第01讲 直线的方程（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 直线的方程 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线的倾斜角和斜率 4 知识点2 五类直线的方程 4 题型破译 6 题型1 倾斜角与斜率的计算 6 题型2 过定点的直线与线段相交问题 9 【方法技巧】寻求边界 题型3 直线的方程 12 题型4 直线与坐标轴围成的三角形问题 15 题型5 直线过定点问题 20 题型6 两直线的夹角问题 23 题型7 轨迹问题 26 04真题溯源·考向感知 28 05课本典例·高考素材 34 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第12题,5分 2024年天津卷，第12题,5分 2023年天津卷，第9题,5分 考情分析：天津高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，特别要重视直线方程的求法。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率，能够求解直线的方程 2.能掌握直线的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，计算记录与对称问题 知识点1 直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°) (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 自主检测直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再结合斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角大小． 【详解】由直线方程， 则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为． 故选：D． 知识点2 五类直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 自主检测已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是否为0，即斜率是否存在讨论，再结合正切函数的图象即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则有， 结合正切函数的图象可知，倾斜角的取值范围为， 当时，倾斜角为， 综上，直线l的倾斜角取值范围为. 故选：C. 题型1 倾斜角与斜率的计算 例1-1（2025高三·天津·联考）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 例1-2（2025·天津·调研）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 方法技巧 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【变式训练1-1】过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 【变式训练1-2】已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 【变式训练1-3】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 题型2 过定点的直线与线段相交问题 例2-1（2025·天津滨海新·调研）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】    当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 例2-2已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 方法技巧 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式训练2-1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式训练2-2·变考法】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【变式训练2-3·变考法】已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 题型3 直线的方程 例3-1（2024·天津·一模）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出其斜率和在轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可. 【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距． 因为直线，所以，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 例3-2（2025·天津·模拟预测）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 【答案】 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 例3-3经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 方法技巧 求直线方程的两种方法 【变式训练3-1】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 【答案】 7 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 【变式训练3-2】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 题型4 直线与坐标轴围成的三角形问题 例4-1（2025·天津和平·开学考试）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 例4-2已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 方法技巧 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式训练4-1】已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 【变式训练4-2·变载体】直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【答案】或 【分析】由解出公共弦的交点，求出中点坐标，设直线的方程为，得解出即可. 【详解】由，又或， 设公共弦的中点为，所以，即中点为， 设直线的方程为， 则或， 代入化简整理有： 或， 故答案为：或 【变式训练4-3·变载体】已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为 . 【答案】 【分析】根据得出，再联立求出点A的横坐标，点B的横坐标，再结合中点为即可求出离心率. 【详解】如图： 设，，A到直线OM的距离为d， 由题意解得， 过点A作直线OM的平行线，设其方程为，直线OM的方程为， 可知两平行线距离，则，得， 所以过点A作直线OM的平行线： 同理得过点B作直线OM的平行线： 联立，，解得点A的横坐标， 同理联立，，解得点B的横坐标， 因为AB的中点为，则， 得 ， 得，， 解得或（舍）， 所以双曲线离心率 故答案为: 题型5 直线过定点问题 例5-1（2025·天津·联考）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图：   ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 例5-2设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点. 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 方法技巧 合并参数是解决问题的关键 【变式训练5-1】不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式训练5-2】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【详解】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 【变式训练5-3】已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 题型6 两直线的夹角问题 例6-1已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 【答案】C 【分析】求出直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可. 【详解】直线的斜率，则其倾斜角为， 由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或. 故选：C 例6-2已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出直线的倾斜角再根据夹角范围结合正切函数性质即可求值. 【详解】直线：的倾斜角为，直线：的倾斜角为，则， 所以过原点的直线：，：夹角在内变动时， 可得直线的倾斜角的范围是， 所以，即， 故选：C. 方法技巧 若直线与直线的夹角为，则 【变式训练6-1】已知直线与直线的夹角为30°，则的倾斜角为（   ） A．