重合，不合题意， 且． 26．（24-25七年级下·广东阳江·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点． (1)求的面积． (2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围． (3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积． 【答案】(1)6 (2) (3)；4 【分析】（1）根据非负数的性质求出，得出点，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）连接，先求出，，根据，根据，得出，求出m的取值范围即可； （3）根据垂线段最短，得出当最短时，，从而得出点的坐标为，根据点的移动速度是点的2倍，得出此时点的坐标为，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 点， ， ． （2）解：如图，连接． ，， ， ∵， ， 解得：． （3）解：， ∴点， ∵垂线段最短， ∴当最短时，， ∵， ∴点的坐标为， ∴， ∴点向左移动了5个单位长度， ∵点的移动速度是点的2倍， ∴点向右移动了10个单位长度， ∴此时点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，求不等式组的解集，三角形面积计算，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形面积公式． 27．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握割补法求解不规则图形面积是本题解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解，，然后根据平移与坐标的变化求解点坐标即可； （2）采用割补法，根据三角形面积公式求解四边形的面积； （3）①根据的面积等于的面积加的面积求解，的关系式即可； ②根据与的位置分类讨论，采用割补法求解的面积，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 轴， ， 当和原点重合时，向下平移两个单位，向左平移个单位， ； 故答案为：，，； （2）解：； （3）解：①在线段上， ，， ， ， ； ②过作轴于，令直线交轴于，如图： 当在点左侧时， ，轴， ， ， ， ， ，， ； 当在点右侧时， ， ， ， ，， ； 综上所述，或． 28．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 【答案】(1)见解答 (2)画图见解答，； (3)，垂线段最短． 【分析】（1）描点并依次将它们连接起来即可； （2）画图并写出的坐标即可； （3）根据垂线段最短，过点作轴，交轴于点，写出点的坐标即可． 本题考查点的坐标、最短路线问题，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）补全图形如图所示，的坐标是． 故答案为：． （3）过点作轴，交轴于点，则点的坐标为，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 30．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 31．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 【答案】（1）3，或；（2）①， 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质，点到坐标轴的距离． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由平移的性质得到，由题意得 ，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可；②过点A作 轴于点 G，由题意，得 ， 求出， 设点，由，求出；再根据，求出；最后利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，轴， ∴； ∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （2）①如图， ∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得 ， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴； ②过点A作 轴于点 G， 由题意，得 ， ∴， 设点， ∵， ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 32．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 33．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可； （2）设经过x秒，，列方程求出x的值即可； （3）分点P在y轴右侧时和点P在y轴左侧时两种情况，根据以A、、、为顶点的四边形的面积是列方程求出x的值，即可求出P点的坐标. 本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结合与方程思想是解题的关键. 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴点E 坐标为； 故答案为：4，6，. （2）解：， ， 设经过x秒，， 依题意，得， 解得 ， ∴经过2秒. （3）解：当点P在y轴右侧时， 依题意，得 , 解得, 则, 此时点P 的坐标为; 当点P在y轴左侧时， 依题意，得 , 解得 , 则, 此时点P 的坐标为 ． 综合以上可得点P的坐标为或 ． 题型六 求直线围成的面积（共12小题） 34．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 35．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． (1)求m的值和的解析式； (2)当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； (3)点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1； (2)点或 (3)存在；0或或或 【分析】（1）根据过点，确定坐标，后代入的解析式，解答即可； （2）设点，当点C在x轴的上方时，此时，；点C在x轴的下方时，此时，，分类解答即可． （3）根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，分类解答即可． 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点， 故， ∴， ∴， ∴， ∴的解析式为； （2）解：根据直线的解析式为，得，由直线，得，故, 又， 设点，当点C在x轴的上方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 当点C在x轴的下方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 综上所述，点或． （3）解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设，， 当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 解得或， 此时点P的横坐标为0或； 当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图： 同理可得， ，， ， 解得或此时P，F重合，舍去或， 综上所述，P的横坐标为0或或或 36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图像经过点，，与y轴交于点C． (1)求m，n的值及点C坐标． (2)连接，，请直接写出的面积． (3)若点P是直线上一点，且的面积为12，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)，，点C的坐标为 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数上点的坐标，三角形的面积； （1）先求出一次函数的解析式，再把代入求出m值，然后令求出y的值得到与y轴交点坐标即可； （2）根据计算面积即可； （3）设点P的横坐标为n，分为点P在点C的上方或下方两种情况，利用三角形的面积和（或差）列方程解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：； （3）解：设点P的横坐标为n， 当点P在点C的上方时，， 解得， 代入得， ∴点P的坐标为； 当点P在点C的下方时，， 解得， 代入得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 37．（24-25八年级下·河南南阳·期中）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“画一次函数的图象”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，画函数与的图象，可知直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一： 在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 如图2，画函数与的图象，利用所学知识可知这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二： 在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立 ①请写出一条直线解析式，使它与直线平行； ②已知直线与直线互相垂直，则_______． (2)感悟应用 如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． (3)拓展延伸 在（2）的条件下，若点Q是x轴上一动点，且三角形的面积是1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，图见解析 (3)3或5 【分析】（1）①如果且，那么，由此可解；②如果，那么，由此可解； （2）过点A作直线于点P，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为，由点A的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点P的坐标． （3）设点Q的坐标为，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意知，与直线平行的直线的解析式可以为：； ②若直线与直线互相垂直，则， 解得， 故答案为：； （2）解：过点A作直线于点P，此时线段的长度最小，如图： ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得， ∴当线段的长度最小时，点P的坐标为． （3）解：设点Q的坐标为， ， ∴， 解得或， ∴的长为3或5． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，两条直线的交点问题，垂线段的性质，三角形面积公式等，理解题干中两直线平行或垂直的条件是解题的关键． 38．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点A，与y轴交于点E，直线与y轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，点F在直线位于第二象限的图象上，使得，求点F的坐标． (3)如图2，在线段存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求M点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积的表示等知识． （1）将代入得，，用待定系数法求直线的函数解析式； （2）设，表示出和，根据条件列方程即可； （3）由是以为腰的等腰三角形，分或，设，表示出，，，分别列方程求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 设直线的函数解析式为：，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为：； （2）解：∵点F在直线位于第二象限的图象上， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 设，则， ，， 当时，， ∴， 解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴． 综上：或． 39．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 41．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．    (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标 (3) 【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）令，求出点的坐标，设，根据，即可求出答案； （3）由于直角不确定，需分类讨论，得到与的横坐标的关系．列得方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴，即， ∵直线：过点，点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵直线的函数表达式为：； ∴当时，， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则， ∴， ①如图，若，，过点作于，    ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， ②如图，若或，    ∵或， 则， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次方程的解法，三角形面积，等腰直角三角形，利用数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 42．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【分析】（1）①根据可得点坐标，即可得出坐标，待定系数法即可求直线的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点，将分别代入两条直线解析式即可求出点，点，再根据，即可求解． （2）①设点，根据轴，可得点，分别讨论当点在点上方，当点在点上方两种情况即可得出点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，的不等式解集，再将可取的整数分别代入点中，即可得符合要求点个数． 【详解】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 43．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 44．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线，分别与x轴，y轴交于点B，A，另一直线与x，y轴交点分别为C，D． (1)求四边形的面积； (2)P为直线上一动点，当时，求点P坐标． 【答案】(1)14； (2)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，涉及两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线； （1）分别求出A，B，C，D坐标，再根据面积差求解即可； （2）分两种情况讨论，P点在AB的上方时，由可知，D为所求，P点在AB的下方时，取点D关于点A的对称点，过点作的平行线l，交直线于点，则，，即为所求，再求交点坐标即可． 【详解】（1）解：当的时，， ， 当的时，， 解得：， ， 同理可求， ， ； （2）解：当P点在AB的上方时，如图，连接， ， ， ， ， P为直线上一动点， P与D重合， ， 当P点在AB的下方时，取点D关于点A的对称点，过点作的平行线l，交直线于点，则， ， 即为所求， ， ， ， 直线的解析式为：， 联立，解得：， ， 综上，点P的坐标为或． 45．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)一次函数：；正比例函数：或 (2) (3)或或或 【分析】（1）把代入，求出b的值，即可求得一次函数解析；分两种情况：当时，当时，分别求出正比例函数解析式即可； （2）由求解即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， ∴一次函数的解析式为； 令，则， ∴， ∴ 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ 当时，如图，    则，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 当时，如图，    ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 综上，正比例函数的解析式为或． （2）解：由（1）知：，， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ①当时，    ∴， I）当点P在点B右边时， ∴， ∴； II）当点P在点B左边时， ∴， ∴； ②当时，过点A作轴于E，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点P作于F，过点F作轴于G，如图，    ∵，， ∴发，邓点F为线段的中点， ∵，， ∴，即， ∵ ∴，， ∴， 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴ 解得：， ∴ ∵点P在x轴的负上， ∴． 综上，以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形时，P点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积．注意分类讨论． 题型七 一次函数的几何综合（共10小题） 46．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数．点是平面内一点，为任意实数，将点向上平移1个单位长度得到点． (1)当时， ①若一次函数图象过点，则_____． ②若一次函数与线段有公共点，求的取值范围． (2)如果当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点，直接写出满足题意的的取值范围_____． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、函数图象上点的坐标特征以及两直线的交点问题，熟练掌握一次函数的表达式与点坐标的关系、联立方程求交点是解题的关键． （1）已知的值可确定点坐标，将其代入一次函数表达式，通过解方程求．②：先根据的值确定、坐标，再结合一次函数过定点，求出函数过、时的值，进而确定的取值范围． （2）先确定、所在直线，再分别联立一次函数（取边界值）与、所在直线的方程，求出交点对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，点坐标为 把代入，得 ②当时，，由向上平移个单位得 一次函数过定点 当函数过时，， 当函数过时，， 因为一次函数与线段有公共点， 所以 （2）解： ，点由上移个单位， ． 当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点， 当时，，则，可得； 当时，，则，可得． ． 故答案为：． 47．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先计算，结合，求直线的解析式即可； （2）利用交点的横坐标，数形结合扇形直接写出答案即可； （3）设点，根据，得到，建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，数形结合求不等式的解集，根据面积求点的坐标，熟练掌握待定系数法，一次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与直线 ： 交于点A，点A的横坐标为3． 故 故点， 又点， 故 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据直线的交点点， 故关于的不等式的解集为． （3）解：根据直线的解析式为， 得，解得， 故， 故； 由， 故， 故， 设点， 则， 解得或， 故或． 48．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在直线上，直线经过点A，且与y轴交于点． (1)求m的值及直线的表达式； (2)过点且垂直于x轴的直线与分别交于两点． ①当时，连接，求的面积； ②若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解一元一次不等式组，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A和点B坐标代入直线的解析式中计算求解即可； （2）①先求出C、D坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； ②先求出C，D的坐标，根据列出关于n的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线经过点A，且与y轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：①在中，当时，，则； 在中，当时，，则； ∴， ∴； ②在中，当时，，则； 在中，当时，，则； ∴， ∵， ∴， 解得． 49．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴，，，， ∴与原点O的“直角距离”等于1的点是，； 故答案为：，； （2）解：设， ∵点P与原点O的“直角距离”， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 如图1所示， （3）解：由（2）可得：，则点D在正方形边上，如图2， ∴， ∵点D在直线， ∴当时， 即直线过点， 由图2可知：当直线过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线， 把点E的坐标代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 50．（24-25八年级下·北京·期中）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为______； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当______时，函数有最大值，最大值为______； ②写出该函数的其它性质(写一条即可)______； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______． 【答案】(1)①②作图见解析③作图见解析 (2)①；2②函数图象关于直线对称(答案合理即可) (3)或 【分析】本题考查了描点法作图、函数的性质、利用函数的增减性求参数的取值范围等，数形结合是解题的关键． （1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点； （2）①找到图中最高点，可得结果；②可从函数对称性，增减性方面描述； （3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论， 由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围． 【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式， 可得， 描点，连线如下图所示： （2）①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称； （3）由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 又函数图象关于直线对称， 点关于直线的对称点也在函数图象上， 当点在直线左侧时，点在直线右侧， ，， 由得，或 ，解得或， 或； 当点在直线右侧时，点在直线左侧， ，， 由得，或，解得或， ； 当点在直线上时，，，， ，，有，符合题意； 综上可知，当或时，总有. 51．（24-25八年级下·吉林长春·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … __________ 2 0 __________ … ①补全表格中横线部分的数据； ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方）．点在轴上，当的面积为8时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①0，；②或； （3）或者． 【分析】本题考查了一函数的图像和性质. （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，， 当时，， 故答案为：0，； ②联立和得 ，解得， ∴， 联立和得， 解得， ∴， 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得或； （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线：与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 52．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 53．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“－制导点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点时，点的“－制导点”的坐标为________； ②若点为点的“－制导点”，则点的坐标为________； (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“－制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“－制导点”，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)①；②． (2) (3)或或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、一次函数的应用、新定义、一元一次不等式的应用等知识点，理解新定义并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）①②直接根据“－制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“－制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边、、上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“－制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在、、、上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【详解】（1）解：①点的“－制导点”的坐标为， ∵点，点坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②点的坐标为， ∵坐标为，点为点的“－制导点”， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，，，， ∴当S在上时，，， ∴， ∴； 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为，，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，的坐标为，，则， ∴，即， ∴， 把代入可得：， ∴ ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，，， ∴， 关于n的方程无解； 综上，的取值范围为或或． 54．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点的“友好点”的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为． (1)点的“友好点”坐标是________，点的“友好点”坐标是________． (2)已知点的“友好点”在一次函数的图象上，求m的值． (3)已知点P在直线上，且点P的“友好点”为点Q． ①当时，设点P的横坐标为n，当时，求点Q纵坐标的最大值与最小值． ②已知点，，，，以这四个点为顶点构造矩形，设所有的点P的“友好点”点Q组成一个新的图形，记作图形G．当图形G与矩形有两个公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)①点纵坐标的最小值是，最大值是1；②或 【分析】（1）根据友好点的坐标定义进行求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，结合定义进行求解即可； （3）①根据点P的横坐标为n，求出点P的坐标为：，分两种情况：当时，当时，分别求出点Q纵坐标的取值范围，然后找出最大值和最小值即可； ②先求出点Q在点Q在直线上或点Q在直线上，然后画出图形，根据图象写出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：点的“友好点”坐标是，点的“友好点”坐标是； （2）解：当时，点的“友好点”为， ∵点的“友好点”在一次函数的图象上， ∴， 解得：； 当时，点的“友好点”为， ∵点的“友好点”在一次函数的图象上， ∴， 解得：； 综上分析可知：或； （3）解：①当时，一次函数解析式为， ∵点P的横坐标为：n， ∴点P的坐标为：， ∵点P的“友好点”为点Q， ∴当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 综上分析可知：点Q纵坐标的最小值为，最大值为1； ②设点P的坐标为， 当时，， ∴此时点Q在直线上； 当时，， ∴此时点Q在直线上； 把代入得：，解得：， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，直线与矩形有一个交点，当时，直线与矩形有两个交点； 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 把代入得：， ∴当或时，直线与矩形有一个交点，当时，直线与矩形有两个交点； 综上分析可知：当或时，图形G与矩形有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，一次函数的图形和性质，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 55．（24-25八年级下·广西南宁·期中）已知：如图，直线和直线相交于点，直线的图象分别与轴，轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若，求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据两直线的交点的计算方法，联立方程组求解即可； （2）①根据题意得到，由直线与坐标的交点得到，，则，如图，过点作轴于点，则，且，则有，设，过点作轴于点，则，由面积的计算得到，即可求解； ②第一种情况，过点作轴于点，当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图，可证，得轴，点Q的纵坐标为5，代入计算即可；第二种情况，当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图，由面积的计算得到，在中，由勾股定理，得，由此列式解得，即可求解． 【详解】（1）解：依题可得：， 解得：， ． （2）解：①， ， 在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ， 如图，过点作轴于点，则，且， ， ∴， 设，过点作轴于点，则， ， 解得， ∴， ∴Q的坐标为； ②或． 第一种情况，过点作轴于点，当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图， ， ， 由翻折得， 在和中，， ， ， 由翻折得， ， 轴， ∴点Q的纵坐标为5， 在中，当时，， ； 第二种情况，当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图， 过点作，垂足分别为点， 由翻折得， ， 由（2）①知，即， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得， ∴， ． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是关键． 1．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 2．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 3．对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____； (2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间： (3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标； ②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)①或；②的值不会变化，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和角的和差运算、非负数的性质以及解二元一次方程组，灵活添加辅助线是解答的关键． （1）根据算术平方根非负性，列出方程组进行计算，即可得出点的坐标； （2）根据点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，确定长度和运动时间； （3）①分类讨论：当点在上时，设，根据题意得，则；当点在上时，设，根据题意得，则，然后分别解方程即可得到点坐标；②延长至点，如图2，由得，，利用得到，过点作交于点，根据平行线得性质得，，加上，于是可得，，所以，即有． 【详解】（1）解：∵满足， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：点到轴距离为4个单位长度， 点在或上， 当在上时，，此时（秒）， 当在上时，此时运动了个单位，（秒）， 综上，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，点移动的时间为秒或秒； （3）解：①当点在上时，设， ， ， 即， 解得， ； 当点在上时，设， ， ， 即， 解得， ， 综上所述，点坐标为或； ②解：的值不会变化，理由如下： 延长至点，如图， 四边形为长方形， ， ，， ， ， 过点作交于点， ，， 又平分， ， ， ， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动（不与A点重合），设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②当时，请求出S的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②S的取值范围为 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，求解一次函数的解析式，列函数关系式，坐标与图形面积． （1）求解点，再代入即可得到答案． （2）①求解，可得点，可得，进一步确定自变量的范围即可；②结合函数性质可得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 则点A、B的坐标分别为：、， 点为直线上一点， 则，故点， 将点C的坐标代入得： ， 解得：； 故，． （2）解：①直线的表达式为：， 令，则，故点， 则点， ∴， 即； ②当时，S的取值范围为， 当时，S的取值范围为， 综上所述，S的取值范围为． 5．如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)，；求解过程见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． （3）解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 6．【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 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