专题02 一次函数及其应用（含参数运算、实际应用）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 一次函数及其应用（含参数运算、实际应用） 题型1 根据一次函数的定义求参数（常考点） 题型10比较一次函数值的大小（常考点） 题型2 求一次函数自变量或函数值 题型11一次函数的规律探究问题（难点） 题型3 判断一次函数的图象（难点） 题型12 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限（重点） 题型13最大利润问题(一次函数的实际应用)（重点） 题型5 已知函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型14 行程问题(一次函数的实际应用) 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型15 梯度计价问题 题型7一次函数图象平移问题（难点） 题型16已知直线与坐标轴交点求方程的解（重点） 题型8根据一次函数增减性求参数（重点） 题型17 利用图象法解一元一次方程 题型9根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型18 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）一次函数的图象经过点，则 ． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 题型二 求一次函数自变量或函数值（共3小题） 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）当 时，点在函数的图象上． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直线经过点，则代数式的值是 ． 题型三 判断一次函数的图象（共3小题） 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A．B．C． D． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限（共3小题） 10．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，随着的增大而减小，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（    ） A． B． C． D． ∵∴∵∴ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围（共3小题） A．2 B．1 C． D．0 14．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 16．（24-25八年级下·福建厦门·期中）直线与y轴的交点坐标_____． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线与x轴的交点分别为点A、B，这两条直线交于点C，若点C的横坐标为，则的面积为 ． 18．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 ． 题型七 一次函数图象平移问题（共3小题） 19．（24-25八年级下·福建福州·期中）将直线向下平移个单位后，所得的直线的解析式为 ． 20．（24-25八年级下·四川眉山·期中）直线向下平移4个单位可得直线 ，再向左平移2个单位可得直线 21．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，若将直线向右平移1个单位后得到直线与y轴的交点坐标为 ． 题型八 根据一次函数增减性求参数（共3小题） 22．（24-25八年级下·福建·期中）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·福建宁德·期中）已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是 ． 24．（24-25八年级下·上海·期中）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是 ． 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况（共3小题） 25．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）已知一次函数图象上有两点，，若，则 （    ） A． B． C． D．不确定 27．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十 比较一次函数值的大小（共3小题） 28．（24-25八年级下·吉林·期末）已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 29．（24-25八年级下·河南郑州·期末）若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知点，在直线上，则m，n的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法判断 题型十一 一次函数的规律探究问题（共3小题） 31．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为 ． 题型十二 方案问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 34．（24-25八年级下·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 35．（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)请求出A，B两种书架的单价； (2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案． 36．（2020·陕西西安·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 题型十三 最大利润问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 37．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 38．（2025·河南南阳·二模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． (1)第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 39．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 题型十四 行程问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 40．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 41．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 42．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 题型十五 梯度计价问题（共3小题） 43．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 44．（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 45．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 题型十六 已知直线与坐标轴交点求方程的解（共3小题） 46．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 题型十七 利用图象法解一元一次方程（共3小题） 49．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    51．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 题型十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（共3小题） 52．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列图象，可以得出关于x的不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·江苏南通·期末）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 54．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数及其应用（含参数运算、实际应用） 题型1 根据一次函数的定义求参数（常考点） 题型10比较一次函数值的大小（常考点） 题型2 求一次函数自变量或函数值 题型11一次函数的规律探究问题（难点） 题型3 判断一次函数的图象（难点） 题型12 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限（重点） 题型13最大利润问题(一次函数的实际应用)（重点） 题型5 已知函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型14 行程问题(一次函数的实际应用) 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型15 梯度计价问题 题型7一次函数图象平移问题（难点） 题型16已知直线与坐标轴交点求方程的解（重点） 题型8根据一次函数增减性求参数（重点） 题型17 利用图象法解一元一次方程 题型9根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型18 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象经过的点的坐标满足函数解析式是关键．把点的坐标代入函数解析式进行解答即可． 【详解】解：把点代入得到， 解得， 故答案为：4 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数的定义求出参数的值，根据一次函数的定义，得到，，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件． 根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 题型二 求一次函数自变量或函数值（共3小题） 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值， 将点的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）当 时，点在函数的图象上． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数自变量的值， 将点的坐标代入关系式，求出解即可． 【详解】解：因为点在函数的图像上， 所以， 解得． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直线经过点，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，变形后，即可得出结论． 【详解】解：直线经过点， ， ． 故答案为：． 题型三 判断一次函数的图象（共3小题） 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 8．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答． 【详解】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线， 则只有选项C符合题意． 故选：C． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， A、图象不经过点，故不是一次函数的图象，不符合题意； B、图象可能经过点，故可能是一次函数的图象，符合题意； C、图象不经过点，故不是一次函数的图象，不符合题意； D、图象不经过点，故不是一次函数的图象，不符合题意； 故选：B． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限（共3小题） 10．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】解：由已知得，， ∴函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握根据一次函数解析式判断其经过的象限． 由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，随着的增大而减小，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，，当，时，函数图象经过第一，二，三象限；当，时，函数图象经过第一，三，四象限；此时函数图象，随着的增大而增大；当，时，函数图象经过第一，二，四象限；当，时，函数图象经过第二，三，四象限；此时函数图象，随着的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵，随着的增大而减小， ∴， ∵， ∴，，函数图象经过第一，二，四象限； 故选：D． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围（共3小题） 13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）正比例函数的图象经过一，三象限，则m可能是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，求不等式的解集，掌握正比例函数的图象所在象限判定比例系数的符号，求不等式的解集的方法是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过一，三象限， ∴， 解得，， ∴只有A选项符合题意， 故选：A． 14．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据一次函数的图象经过第二、三、四象限可得，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 15．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 16．（24-25八年级下·福建厦门·期中）直线与y轴的交点坐标_____． 【答案】． 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标，掌握坐标轴上点坐标特征是解题的关键． 令，求得y的值即可． 【详解】解：当时，，所以直线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线与x轴的交点分别为点A、B，这两条直线交于点C，若点C的横坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 先求出，，将代入求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， ∴， 当时，， 即， 将代入得：， 解得， 即， 当时，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题. 求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 题型七 一次函数图象平移问题（共3小题） 19．（24-25八年级下·福建福州·期中）将直线向下平移个单位后，所得的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：左加右减、上加下减．据此解答即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得，即， ∴所得的直线的解析式为． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·四川眉山·期中）直线向下平移4个单位可得直线 ，再向左平移2个单位可得直线 【答案】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：直线向下平移4个单位可得直线，再向左平移2个单位可得直线，即， 故答案为：， 21．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，若将直线向右平移1个单位后得到直线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移． 先求出平移后的函数解析式，再求其与y轴的交点坐标即可． 【详解】解：将直线向右平移1个单位后得到直线， 当时，， 即将直线向右平移1个单位后得到直线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 题型八 根据一次函数增减性求参数（共3小题） 22．（24-25八年级下·福建·期中）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据随的增大而减小求出m的取值范围即可求解． 【分析】解：∵随的增大而减小， ∴， ∴， 故选C． 23．（24-25八年级下·福建宁德·期中）已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． 由题意可知，且在的上方，则，即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵无论x取何值，始终有， ∴两条直线平行且在的上方， ∵，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 24．（24-25八年级下·上海·期中）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． ． 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况（共3小题） 25．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，由解析式可得函数值随的增大而增大．根据各点的纵坐标大小关系即可推断对应的横坐标大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而增大， ∵点 ，，都在一次函数 的图像上，且． ∴， 故选；A． 26．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）已知一次函数图象上有两点，，若，则 （    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数的增减性，根据一次函数的增减性判断即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数为， ∴当增大时，随之减小； ∵， ∴， 故选：A． 27．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 题型十 比较一次函数值的大小（共3小题） 28．（24-25八年级下·吉林·期末）已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，解题关键理解比较一次函数值的大小的方法． 根据已知函数的解析式得出y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，， ∴， 故选：B． 29．（24-25八年级下·河南郑州·期末）若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确掌握相关知识是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ． 故选：B． 30．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知点，在直线上，则m，n的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随着x的增大而减小． 点，都在直线上，， ； 故选：A 题型十一 一次函数的规律探究问题（共3小题） 31．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：C． 32．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，一次函数的性质，根据一次函数的性质和图象的规律分别求出，，，依次求解即可求出. 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即． 故答案为：． 31．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：C． 题型十二 方案问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 34．（24-25八年级下·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元 (2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用． （1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元； （2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴， 解得， 设总费用为w万元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，此时，， 答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元． 35．（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)请求出A，B两种书架的单价； (2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案． 【答案】(1)种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元 (2)费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，根据用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种书架a个，则购进B种书架个，根据A种书架数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设种书架的单价是元，则种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元； （2）解：现需购进15个书架用于摆放书籍，且购买个种书架， 购买个种书架． 购买种书架数量不少于种书架数量的， ，解得：． 设购买总费用为元， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架． 36．（2020·陕西西安·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 【答案】(1) (2)该公司至少需要投入资金36万元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据可以写出y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，进而求得该公司至少需要投入资金多少万元． 【详解】（1）解：由题意得，， 即y关于x的函数关系式为； （2）解：∵要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件， ， 解得，， ∵x为整数， ∴x的最小值为2， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该公司至少需要投入资金36万元． 题型十三 最大利润问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 37．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 38．（2025·河南南阳·二模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． (1)第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个 (2)按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，设A款哪吒玩偶购进x个，则B款玩偶购进个，得到，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利y元，则，又A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半，则，得，又，再结合一次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）由题意，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个， ∴， 解得． ∴（个）． 答：A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个． （2）解：由题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利 y元， ∴． ∵A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半， ∴ 解得 ∵ ∴， ∴y随a的增大而增大． ∴时，y最大． ∴B款哪吒玩偶购进（个）． 答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元． 39．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元 (2)购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 【分析】本题考查分式方程，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）设《围城》的单价为x元，根据《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本，列出分式方程，求解即可； （2）设《围城》的数量为m本，费用为y元，列出一次函数，由，得到y随x的增大而减小，由，得，且m为正整数，则当时，y取得最小值，即可解答． 【详解】（1）解：设《围城》的单价为x元，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元． （2）解：设《围城》的数量为m本，费用为y元，依题意，得 ， 即， ∵， ∴的y随的增大而减小， 由，得，且m为正整数， ∴当时，y取得最小值， 即（本），（元）． 答：购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 题型十四 行程问题(一次函数的实际应用)（共3小题） 40．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【答案】D 【分析】根据速度＝路程时间求出出发第1小时汽车的平均速度，并写出y与x之间的函数表达式即可判断A、B；写出出发后y与x之间的函数关系式可判断C；根据C选项中求出的函数关系式，当时，求出对应x的值即可判断D． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：第一小时内汽车的平均速度为，则y与x之间的函数表达式是， ∴A、B不正确，不符合题意； 出发后汽车的速度为，则y与x之间的函数表达式是，可由直线向上平移75个单位得到， 不正确，不符合题意； 当时，解得， 小凡从家到黄果树景区的时间共用了， ∴D正确，符合题意． 故选：D 41．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 42．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)乙车减速前的速度为千米小时，． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【详解】（1）解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前的速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 题型十五 梯度计价问题（共3小题） 43．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 44．（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 45．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 题型十六 已知直线与坐标轴交点求方程的解（共3小题） 46．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 47．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 48．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 题型十七 利用图象法解一元一次方程（共3小题） 49．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 50．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 51．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 题型十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（共3小题） 52．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列图象，可以得出关于x的不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意，由不等式组的解集是函数与的图象均在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，进而结合图象即可判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式．认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．利用数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，不等式组的解集是函数与的图象均在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围． 根据图象得的解集为， 的解集为， ∴不等式组的解集是． 故选：D． 53．（24-25八年级下·江苏南通·期末）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 54．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $