1.3 正方形的性质与判定课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质与判定，通过“十字架模型”“燕子模型”等变式题导入，结合教材改编例题，搭建从性质应用（如线段相等、垂直证明）到判定方法（先证矩形/菱形再证正方形）的学习支架。 其亮点在于以模型化教学培养几何直观与空间观念，通过分层评价题（如正方形判定条件选择、综合证明题）发展推理能力和应用意识。例如“十字架模型”证线段关系，助力学生提升逻辑思维，也为教师提供系统教学资源。

第一章　特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第一章　特殊平行四边形 第1课时　正方形的性质 1. 正方形的定义：有一组邻边 ，并且有一个角是 ⁠的平 行四边形叫做正方形. 相等　 直角　 预习导学 2. 根据正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形，正方形具有矩 形与菱形的所有性质. 图形 性质 几何语言 周长和面积 (1)四条边都 ⁠ ⁠； (2)四个角都是 ⁠； (3)对角线 ⁠ ⁠ ⁠； 且对角线平分 ⁠. ∵四边形ABCD是正方形， ∴边： ⁠ ⁠； 角： ⁠ ⁠ ⁠； 对角线： ⁠ ⁠ ⁠. (1)C＝4·边长； (2)S＝边长2 或S＝ AC·BD. 相 等　 直角　 互相平 分、垂直且相 等　 每一组对角　 AB＝BC＝ CD＝DA　 ∠ABC＝∠BCD ＝∠CDA＝∠DAB＝ 90°　 AC＝BD， AC⊥BD，OA＝OB＝ OC＝OD　 预习导学 知识点1　利用正方形的性质进行计算 【例1】如图，已知正方形ABCD. (1)若边长为2，则对角线长为 ，周长为 ，面积为 ⁠. (2)图中有 个等腰直角三角形. 2 　 8　 4　 8　 课堂导学 【变式1】如图，已知正方形ABCD. (1)若对角线长为2，则边长为 ，面积为 ⁠. (2)若正方形的面积为8，则它的边长为 ，对角线长为 ⁠. 注意：正方形的边长、对角线、周长和面积知一可推三. 　 2　 2 　 4　 课堂导学 知识点2　利用正方形的性质进行证明 【例2】(北师教材九上P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一 点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF. BE与DF之间有怎样的关系？ 请说明理由. 解：BE＝DF，BE⊥DF. 解：BE＝DF，BE⊥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCD＝90°. ∴∠BCD＝∠DCF＝90°. ∵CE＝CF， ∴△BCE≌△DCF. 课堂导学 ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF. 如图，延长BE交DF于点G. ∵∠F＋∠CDF＝90°， ∴∠F＋∠CBG＝90°. ∴∠BGF＝90°. ∴BE⊥DF. 课堂导学 【变式2】(十字架模型)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC， CD上的点，CE＝DF，连接AF，DE交于点G. 求证：AF＝DE， AF⊥DE. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°. 在△ADF和△DCE中， ∴△ADF≌△DCE(SAS). ∴∠DAF＝∠CDE，AF＝DE. 又∵∠ADG＋∠CDE＝90°， ∴∠DAF＋∠ADG＝90°. ∴∠DGA＝90°. ∴AF⊥DE. 课堂导学 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　D　) A. 四个角都相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则 ∠DAE的度数是(　A　) A. 15° B. 20° C. 12.5° D. 10° D A 课堂评价 3. (北师教材九上P22T2改编)如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等 边三角形. (1)求证：AE＝DE. 解：(1)证明∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD. ∵△CBE是等边三角形， ∴BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝60°. ∴∠ABE＝∠DCE＝30°. ∴△ABE≌△DCE. ∴AE＝DE. 证明∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD. ∵△CBE是等边三角形， ∴BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝60°. ∴∠ABE＝∠DCE＝30°. ∴△ABE≌△DCE. ∴AE＝DE. 课堂评价 (2)求∠AEB的度数. 解：(2)∵AB＝BC，BC＝BE， ∴AB＝BE. ∵∠ABE＝30°， ∴∠BAE＝∠AEB＝75°. 解：∵AB＝BC，BC＝BE， ∴AB＝BE. ∵∠ABE＝30°， ∴∠BAE＝∠AEB＝75°. 3. (北师教材九上P22T2改编)如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等 边三角形. 课堂评价 4. (燕子模型)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连 接EB，ED. (1)求证：△BEC≌△DEC. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，AC平分∠BCD. ∴∠DCE＝∠BCE. 在△BEC和△DEC中， ​ ∴△BEC≌△DEC(SAS). 课堂评价 4. (燕子模型)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连 接EB，ED. (2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数. 解：(2)由(1)，得△BEC≌△DEC. ∴∠DEC＝ ∠DEB＝70°. ∵∠DCE＝45°， ∴∠CDE＝180°－45°－70°＝65°. ∴∠EDF＝90°－65°＝25°. 又∵∠DEF＝180°－∠DEB＝40°， ∴∠AFE＝∠EDF＋∠DEF＝65°. 解：由(1)，得△BEC≌△DEC. ∴∠DEC＝ ∠DEB＝70°. ∵∠DCE＝45°， ∴∠CDE＝180°－45°－70°＝65°. ∴∠EDF＝90°－65°＝25°. 又∵∠DEF＝180°－∠DEB＝40°， ∴∠AFE＝∠EDF＋∠DEF＝65°. 课堂评价 5. 如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F. (1)求证：AG＝FG. 证明：如图，连接CG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∠ABD＝∠CBD＝45°. ∵BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG. ∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG. 课堂评价 ∵∠ABC＋∠BAG＋∠AGF＋∠BFG＝360°， 且∠ABC＝∠AGF＝90°， ∴∠BAG＋∠BFG＝180°. ∴∠BCG＋∠BFG＝180°. ∵∠BFG＋∠GFC＝180°， ∴∠BCG＝∠GFC. ∴GC＝GF. ∴AG＝FG. ∴GC＝GF. ∴AG＝FG. 课堂评价 5. 如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F. (2)若AB＝10，BF＝4，求BG的长. 解：如图，过点G作GH⊥BC于点H. ∵AB＝BC＝10，BF＝4， ∴CF＝6. ∵GC＝GF，GH⊥BC， ∴FH＝3. ∴BH＝7. ∵∠DBC＝45°， ∴GH＝BH＝7. ∴BG＝7 . 课堂评价 (3)如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，则 ＝ 　 　. 　 课堂评价 第一章　特殊平行四边形 第2课时　正方形的判定 1.定义：有一组邻 边 ，并且有一 个角是 ⁠的平行 四边形是正方形. ∵ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是正方形. 2.矩形＋边：有一组邻 边 ⁠的矩形是正 方形. ∵ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是正方形. 相等　 直角　 四边形ABCD是平行四边 形，AB＝BC，∠ABC＝90°　 相等　 四边形ABCD是矩形，AB＝ BC　 预习导学 3.矩形＋对角线： 对角线 ⁠的 矩形是正方形. ∵ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是正方形. 4.菱形＋角：有一 个角是 ⁠的 菱形是正方形. ∵ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是正方形. 5.菱形＋对角线： 对角线 ⁠的 菱形是正方形. ∵ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是正方形. 垂直　 四边形ABCD是矩形， AC⊥BD　 直角　 四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝90°　 相等　 四边形ABCD是菱形，AC＝ BD　 预习导学 知识点1　正方形的判定 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，请添加一个 条件 ，使矩形ABCD是正方形. 【变式1】下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是(　B　) A. AB＝AD B. AB⊥BC C. AC⊥BD D. AC平分∠BAD (答案不唯一)AC⊥BD　 B 课堂导学 知识点2　先证矩形再证正方形 【例2】如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿DE折 叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF. 求证：四边形ADFE是正 方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADF＝90°. 由折叠，得∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形ADFE是矩形. 由折叠，得AE＝FE， ∴四边形ADFE是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADF＝90°. 由折叠，得∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形ADFE是矩形. 由折叠，得AE＝FE， ∴四边形ADFE是正方形. 课堂导学 【变式2】(北师教材九上P27T13改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边 形CFDE是正方形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠CFD＝∠CED＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形. ∵CD平分∠ACB， ∴DF＝DE. ∴四边形CFDE是正方形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠CFD＝∠CED＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形. ∵CD平分∠ACB， ∴DF＝DE. ∴四边形CFDE是正方形. 课堂导学 知识点3　先证菱形再证正方形 【例3】(北师教材九上P23例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是 正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， 课堂导学 ∴∠CBE＝ ∠ABC＝45°，∠BCE＝ ∠BCD＝45°. ∴BE＝CE. ∴平行四边形BECF是菱形. ∵∠E＝180°－∠CBE－∠BCE＝90°， ∴菱形BECF是正方形. 课堂导学 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2 ， BD平分∠ABC. (1)求证：△ABD≌△CBD. 证明：(1)∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. 又∵AB＝CB，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. 又∵AB＝CB，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD. 课堂导学 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2 ， BD平分∠ABC. (2)求证：四边形ABCD是正方形. 证明：由(1)，得△ABD≌△CBD， ∴AD＝CD. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵BC＝CD＝2，BD＝2 ， ∴BD2＝8＝4＋4＝BC2＋CD2. ∴△BCD是直角三角形. ∴∠BCD＝90°. ∴菱形ABCD是正方形. 课堂导学 1. 如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有(　D　) ①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD， BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 课堂评价 2. (北师教材九上P25T3)如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别 在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH. 四边形EFGH是什么特殊四 边形？你是如何判断的？ 解：四边形EFGH是正方形. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD. ∵AE＝BF＝DH， ∴AB－AE＝AD－DH，即BE＝AH. ∴△AEH≌△BFE. ∴∠AEH＝∠BFE，EH＝EF. 课堂评价 ∵∠BFE＋∠BEF＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°. ∴∠FEH＝90°. 同理，可证∠EFG＝∠FGH＝90°. ∴四边形EFGH是矩形. ∵EF＝EH， ∴矩形EFGH是正方形. 同理，可证∠EFG＝∠FGH＝90°. ∴四边形EFGH是矩形. ∵EF＝EH， ∴矩形EFGH是正方形. 课堂评价 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，分别以AB， AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别 为点E，F，延长EB，FC相交于点G. (1)求证：四边形AEGF是正方形. 证明：根据题意，得△ABD≌△ABE， △ACD≌△ACF. ∴AE＝AD＝AF，∠AEB＝∠ADB，∠ADC＝ ∠AFC，∠EAB＝∠DAB，∠DAC＝∠FAC. ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAD＋∠FAD＝2∠BAC＝90°. 课堂评价 ∵AD⊥BC， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°. ∴四边形AEGF是矩形. ∵AE＝AF， ∴四边形AEGF是正方形. 课堂评价 (2)若BE＝2，AD＝6，求CG的长. 解：(2)由(1)，得四边形AEGF是正方形， ∴∠BGC＝90°，AE＝EG＝GF. ∵△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE＝GF＝6，CF＝CD. ∵BE＝2， ∴BG＝4，BD＝2. 设CG＝x，则CD＝CF＝6－x. 在Rt△BCG中，BG2＋CG2＝BC2， 即42＋x2＝(2＋6－x)2，解得x＝3. ∴CG＝3. 解：由(1)，得四边形AEGF是正方形， ∴∠BGC＝90°，AE＝EG＝GF. ∵△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE＝GF＝6，CF＝CD. ∵BE＝2， ∴BG＝4，BD＝2. 设CG＝x，则CD＝CF＝6－x. 在Rt△BCG中，BG2＋CG2＝BC2， 即42＋x2＝(2＋6－x)2，解得x＝3. ∴CG＝3. 课堂评价 $