15°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．105°或165° 【答案】D 【分析】利用直线方程求出斜率，继而可得倾斜角，结合题意即可求解. 【详解】直线的斜率，则倾斜角为135°， 直线与直线夹角为30°，则的倾斜角为105°或165°. 故选：D． 【变式训练6-2】过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对称的性质及圆的切线长定理，借助直角三角形边角关系求出夹角大小. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线关于对称，得直线是直线相交所成的一组对顶角的平分线， 令直线的交点为，则直线是直线相交所成的另一组对顶角的平分线， 因此垂直于直线，令直线与圆相切的切点分别这， ，而，则，于是， 所以直线的夹角. 故选：C 【变式训练6-3】在下列四个命题中： ①若，，则点到直线的距离为2； ②向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； ③已知向量，，则在上的投影向量为 ④直线的一个方向向量为其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点到直线距离判断①，根据共线向量判断②，根据投影向量的求法判断③，根据直线的方向向量判断④. 【详解】由点到线的距离可知，点到直线的距离为,故①错误； 当向量共线时，，可得，此时向量所成角为，故②错误； 向量在上的投影向量为，故③正确； 由可得，所以直线的一个方向向量为，故④正确. 故选：B 题型7 轨迹问题 例7-1已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 例7-2若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 方法技巧 （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 【变式训练7-1】已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离均为 C．是两条平行直线 D．是一条与相交的直线 【答案】B 【分析】由向量关系得到坐标关系后可得的轨迹方程，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】设，则，故， 故，故即， 故为一条直线，该直线与平行，它到的距离为， 故ACD错误，B正确， 故选：B. 【变式训练7-2】已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得. 【详解】设点，由，得点，又点在直线上， 因此，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【变式训练7-3】（2024·天津蓟州·模拟预测）已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出 点的轨迹为直线，再根据点到直线的距离公式即可得到最值. 【详解】由题意得，， 因为， 又，即， 即， 化简得点的轨迹为，即在直线上， 表示的几何意义为点到原点距离的平方， 故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值， 即最小值为. 故选：B. 1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 2．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 3．（2007·天津·高考真题）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为． (1)证明； (2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，代入椭圆方程得，求出直线的方程，利用 原点O到直线的距离可得答案； （2）求出圆上任意点处的切线方程为，时，圆上任意点都在椭圆内，可设，联立切线方程和椭圆方程利用韦达定理得到和，若， 求出，在区间内此方程的解为，再由得，可得答案． 【详解】（1）由题设及，，不妨设， 所以，，解得，从而， 直线的方程为，整理得， 原点O到直线的距离为，将代入整理得， 即； （2）当时， 设圆上任意点处的切线的斜率为，则， ，所以，所以经过点处的切线方程为， 即， 当时，切线方程为或满足上式，所以 圆上任意点处的切线方程为， 当时，圆上任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两点个不同的点，因此是方程组 即的解， 当时，由得代入得，即， 于是， ， 若，则， 所以，由得，在区间内此方程的解为， 当时，必有，同理可得在区间内此方程的解为， 另一方面，时，， 从而，综上所述，使得命题成立， 4．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆心坐标，根据题意结合点到直线的距离运算求解. 【详解】由题意可设圆心， ∵圆与射线相切，则，解得或（舍去）， 即圆心为，故圆的方程为. 故答案为：. 5．（2004·天津·高考真题）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程. 【详解】由圆，得， ， 由垂径定理可知， 所以直线斜率满足，即， 所以直线的方程为：，即， 故选：D. 6．（2005·天津·高考真题）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高） 【答案】此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大 【详解】试题分析 试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，． 直线的方程为， 即． 设点的坐标为，则（） 由经过两点的直线的斜率公式，． 由直线到直线的角的公式得 （） 要使达到最大，只须达到最小． 由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，点的纵坐标为． 由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大． 1．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 2．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解； （2）求出的长，用面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即. 故点到直线的距离即为边上的高的长，    所以. （2）因为 ， 所以的面积为：. 3．已知直线（其中A，B不全为0）． (1)写出直线l的一个法向量的坐标． (2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？ (3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？ (4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？ 【答案】(1)； (2)，不全为零； (3)； (4). 【分析】（1）根据直线的方向向量，即可求得法向量. （2）根据点满足直线方程，即可求得结果. （3）根据直线斜率为零，即可求得结果. （4）由直线的横纵截距都存在且不为0，即可求得结果. 【详解】（1）因为直线的一个方向向量为， 显然向量满足，即向量与向量垂直， 所以该直线的一个法向量可以为. （2）若直线经过原点，即满足直线方程，即， 所以，不全为零. （3）若直线与轴平行或重合，则其斜率为零，显然， 所以. （4）若直线与轴和轴都相交且不经过原点，则直线的横纵截距都存在且不为0，则， 所以. 4．直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为，两截距之差为，求直线的方程． 【答案】或 【分析】设，分别讨论和的情况，利用三角形面积构造方程求得结果. 【详解】由题意可设直线方程为：， 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 综上所述：直线方程为或. 5．如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．    【答案】 【分析】由两点的斜率公式计算. 【详解】直线AB的斜率． 6．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 7．分别求点到下列直线的距离： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】利用点到直线距离公式分别计算. 【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得 （2）因为直线即平行于y轴，所以. 8．（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式直接计算； （2）利用两点间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】（1）由两点间距离公式， 得； （2）由两点间距离公式， 得， 解得， 故所求实数的值为或． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的方程 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线的倾斜角和斜率 4 知识点2 五类直线的方程 4 题型破译 5 题型1 倾斜角与斜率的计算 5 题型2 过定点的直线与线段相交问题 6 【方法技巧】寻求边界 题型3 直线的方程 7 题型4 直线与坐标轴围成的三角形问题 8 题型5 直线过定点问题 9 题型6 两直线的夹角问题 10 题型7 轨迹问题 11 04真题溯源·考向感知 12 05课本典例·高考素材 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第12题,5分 2024年天津卷，第12题,5分 2023年天津卷，第9题,5分 考情分析：天津高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，特别要重视直线方程的求法。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率，能够求解直线的方程 2.能掌握直线的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，计算记录与对称问题 知识点1 直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_______与直线l_______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______. 2．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝____.(α≠90°) (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 自主检测直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点2 五类直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为_______的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 自主检测已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型1 倾斜角与斜率的计算 例1-1（2025高三·天津·联考）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 例1-2（2025·天津·调研）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 方法技巧 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【变式训练1-1】过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【变式训练1-2】已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练1-3】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型2 过定点的直线与线段相交问题 例2-1（2025·天津滨海新·调研）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 例2-2已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式训练2-1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变考法】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【变式训练2-3·变考法】已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型3 直线的方程 例3-1（2024·天津·一模）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是 ． 例3-2（2025·天津·模拟预测）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 例3-3经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 方法技巧 求直线方程的两种方法 【变式训练3-1】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 【变式训练3-2】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 题型4 直线与坐标轴围成的三角形问题 例4-1（2025·天津和平·开学考试）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 例4-2已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 方法技巧 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式训练4-1】已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【变式训练4-2·变载体】直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【变式训练4-3·变载体】已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为 . 题型5 直线过定点问题 例5-1（2025·天津·联考）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 例5-2设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 合并参数是解决问题的关键 【变式训练5-1】不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型6 两直线的夹角问题 例6-1已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 例6-2已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 若直线与直线的夹角为，则 【变式训练6-1】已知直线与直线的夹角为30°，则的倾斜角为（   ） A．15°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．105°或165° 【变式训练6-2】过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练6-3】在下列四个命题中： ①若，，则点到直线的距离为2； ②向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； ③已知向量，，则在上的投影向量为 ④直线的一个方向向量为其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型7 轨迹问题 例7-1已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例7-2若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 【变式训练7-1】已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离均为 C．是两条平行直线 D．是一条与相交的直线 【变式训练7-2】已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（2024·天津蓟州·模拟预测）已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 2．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2007·天津·高考真题）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为． (1)证明； (2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则． 4．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 5．（2004·天津·高考真题）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 6．（2005·天津·高考真题）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高） 1．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 2．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 3．已知直线（其中A，B不全为0）． (1)写出直线l的一个法向量的坐标． (2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？ (3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？ (4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？ 4．直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为，两截距之差为，求直线的方程． 5．如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．    6．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．分别求点到下列直线的距离： (1)； (2)． 8．（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $