第四章 三角形（复习讲义）数学新教材湘教版八年级上册

第四章 三角形（复习讲义） 1. 理解三角形的核心概念与分类，掌握三角形的定义；能按边和角对三角形进行分类，明确各类三角形的特征； 2. 掌握三角形边角关系的基本定理，能运用该定理判断三条线段能否构成三角形，以及已知两边求第三边的取值范围；牢记三角形内角和定理，掌握其外角性质，能运用这些性质计算三角形的内角或外角； 3. 熟悉三角形特殊线段的性质与应用，理解高、中线、角平分线的定义；能熟练运用尺规画出三角形的高、中线、角平分线，尤其掌握钝角三角形高的画法； 4. 学会全等三角形的判定与性质应用，能运用全等三角形的性质解决简单的线段或角相等问题，以及进行尺规作图； 5. 掌握等腰三角形与线段垂直平分线的性质与判定，能运用这些性质证明线段或角相等；能运用垂直平分线的性质证明线段相等，以及解决实际问题； 知识点 重点归纳总结 常见易错点 三角形的三边关系 ① 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ② 已知两边长时，第三边的取值范围为两边之差＜第三边＜两边之和. ① 忽略“任意”二字，仅验证部分组合（如判断3、4、8能否构成三角形时，只看3+4＞8，忽略3+8＞4、4+8＞3）； ② 误认为“两边之差大于第三边”（正确应为“两边之差小于第三边”） 三角形的边与分类 ① 用符号表示时需规范（如△ABC的边AB、BC、AC）； ② 按边分为不等边三角形（三边均不等）、等腰三角形（至少两边相等，其中等边三角形是特殊的等腰三角形）； ③ 按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ① 等边三角形是特殊的等腰三角形（属于等腰三角形的范畴），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有当三边均相等时才是等边三角形）； ② 按角分类时，误将“钝角三角形”归为“锐角三角形”（钝角三角形有一个角大于90°，不属于锐角三角形） 三角形内角和定理 ① 三角形三个内角和为180°； ② 直角三角形两锐角互余； ③ 三角形最多有一个直角或钝角. ① 在多边形内角和推导中，未正确分割成三角形（如四边形应分成2个三角形，内角和为180°×2=360°），导致内角和计算错误； ② 误以为直角三角形（有一个角为90°）或钝角三角形（有一个角大于90°）的内角和大于180°，忽略“所有三角形内角和均为180°”的定理 三角形外角的性质 ① 三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和； ② 外角大于任何一个与之不相邻的内角. ① 忽略“不相邻”的条件，误认为外角等于“相邻内角与其他内角的和”； ② 误用外角与相邻内角的关系（外角与相邻内角互补，即和为180°，但外角性质强调的是与不相邻内角的关系） 命题与证明 ① 命题是判断一件事情的语句；​② 需区分“题设”和“结论”，并会将命题改写成“如果……那么……”的形式； ③ 真命题需通过证明确认，假命题举反例即可 ① 命题改写时，题设与结论颠倒； ② 证明时未写“已知”“求证”“证明”等步骤，或缺乏逻辑推理 全等三角形的性质与判定 ① 性质：对应边相等、对应角相等； ② 判定：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（直角三角形斜边和一条直角边对应相等，仅适用于直角三角形）. ① 混淆SSA与SAS（SSA不能判定全等，如两边及其中一边的对角相等时，两个三角形可能不全等；SAS可以判定全等，因夹角确定了形状）； ② 忽略直角三角形HL判定的特殊性（HL仅适用于直角三角形，普通三角形全等判定中没有HL） 尺规作图 ① 核心是用无刻度的直尺和圆规作图； ② 作图需保留作图痕迹（如弧线、交点），并写出结论. ① 作图后未保留弧线、交点等关键痕迹（如作线段垂直平分线时，未保留两弧的交点痕迹），无法体现作图的逻辑过程； ② 作线段垂直平分线时，两弧的交点应在垂直平分线的两侧（如都画在同一侧），导致所作直线不垂直于线段 等腰三角形 ① 性质：等边对等角、三线合一； ② 判定：两边相等（定义）、等角对等边. ① 误认为“等腰三角形的任意高、中线、角平分线都重合”（只有顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，腰上的高、中线、角平分线一般不重合）； ② 在判定等腰三角形时，仅用“两边相等”而忽略“两角相等”的情况（如已知两角相等，即使没有边的信息，也能判定为等腰三角形） 等边三角形 ① 性质：三边相等、三个角均为60°、三线合一； ② 判定：三边相等（定义）、三个角相等、有一个角是60°的等腰三角形. 仅用“有一个角是60°”判定等边三角形（忽略了“等腰”的前提，如一个三角形有一个角是60°，但另外两个角不相等，不是等边三角形） 线段垂直平分线 ① 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；​​② 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ③ 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等（即外心）. ① 误以为“任意两条线段都有垂直平分线”（实际上，只有线段才有垂直平分线，射线、直线没有）； ② 忽略“垂直平分线是直线”（而非线段）的性质； ③ 误将“到线段两端点的距离相等”表述为“到线段的距离相等” 题型一 三角形的识别 【例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】图中有 个三角形，用符号表示这些三角形 ． 题型二 三角形的分类 【例1】在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【变式1-2】一个三角形内角度数的比是，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形． 题型三 三角形的三边关系 【例1】若a，b，c为的三边长，且满足，，则c的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是长治市部分行政区图，潞州区A 点和潞城区 B点的图上距离为，潞城区B点和平顺县C点的图上距离为，则A点和 C 点图上距离可能是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-3】已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 【例2】三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】若一个三角形三边长分别为2，3，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ． 【例3】现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（    ） A．都可以 B．只有可以 C．只有可以 D．都不可以 【变式3-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【变式3-2】把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】用3根长度为整数的小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是 厘米，最短是 厘米． 题型四 三角形的高 【例1】下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，边BC上的高是（   ） A．线段AE B．线段CD C．线段AF D．线段BF 【变式1-2】用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，的边上的高是 ． 【例2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【变式2-2】如图，在中，，若，，，则 ． 【变式2-3】如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 题型五 三角形的中线 【例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式1-1】已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【变式1-3】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【例2】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】是边上的中线，E，F是上的点，的面积是9，阴影部分的面积是 ． 【变式2-3】如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 题型六 三角形的角平分线 【例1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【变式1-1】关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【变式1-2】下列叙述正确的是（   ） ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点 A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【例2】如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】如图，在中，，平分，若，则 ． 【变式2-3】“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 题型七 三角形内角和定理的应用 【例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图B在A处南偏西方向，C在A处南偏东方向，C在B处的北偏东方向，则的度数为 【变式1-3】如图，在中，，O是内一点，且，．求的度数． 【例2】如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-1】下列能断定为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．，，周长为6 【变式2-2】若的任意两个角都不相等，且其中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角称为该三角形的“倍角”．若一个“倍角三角形”有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数最大可以为 ． 【例3】如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q．若恰好平分，且，则以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（　　） 甲：当点D在线段上时，； 乙：当点D在射线上时，的度数为或． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【例4】如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 【变式4-1】如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 【变式4-2】如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【变式4-3】如图①，已知线段相交于点O，连接，我们把形如图①的图形称之为“对顶三角形”．如图②，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M，N． (1)仔细观察，在图②中有 个以线段为边的“对顶三角形”； (2)如图②，若，，求的度数． 题型八 三角形外角的定义及性质 【例1】如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，为的边延长线上一点，在上，连接，交于．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，P是内一点，延长交于点D．若，则 【变式1-3】如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 【例2】如图，的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式2-1】如图．等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若，则 °． 【变式2-3】【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【例3】下列说法正确的是（   ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； B．三角形的高就是顶点到对边的垂线； C．三角形的一个外角等于两个内角和； D．三角形的角平分线也就是角的平分线； 【变式3-1】关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在中，当，时，这个三角形是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-1】如图，在中，点E在上，． (1)图1中，作的角平分线，分别交于D、F两点，求证：； (2)图2中，作的外角的角平分线，分别交的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？ 【变式4-2】如图，已知在中，是高，是角平分线，是边中点，，． (1)求和的度数； (2)①若的面积为10，则的面积为______； ②若比的周长大3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【变式4-3】【阅读】 如图1，是的一个外角，我们知道，＋，又因为＋＋，所以＋．于是我们得到一个结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【理解】 如图2，在五角星形中，是的一个外角，所以＋． 同理，是的一个外角，可得＋． 所以：＋＋＋＋． 【应用】 如图3，，点、分别在、上运动，不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．试问：随着点、的运动，的大小会改变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 题型九 三角形的折叠问题 【例1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【变式1-3】如图，在中，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为， ，则 ． 【例2】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 题型十 判断是否是命题 【例1】下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式1-1】下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【变式1-2】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 题型十一 写出命题的题设与结论 【例1】“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【变式1-1】命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 【变式1-2】命题“对顶角相等”的题设和结论分别是 ． 【例2】把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式2-1】把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【变式2-2】将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【变式2-3】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 题型十二 逆命题 【例1】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【变式1-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式1-2】“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 题型十三 反证法及举反例 【例1】对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 【例2】用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【变式2-1】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【变式2-2】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【例3】用反证法证明：已知中，，求证：． 【变式3-1】求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 题型十四 定理、证明与互逆定理 【例1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式1-1】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【变式1-3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 题型十五 全等三角形的定义与性质 【例1】已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 【变式1-3】如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【例2】如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】如图，已知与是对应角，与是对应边，，那么的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-2】，如果，，，那么的长为 ． 【变式2-3】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【例3】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【变式3-1】如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【变式3-2】如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【变式3-3】如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 题型十六 全等三角形的判定 【例1】如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 【例2】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·四川资阳·期中）在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 【例3】如图，在中，于D，于E，与交于点F．若，，，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【变式3-3】如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【例4】如图，D为的边上一点，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 【例5】是的中点，，求证：． 【变式5-1】如图，，平分，证明．    【变式5-2】如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【变式5-3】如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【例6】如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【变式6-1】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和全等的图形是（   ） A．甲、丁 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙 【变式6-2】如图，，是线段上的两点，，连接，则图中全等三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型十七 全等三角形模型与辅助线 【例1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【变式1-2】【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【变式1-3】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 题型十八 全等三角形综合题 【例1】如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式1-1】如图，在和中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【例2】如图，已知相交于点，且．求证：． 【变式2-1】如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2-2】如图，的边和的边在同一条直线上，， (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式2-3】如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 【例3】王明家所在的小区有一个池塘，如图，A，B两点分别位于该池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，王明从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后他测量点E到假山D的距离，得出的长度就是A，B两点之间的距离．试说明王明这样做的根据． 【变式3-1】为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 【变式3-2】甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【变式4-2】如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【变式4-3】如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【变式5-1】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，，，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 在中，、边上的高、交于点，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 题型十九 三角形的稳定性及应用 【例1】下列图形具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．长方形 C．五边形 D．六边形 【变式1-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【变式1-2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 题型二十 尺规作图题 【例1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【变式1-2】用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【例2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【变式2-1】（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 【变式2-2】尺规作图：如图，过点作直线（不写作法，保留作图痕迹）． 【例3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【变式3-2】如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则 ． 【变式3-3】如图，在中，，，， (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的周长． 【例4】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【变式4-1】尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 【变式4-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【例5】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为 ． 【变式5-3】如图，在中，，D是上一点（D与A不重合）． (1)尺规作图： 过点D作的垂线垂足为E．作的平分线交于点F，交于点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 题型二十一 等腰三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在和中，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，点D在边上．若，则的度数是 ． 【变式1-3】如图，，且，，求的度数． 【例2】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2-1】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则 ．    【变式2-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 【例3】如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【例4】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【变式4-2】如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ． 【例5】如图，已知，，和交于点O．求证： (1)； (2)为等腰三角形． 【变式5-1】如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式5-2】如图，在中，． (1)求的度数； (2)取的中点E，连接并延长交于点F，求证：． 【变式5-3】如图，在和中，点D 在边上，，，与交于点 F. (1)求证：； (2)若，求的度数. 题型二十二 等边三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【变式1-1】如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 【变式1-3】如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【例2】如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ． 【例3】如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式3-1】如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【变式3-2】如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是 ．（填序号） 【例4】如图，等边中，分别交于点D、E．求证：是等边三角形． 【变式4-1】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【变式4-2】如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式5-2】如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 【变式5-3】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），使，，设，． (1)如图1，当点D在线段上，且时， 度； (2)当： ①如图2，当点D在线段上时，求m与n间的数量关系； ②如图3，当点D在线段的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m与n之间的数量关系． 题型二十三 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 【例2】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知在中，，敏敏通过尺规作图得到交于点O，连接，根据其作图痕迹，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图,的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是 ． 【例3】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，，面积为24，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 【例4】如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【变式4-1】如图，在中，是的平分线，点E是边上一点，且，交于点F．下列结论正确的有（    ） ①；②和互相垂直平分；③是等腰三角形；④平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例5】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【变式5-1】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式5-2】如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 【例6】如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【变式6-2】在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 基础巩固通关测 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2024·广东·模拟预测）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180° B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 8．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 9．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 10．（25-26九年级上·四川凉山·期末）如图1，△ABC是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于，连接．探究之间的关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 12．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 能力提升进阶练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则 ． 7．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，在中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形（复习讲义） 1. 理解三角形的核心概念与分类，掌握三角形的定义；能按边和角对三角形进行分类，明确各类三角形的特征； 2. 掌握三角形边角关系的基本定理，能运用该定理判断三条线段能否构成三角形，以及已知两边求第三边的取值范围；牢记三角形内角和定理，掌握其外角性质，能运用这些性质计算三角形的内角或外角； 3. 熟悉三角形特殊线段的性质与应用，理解高、中线、角平分线的定义；能熟练运用尺规画出三角形的高、中线、角平分线，尤其掌握钝角三角形高的画法； 4. 学会全等三角形的判定与性质应用，能运用全等三角形的性质解决简单的线段或角相等问题，以及进行尺规作图； 5. 掌握等腰三角形与线段垂直平分线的性质与判定，能运用这些性质证明线段或角相等；能运用垂直平分线的性质证明线段相等，以及解决实际问题； 知识点 重点归纳总结 常见易错点 三角形的三边关系 ① 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ② 已知两边长时，第三边的取值范围为两边之差＜第三边＜两边之和. ① 忽略“任意”二字，仅验证部分组合（如判断3、4、8能否构成三角形时，只看3+4＞8，忽略3+8＞4、4+8＞3）； ② 误认为“两边之差大于第三边”（正确应为“两边之差小于第三边”） 三角形的边与分类 ① 用符号表示时需规范（如△ABC的边AB、BC、AC）； ② 按边分为不等边三角形（三边均不等）、等腰三角形（至少两边相等，其中等边三角形是特殊的等腰三角形）； ③ 按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ① 等边三角形是特殊的等腰三角形（属于等腰三角形的范畴），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有当三边均相等时才是等边三角形）； ② 按角分类时，误将“钝角三角形”归为“锐角三角形”（钝角三角形有一个角大于90°，不属于锐角三角形） 三角形内角和定理 ① 三角形三个内角和为180°； ② 直角三角形两锐角互余； ③ 三角形最多有一个直角或钝角. ① 在多边形内角和推导中，未正确分割成三角形（如四边形应分成2个三角形，内角和为180°×2=360°），导致内角和计算错误； ② 误以为直角三角形（有一个角为90°）或钝角三角形（有一个角大于90°）的内角和大于180°，忽略“所有三角形内角和均为180°”的定理 三角形外角的性质 ① 三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和； ② 外角大于任何一个与之不相邻的内角. ① 忽略“不相邻”的条件，误认为外角等于“相邻内角与其他内角的和”； ② 误用外角与相邻内角的关系（外角与相邻内角互补，即和为180°，但外角性质强调的是与不相邻内角的关系） 命题与证明 ① 命题是判断一件事情的语句；​② 需区分“题设”和“结论”，并会将命题改写成“如果……那么……”的形式； ③ 真命题需通过证明确认，假命题举反例即可 ① 命题改写时，题设与结论颠倒； ② 证明时未写“已知”“求证”“证明”等步骤，或缺乏逻辑推理 全等三角形的性质与判定 ① 性质：对应边相等、对应角相等； ② 判定：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（直角三角形斜边和一条直角边对应相等，仅适用于直角三角形）. ① 混淆SSA与SAS（SSA不能判定全等，如两边及其中一边的对角相等时，两个三角形可能不全等；SAS可以判定全等，因夹角确定了形状）； ② 忽略直角三角形HL判定的特殊性（HL仅适用于直角三角形，普通三角形全等判定中没有HL） 尺规作图 ① 核心是用无刻度的直尺和圆规作图； ② 作图需保留作图痕迹（如弧线、交点），并写出结论. ① 作图后未保留弧线、交点等关键痕迹（如作线段垂直平分线时，未保留两弧的交点痕迹），无法体现作图的逻辑过程； ② 作线段垂直平分线时，两弧的交点应在垂直平分线的两侧（如都画在同一侧），导致所作直线不垂直于线段 等腰三角形 ① 性质：等边对等角、三线合一； ② 判定：两边相等（定义）、等角对等边. ① 误认为“等腰三角形的任意高、中线、角平分线都重合”（只有顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，腰上的高、中线、角平分线一般不重合）； ② 在判定等腰三角形时，仅用“两边相等”而忽略“两角相等”的情况（如已知两角相等，即使没有边的信息，也能判定为等腰三角形） 等边三角形 ① 性质：三边相等、三个角均为60°、三线合一； ② 判定：三边相等（定义）、三个角相等、有一个角是60°的等腰三角形. 仅用“有一个角是60°”判定等边三角形（忽略了“等腰”的前提，如一个三角形有一个角是60°，但另外两个角不相等，不是等边三角形） 线段垂直平分线 ① 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；​​② 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ③ 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等（即外心）. ① 误以为“任意两条线段都有垂直平分线”（实际上，只有线段才有垂直平分线，射线、直线没有）； ② 忽略“垂直平分线是直线”（而非线段）的性质； ③ 误将“到线段两端点的距离相等”表述为“到线段的距离相等” 题型一 三角形的识别 【例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 【变式1-2】图中有 个三角形，用符号表示这些三角形 ． 【答案】 5 ，，，， 【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．由三角形的概念，结合图形可知，图中以 为一个顶点的三角形有、、，不以为顶点的三角形有、，所以共有5个三角形． 【详解】图中有5个三角形，用符号表示这些三角形，，，，． 题型二 三角形的分类 【例1】在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理求角是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的分类即可得解． 【详解】解：， ， 是钝角三角形， 故选：． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【变式1-2】一个三角形内角度数的比是，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形． 【答案】 等腰 直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形与直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和为 以及等腰三角形“等角对等边”的判定、直角三角形的角特征是解题的关键．先根据三角形内角和以及角度比求出各角的度数，再依据角和边的特征判断三角形类型． 【详解】解：设三角形三个内角分别为，，． ∵三角形内角和为， ∴， 解得，则 ． 由此可知，有两个角相等（都是），根据“等角对等边”，这个三角形有两条边相等，按边分是等腰三角形；又因为有一个角是，按角分是直角三角形． 故答案为：等腰；直角 ． 题型三 三角形的三边关系 【例1】若a，b，c为的三边长，且满足，，则c的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求出第三边的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：∵a，b，c为的三边长，且满足，， ∴，即， 故选项A中数值5满足题意，选项B、C、D中的数值不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第三边长， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式1-2】如图是长治市部分行政区图，潞州区A 点和潞城区 B点的图上距离为，潞城区B点和平顺县C点的图上距离为，则A点和 C 点图上距离可能是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】该题考查了三角形的三边关系，根据题意可知A点、B点和 C 点形成三角形，符合三角形三边关系，据此求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴，即， 故A点和 C 点图上距离可能是， 故选：D． 【变式1-3】已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，4，x， ， 即． 故答案为：5(答案不唯一) 【例2】三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 即x的取值范围是． 故选：C 【变式2-1】若一个三角形三边长分别为2，3，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系得：， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键．第三边的取值范围是再根据不等式性质即可得出答案． 【详解】解：设三角形第三边为，则三角形的周长， ∵， ∴， 即：， 故答案为：． 【例3】现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（    ） A．都可以 B．只有可以 C．只有可以 D．都不可以 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形两边之和大于第三边．即可判断求解． 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，， ∴两根长度分别为分米和分米的细木条做一个三角形的框架，可以把分米的细木条分为两截． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， 故， 第三根木棒的长度是整数且不大于， 故，且x是正整数， 第三根木棒的长度是、、、、、， 小明最多可以拼出不同的三角形个数为个． 故选：C． 【变式3-2】把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设细木条中的每一份长度为，根据题意得到各选项中剪后得到的3根细木条的长度，分别利用三角形三边关系结合等腰三角形的定义解答即可． 【详解】解：设细木条中的每一份长度为， A、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； B、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成等腰三角形，符合题意； C、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； D、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成三角形，但不是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】用3根长度为整数的小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是 厘米，最短是 厘米． 【答案】 14 6 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此解答即可． 【详解】解：设第三根小棒的长度为厘米， 根据题意，可得，即， ∵第三根小棒的长度为整厘米， ∴第三根小棒的长度最长是14厘米，最短是6厘米． 故答案为：14，6． 题型四 三角形的高 【例1】下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．线段是的高，不是的高，不符合题意； B．线段是的高，不是的高，不符合题意； C．线段是的高，不是的高，不符合题意； D．线段是的高，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，边BC上的高是（   ） A．线段AE B．线段CD C．线段AF D．线段BF 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 边上的高是线段 故选：A． 【变式1-2】用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案． 【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点， 观察四个选项可知，只有选项B符合. 故选：B． 【变式1-3】如图，的边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，从顶点作的垂线段即为边上的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：边上的高是， 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 【变式2-1】如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，梯形面积的计算，理解图示中两个图形面积的关系，面积公式是解题的关键． 根据题意，三角形的面积和梯形的面积相等，根据三角形的面积公式，梯形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形面积是，高是， ∴， 解得，三角形底， 故选：B ． 【变式2-2】如图，在中，，若，，，则 ． 【答案】4.8 【分析】此题考查了和三角形高有关的计算，根据等面积法列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，，，， ，即， 解得，． 故答案为：4.8． 【变式2-3】如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积公式是解决本题的关键． 根据三角形面积公式，当是高，是底时，，当是高，是底时，，由此可求解． 【详解】解：当是高，是底时，的面积为， 当是高，是底时，也可表示为， ∴． 把，，代入上式， 可得，解得． ∴的长为12． 题型五 三角形的中线 【例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 【变式1-1】已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 【变式1-2】如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 【变式1-3】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，由三角形中线的定义可得，，进而根据周长即可求解，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．根据三角形的中线平分面积，推出即可求解． 【详解】解：点、分别为边、的中点， 、、分别为、、的中线， 根据三角形的中线平分面积可知：，，， ． 故选：B ． 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线及面积计算，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】是边上的中线，E，F是上的点，的面积是9，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质． 利用三角形中线的性质确定三角形面积的数量关系即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2-3】如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)和面积相等，理由见解析 【分析】本题考查了三角形面积的应用，关键利用等底等高的三角形面积相等来解决． （1）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，分别求出每个三角形的面积． （2）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，对两个三角形加以比较． 【详解】（1）解：为的中线， ， 又为中线， ． （2）和面积相等，理由如下， 为的中线． ， ， 即：和面积相等． 题型六 三角形的角平分线 【例1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 【变式1-1】关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线，所以三角形的角平分线是一条线段．故A选项不符合题意． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故B选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点，故C选项符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列叙述正确的是（   ） ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点 A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确． 故选：A． 【例2】如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“两直线平行内错角相等”及角平分线的性质是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理先求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用平行线的性质得结论． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， ， 故选：． 【变式2-1】如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 【变式2-2】如图，在中，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解∶ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义． （1）利用三角形的内角和定理解决问题即可； （2）根据“8字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”和“8字”． 故答案为． （3）证明：∵，， ∵和的平分线相交于点E， ， ∴， ∴． 题型七 三角形内角和定理的应用 【例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角的和等于，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， ， 故选：A． 【变式1-1】如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于．根据三角形的内角和定理求出，，即可求出答案． 【详解】解：，， ，， ， 故选：A． 【变式1-2】如图B在A处南偏西方向，C在A处南偏东方向，C在B处的北偏东方向，则的度数为 【答案】/85度 【分析】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．根据方向角的定义，可得，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，根据方向角的定义，可得 ∴， ∵，是正南正北方向， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，，O是内一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，掌握它是解题的关键；由三角形内角和可求出的度数，进而求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴． 【例2】如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据，推出，再根据，推出，最后利用求得面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-1】下列能断定为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．，，周长为6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．A、C选项先计算出另一个角，即可判断；B、根据三角形两边之和大于第三边，可判断其不能构成三角形；D，先求出另一条边，根据三角形两边之和大于第三边，可判断其不能构成三角形． 【详解】解：A、，， ， ， 为等腰三角形； B、，， 不能构成三角形； C、，， ， 为直角三角形； D、，，周长为6， ， 不能构成三角形； 故选：A． 【变式2-2】若的任意两个角都不相等，且其中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角称为该三角形的“倍角”．若一个“倍角三角形”有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数最大可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质及倍角三角形的定义，解本题的关键是要进行分类讨论． 通过分类讨论确定角的可能角色（倍角、被倍角或第三个角），进而求出倍角的最大值即可． 【详解】解：①设，则 此时第三个角为， 这与题干中“的任意两个角都不相等”矛盾，故排除； ②设，则， 此时第三个角为， 三个角度数分别为，均不相同，符合条件，此时； ③设第三个角为，则， ， ， 即， 解得：，， 三个角度数分别为，均不相同，符合条件，此时； 综上可得：“倍角”的度数最大可以为． 【例3】如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，再由等角的余角相等即可得出，即可判断①；证明即可判断②；由三角形内角和定理即可判断③；不一定为，即不一定成立，即可判断④；连接、，由平行线的性质即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵不一定为， ∴不一定成立，故④错误； 连接、， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②③⑤，共个， 故选：C． 【变式3-1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q．若恰好平分，且，则以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，延长交于，过点作，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推出，即可判断③④不一定正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，过点作， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴不一定平分；不一定平分，故③④错误； 综上所述，正确的是①②，共个， 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（　　） 甲：当点D在线段上时，； 乙：当点D在射线上时，的度数为或． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键在于分类讨论． 对于甲，先根据三角形内角和定理求出，再由平行得到，即可判断；对于乙：分两种情况讨论，利用平行线的判定与性质求解即可判断． 【详解】解：当点D在线段上时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲说法错误； 当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点在线段延长线上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上，当点D在射线上时，的度数为或，故乙说法错误， 故选：D． 【例4】如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 先根据三角形内角和定理计算出，再根据三角形的高和角平分线的定义得到，，于是可计算出，然后利用进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别是的高和角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，结合可得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）过A作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质以及角的和差关系可得出，设，根据角平分线的定义可求出，然后在中，根据三角形的内角和定理构造关于x的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过A作， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， 设，则， 由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式4-2】如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 【变式4-3】如图①，已知线段相交于点O，连接，我们把形如图①的图形称之为“对顶三角形”．如图②，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M，N． (1)仔细观察，在图②中有 个以线段为边的“对顶三角形”； (2)如图②，若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了“对顶三角形”的定义、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是根据“对顶三角形”的特征识别图形数量，利用三角形内角和与角平分线性质推导角度关系． （1）根据“对顶三角形”（两条线段相交形成，含公共交点且两边分属两条相交线段）的定义，找出以为边的三角形，再对应确定其对顶三角形，统计总数； （2）利用对顶三角形的内角关系（三角形内角和为，对顶角相等），结合角平分线定义得出等角关系，推导与、的数量关系，代入数值计算． 【详解】（1）解：根据“对顶三角形”的定义，以为边的“对顶三角形”有： 与、与,共4个， 故答案为：4； （2）和的平分线和相交于点P， ． ， ， ． ， ． 题型八 三角形外角的定义及性质 【例1】如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 【变式1-1】如图，为的边延长线上一点，在上，连接，交于．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握此性质是关键；由三角形外角的性质得的度数，再由三角形外角的性质即可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，P是内一点，延长交于点D．若，则 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 【例2】如图，的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，根据三角形外角的性质可知： ，，， ． 故选：A ． 【变式2-1】如图．等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2-2】如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角与外角，掌握“三角形内角和是180度”是解题关键． 根据分别为的一个外角，，，然后根据，结合三角形内角和为180度得出即可． 【详解】解：∵分别为的一个外角， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）220 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）因为是三角形的外角， 所以． 因为是三角形的外角， 所以． 故答案为；． （2）因为，， 所以． 故答案为；． （3）因为，， 所以． （4）根据三角形外角性质可得， ，． 因为， 所以． 所以． 故答案为：220． 【例3】下列说法正确的是（   ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； B．三角形的高就是顶点到对边的垂线； C．三角形的一个外角等于两个内角和； D．三角形的角平分线也就是角的平分线； 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的高，三角形的外角以及三角形的角平分线的定义，根据各自的定义一一判断即可得出答案． 【详解】解：．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原说法正确，故该选项符合题意； ．三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，原说法错误，故该选项不符合题意； ．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，不是任意两个内角的和，原说法错误，故该选项不符合题意； ．三角形的角平分线是线段，是三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段；而角的平分线是射线，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的基本概念，需逐一分析各选项的正确性。 【详解】A选项：每个顶点处有2个外角（互为对顶角），故三角形共有6个外角，而非3个，选项A错误，符合题意. B选项：每个顶点处相邻两边延长形成的两个角均为外角，因此每个顶点处确实有两个外角，选项B正确，不符合题意. C选项：外角的定义是与相邻内角构成邻补角（即两角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为），选项C正确，不符合题意. D选项：三角形共有个顶点，每个顶点处有个外角，总计个外角，选项D正确，不符合题意. 故答案为：A. 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在中，当，时，这个三角形是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线． 根据三角形高线的性质可判断①，根据三角形外角的性质可判断②③，结合三角形内角和定理可判断④，进而可求解． 【详解】解：①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，故①的说法错误； ②任意三角形的外角和都是，故②的说法正确； ③三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故③的说法错误； ④设为，则，，由得，故，为直角三角形，故④的说法正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选：B． 【例4】如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是关键； （1）由角平分线的定义得，结合得，由平行线的判定即可证明； （2）在中，由，可得，结合，可求得的度数，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∵， 解得：． ∵是的外角， ∴． 【变式4-1】如图，在中，点E在上，． (1)图1中，作的角平分线，分别交于D、F两点，求证：； (2)图2中，作的外角的角平分线，分别交的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）首先根据角平分线的性质可得，再根据内角与外角的性质可得，进而得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，再根据等量代换可得，然后再根据内角与外角的性质可得，进而得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， 又∵， ∴； （2）解：探究（1）中结论仍成立； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴． 【变式4-2】如图，已知在中，是高，是角平分线，是边中点，，． (1)求和的度数； (2)①若的面积为10，则的面积为______； ②若比的周长大3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【答案】(1)； (2)①5；②能；；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据外角性质求出结果即可；根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形的中线的概念得到，再根据的面积为10求出结果即可； ②根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， ∴， 是的角平分线，， ， ∴． （2）解：①是中点， ， ∵的面积为10， ∴； ②能，，理由如下： ∵，与的周长差为3， ， ， ， ， 【变式4-3】【阅读】 如图1，是的一个外角，我们知道，＋，又因为＋＋，所以＋．于是我们得到一个结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【理解】 如图2，在五角星形中，是的一个外角，所以＋． 同理，是的一个外角，可得＋． 所以：＋＋＋＋． 【应用】 如图3，，点、分别在、上运动，不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．试问：随着点、的运动，的大小会改变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 【答案】[理解]；[应用] 的度数不发生改变，为，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查三角形内角和，三角形外角，角平分线的定义．熟练掌握定义，用好等量代换是解决本题的关键． [理解] 是的一个外角，是的一个外角，即可求解； [应用] ，根据角平分线定义和三角形内角和进行等量代换即可； 【详解】解：[理解]是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， 故答案为：； [应用]的度数不发生改变，为，理由如下： 如图3，设与相交于点， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的度数不发生改变． 题型九 三角形的折叠问题 【例1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【变式1-1】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 【变式1-2】如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 【变式1-3】如图，在中，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为， ，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质等；由折叠性质得，，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ， ； 故答案为：． 【例2】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【变式2-1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十 判断是否是命题 【例1】下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【分析】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 题型十一 写出命题的题设与结论 【例1】“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【变式1-1】命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题中题设与结论的判断；用到的知识点为：所有命题都可以写成“如果 ……，那么……”，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题中“如果”后面是题设，“那么”后面是结论即可得答案． 【详解】解：如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论． 命题“如果，那么或”的结论是或， 故答案为：C． 【变式1-2】命题“对顶角相等”的题设和结论分别是 ． 【答案】两个角是对顶角；这两个角相等 【分析】本题考查了写出命题的题设和结论，熟练掌握题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角； 命题“对顶角相等”的结论是：这两个角相等． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 【例2】把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式2-1】把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 【变式2-2】将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题与定理，正确得出命题的题设和结论是解题的关键．​​​​​​​根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式2-3】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 题型十二 逆命题 【例1】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题， 先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案. 【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意； 因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意； 因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意； 因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意. 故选：B. 【变式1-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 【答案】 等腰三角形有两个角相等 真 【分析】本题考查命题与定理，掌握相关知识是解决问题的关键．交换命题的题设和结论后可得命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两个角相等，这个命题是真命题． 故答案为：等腰三角形有两个角相等，真． 题型十三 反证法及举反例 【例1】对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了如何正确举反例，举反例就是要符合题设不符合结论，根据这个进行举反例．对于要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子进行判断即可． 【详解】解：选项A：此时，不满足，排除； 选项B：此时，不满足，排除； 选项C：此时，且，结论成立，排除； 选项D：此时，满足，但，结论不成立； 因此，D是符合要求的反例． 故选：D ． 【变式1-1】为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键． 根据各选项中的值分别求出和，再找出在条件下，使得或成立的选项即可得． 【详解】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意； C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意； 故选：B． 【变式1-2】说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了判定命题真假的方法，根据时，解答即可；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， 此时a的平方不是正数， 命题“a的平方是正数”是假命题； 故答案为：0 【例2】用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【答案】A 【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可． 本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）． 【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于． 故选：A． 【变式2-1】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 【变式2-2】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 【例3】用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 【变式3-1】求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法的应用，假设或，然后根据题意证明出，即可证明． 【详解】证明：假设或， 则且或且或且． 当且时，， ， 这与矛盾． 同理可得当且或且时，， 这与矛盾， 假设不成立，因此且． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 题型十四 定理、证明与互逆定理 【例1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 【变式1-1】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 题型十五 全等三角形的定义与性质 【例1】已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴第一个三角形的边所对的角与第二个三角形的边所对的相等， ， 故选：D． 【变式1-1】在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和以及三个角的比例求出的度数，再利用全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【变式1-2】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【变式1-3】如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质． 根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而证明，可得，进而计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【例2】如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 【变式2-1】如图，已知与是对应角，与是对应边，，那么的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2-2】，如果，，，那么的长为 ． 【答案】9 cm 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题关键．由全等可得，即可求解． 【详解】解：与全等， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：，，，， ，， ， 的周长为． 故的周长为． 【例3】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 【变式3-1】如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 【变式3-2】如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 【变式3-3】如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 【答案】(1)； (2)2或3 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 题型十六 全等三角形的判定 【例1】如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行得到，再由，则由可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定；根据即可解答． 【详解】解：由图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选：D． 【变式1-2】如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，再证明，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点M，分别是，的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 故该零件的内径，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是， 故答案为：3，． 【例2】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．本题要判定，已知，，则，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：， ，即． A、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； B、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； C、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； D、添加，不能判定，故错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·四川资阳·期中）在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据“”，已知一个“”和“”，找出与“”相邻的另一个“”即可． 【详解】已知，， 要用“”证明， 则补充的这个条件是， 故选：B． 【变式2-2】如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，添加已知条件，利用“”证明即可． 【详解】解：添加已知条件， 则在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【例3】如图，在中，于D，于E，与交于点F．若，，，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“角边角”证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 【变式3-3】如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 根据同角的余角相等可得，根据可证≌，可得，即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【例4】如图，D为的边上一点，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及三角形内角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和等于及，求得，从而，再证明，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-1】如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先证明，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式4-2】如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【例5】是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-1】如图，，平分，证明．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义． 利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在与中， ∴． 【变式5-2】如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式5-3】如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先由等腰三角形得到 ，再由得到，最后结合即可证明． 【详解】证明：在等腰三角形中， ， ， ． 即． 又， ． 【例6】如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的全等三角形的判定方法有：，，，，，做题时需根据题意灵活运用． 根据题干所给条件分析推理即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，全等的三角形有4对， 故选：C． 【变式6-1】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和全等的图形是（   ） A．甲、丁 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据三角形全等的判定方法判断即可． 【详解】解：和甲两个三角形根据可以判定全等； 与乙只有一边一角对应相等，无法判定它们全等； 与丙两个三角形只有两条边对应相等，无法判定它们全等； 与丁三角形根据可以判定全等． 故选：A． 【变式6-2】如图，，是线段上的两点，，连接，则图中全等三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质找出所有全等图形即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， 同理可证 ∵在和中， ∴， ∴ 同理可证， ∴ ∵在和中， ∴， 则图中全等三角形共有6对， 故选：C． 题型十七 全等三角形模型与辅助线 【例1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式1-1】如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 题型十八 全等三角形综合题 【例1】如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【变式1-1】如图，在和中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．证明，根据全等三角形的性质即可判断①②③；根据三角形三边的关系和全等三角形的性质即可判断④． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ， ．故①正确； ， ． ， ， ， ． ；故②正确； ， ，故③正确； ∵，，， ∴④，故④错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的是①②④个． 故答案为：①②④． 【例2】如图，已知相交于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，得到，再证明即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2-1】如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，的边和的边在同一条直线上，， (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由平行得到，再根据外角证明，即可证明； （2）先证明，再根据证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴． ∴； （2）证明：∵ ∴即 在和中， ∴ ∴． 【变式2-3】如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析． (2)①，②，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）①先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出答案； ②在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明． 【详解】（1）解：∵分别为角平分线， ∴， ； （2）解：①， ， ∵分别为，角平分线， ∴， ； 故答案为：； ②，理由如下： 在边上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∴． 【例3】王明家所在的小区有一个池塘，如图，A，B两点分别位于该池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，王明从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后他测量点E到假山D的距离，得出的长度就是A，B两点之间的距离．试说明王明这样做的根据． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，从而可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ， ∴， ∴的长度就是A，B两点之间的距离． 【变式3-1】为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 【答案】楼高为米 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据题意得出米，通过证明，即可得出米． 【详解】解：根据题意可得：，米，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， 答：楼高为米． 【变式3-2】甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论． 【详解】证明：甲同学：在和中， ∵， ∴， ∴； 乙同学：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【答案】或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 【变式4-2】如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若， 则，， ， 解得，， 则． 若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 【变式4-3】如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 则； 故答案为：； （2）当时， 则， 故， 解得：； （3）①如图1，当，则，， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：秒）． ②如图2，当，则，． ， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：； 综上所述：当秒或秒时与全等． 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】(1)见解析 (2)图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直定义得，根据，得，进而可依据“”判定和全等； （2）①，先由（1）的结论得，，进而可依据“”判定和全等；②，先由得，，再证明，，进而可依据“”判定和全等；③，根据，，，可依据“”判定和全等；④和，先根据垂直定义得，再根据，，可依据“”判定和全等，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【变式5-1】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，，，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，所以，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，，再证明，故有，然后通过面积即可求证； 延长交于点，交的延长线于点，证明，，然后通过全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 延长交于点，交的延长线于点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，垂直且相等． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 在中，、边上的高、交于点，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证； （2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证； （3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】解：（1）因为的高、交于点， 所以，， 所以，， 因为， 所以． （2）在和中， 因为 所以， 所以． （3）．理由如下： 因为是的高，， 所以， 在和中， 因为 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 题型十九 三角形的稳定性及应用 【例1】下列图形具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．长方形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】具有稳定性的是三角形， 故选：A 【变式1-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 【变式1-2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 题型二十 尺规作图题 【例1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等． 【详解】解：利用基本作图和作图痕迹可知两个三角形中有三条边对应相等， 则证明全等的方法是． 故选：B． 【变式1-1】如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 【变式1-2】用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，先作一个角，再以为圆心为半径画弧，交于，交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则，，最后连接即可得到满足要求的． 【详解】解：如图，，其中，，． 【例2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角，据此选择即可． 【详解】解：本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角， ∴根据同位角相等，两直线平行． 故选：A 【变式2-1】（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 【答案】(1)见详解 (2)同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交直线a于点，交直线于点，再以点P为圆心，以为半径画弧，交直线于点，再以点E为圆心，为半径画弧，与前弧交于点A，连接，且所在的直线即为直线，即可作答． （2）根据作图过程，得出，故，即这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据作图过程，得出， 故， ∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 【变式2-2】尺规作图：如图，过点作直线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了经过直线外一点作已知直线的平行线，作一个角等于已知角，平行线的判定． 作，则可根据平行线的判定方法得到． 【详解】解：如图，为所作． 由作图可知， ∴ 【例3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得． 【详解】解：如图，设交于点H， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，，， (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后问题可求解； （2）由（1）作图可知，然后问题可求解 【详解】（1）解：线段的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴的周长． 【例4】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂线的画法． 首先作射线，截取，再作的中垂线，垂足为O，然后截取，再画腰即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式4-1】尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图的等腰三角形的画图方法，熟练掌握作图方法是解题关键． 尺规作，再以A为圆心，线段a为半径画弧，交的两边于，连接，即为所求． 【详解】解：已知：，线段a． 求作：，使得． 如图，即为所求． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作线段的垂直平分线、作两条线段相等等知识，先作线段，再作的垂直平分线，垂足为点，在垂直平分线上截取，即可作出等腰．解决此类题目的关键是熟悉五类基本尺规作图，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图所示： 等腰即为所求． 【例5】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的作法、全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用作法得到，，则根据全等三角形的判定方法可判断，然后根据全等三角形的性质得到，进而得到就是所求作的的角平分线． 【详解】解：如图所示，连接、， 由题可得，，， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线（角平分线定义）． ∴作图依据是“”， 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本作图，根据角平分线，中线，垂线的作图分别判断即可． 【详解】解：．通过做图可知是的角平分线，故该选项符合题意； ．通过做图可知，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的中线，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的高，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据作图可得平分，即可得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图可知，平分， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，，D是上一点（D与A不重合）． (1)尺规作图： 过点D作的垂线垂足为E．作的平分线交于点F，交于点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，垂线，平行线的判定和性质，等角对等边： （1）根据尺规作角平分线，作垂线的方法，作图即可； （2）先证明，得到，角平分线，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵为的平分线 ∴． ∴， ∴． 题型二十一 等腰三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角与平行线的性质是解决本题的关键． 由，可得，再根据，可得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】如图，在和中，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合等边对等角得，根据平行线的性质得，然后由等边对等角得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，，点D在边上．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关运算法则和等腰三角形的性质是解题关键． 先根据平行线的性质，得到，再利用等边对等角的性质，得出， 然后根据三角形内角和定理，求得，即可求出的度数． 【详解】， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【例2】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-2】如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则 ．    【答案】3.5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点F，由角平分线的定义可得，再证明得出，，求出，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：延长交于点F，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 答案：3.5． 【变式2-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一性质，由等腰三角形性质推出即可． 【详解】解：平分，， ． 【例3】如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边周长是18， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：3． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 利用等腰三角形的三线合一，得出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为． 【例4】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可． 【详解】解：，是的角平分线， ，，， ∵，， ∴，， ∴阴影部分的面积是面积的一半 ，， 阴影部分的面积． 故选：B． 【变式4-2】如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明，推出，根据题意易证是等腰三角形，根据三线合一得到，进而得到，利用的面积为即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为， 则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【例5】如图，已知，，和交于点O．求证： (1)； (2)为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定，得出答案即可． 【详解】（1）证明：在和中, ， ； （2）证明：∵， ∴， ， 即为等腰三角形． 【变式5-1】如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，． (1)求的度数； (2)取的中点E，连接并延长交于点F，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是关键． （1）由等腰三角形的性质得，由互补关系求得的度数，再由三角形内角和即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，由（1）所求及直角三角形的性质可求得的度数，再可求得的度数，由度数相等即可得． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明: ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，在和中，点D 在边上，，，与交于点 F. (1)求证：； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键. （1）根据，可得，即可证明； （2）根据等腰三角形的判定和性质求得即可解答. 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， . 题型二十二 等边三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 【变式1-1】如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证，再证是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【变式1-3】如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 【例2】如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2-1】如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先利用判定，求得，再证明是等边三角形，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 ． 【答案】/20度 【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的意义等知识，掌握这些知识是关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【例3】如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意证明出，得到，，然后结合折叠的性质得到，即可判断①；推出，证明出是等边三角形，即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；推出垂直平分线段，求出，得到，即可判断④；根据题意证明出，得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，，， ∴，故①正确； ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵将线段沿翻折得到线段 ∴垂直平分线段， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式3-1】如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ∴，， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质可以得出，就可以得出，通过证明就可以得出，可以得出是等边三角形就可以得出，就可以得出，由就可以得出，就可以得出，根据而得出结论． 【详解】解：∵ 和 都是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．故①正确； ∴． ∴ ． ∴是等边三角形． ∴， 即 ． ∴．故②正确； 又∵， ∴．故③错误； ∵， ∴．故④正确； ∵， ∴，即．故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【例4】如图，等边中，分别交于点D、E．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键． 先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式4-1】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-2】如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解； （2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论； （3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， ． （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ， 是等边三角形． （3）连接，如图： ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 【变式5-3】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），使，，设，． (1)如图1，当点D在线段上，且时， 度； (2)当： ①如图2，当点D在线段上时，求m与n间的数量关系； ②如图3，当点D在线段的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m与n之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②图见解析， 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据，得到即，从而证明，根据，，代入计算即可． （2）①根据，得到即，从而证明，得到，根据等腰三角形的性质，进行等量代换计算得即可；②补图后，仿照①的证明求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②如图所示， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 设线段和线段相交于点F． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 题型二十三 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式1-1】如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 【答案】10 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ， ∵的周长为 10 ， ， ， ∴线段的长为 10 ． 【例2】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：， ． ，N分别在，的垂直平分线上， ，． ，． ，， ． ． 故选：B． 【变式2-1】如图，已知在中，，敏敏通过尺规作图得到交于点O，连接，根据其作图痕迹，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查看尺规作图、垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握基本的尺规作图是解题的关键． 由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线，根据角平分线的定义可得 ，由垂直平分线的性质可得，运用等边对等角可得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴． 故选C． 【变式2-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． 由，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图,的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出、，进而得到，再结合三角形内角和与等腰三角形性质求出角度． 由线段垂直平分线性质得 、，故 ；进而推出、，得；结合 内角和求出，算出；最后用 内角和得． 【详解】解：∵点P在的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)， ∴ (等腰三角形两底角相等)． ∵点P在的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)， ∴ (等腰三角形两底角相等)． ∴． 在中,， ∴． 在中,． 故答案为：． 【例3】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，，，面积为24，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先连接，利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为6，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为6， ∴周长的最小值为． 故答案为：10． 【变式3-3】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ， ，， ∴， ∵为定值，两点之间线段最短， ∴当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小， ，点是的中点， ， ∴， ∴． 故答案为： ． 【例4】如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 【变式4-1】如图，在中，是的平分线，点E是边上一点，且，交于点F．下列结论正确的有（    ） ①；②和互相垂直平分；③是等腰三角形；④平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合角平分线的定义得，再证明，故，再根据，则是的垂直平分线，又因为，所以是等腰三角形，再结合等边对等角以及平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴； 故①是符合题意的； ∵， ∴ ∵， ∴是的垂直平分线， 故②是不符合题意的； ∵， ∴是等腰三角形， 故③是符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故④是符合题意的； 故选：C 【变式4-2】（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，结合题意，作出图形，由中垂线的判定与性质确定A正确；由等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质确定B正确；由全等三角形的判定与性质确定C正确；从而得到答案，熟记中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： ，， 是线段的垂直平分线，即， 故选项正确，不符合题意； B、如图所示： ，， 是等腰的角平分线， ， ，则； 故选项正确，不符合题意； C、如图所示： 由，，无法确定， 进而无法确定， 故选项错误，符合题意； D、如图所示： ，，， ，则； 故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【例5】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 【变式5-1】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 【变式5-2】如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，可得，再证明，可得，结合三角形的外角的性质可得结论． （2）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合（1）的结论求出的度数即可； （3）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（1）得：，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【例6】如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解； （2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-2】在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)44 (2)36° (3)24° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）、三角形内角和定理，等边对等角． （1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质分别求出、，计算即可； （2）仿照（2）的方法计算； （3）仿照（1）的方法计算． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ； （2）解：， ， ，， ； （3）解：， ， ． 基础巩固通关测 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 3．（2024·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180° B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性解答即可，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用到的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：D． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 8．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 9．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）由（）得为的垂直平分线，即得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理解答即可； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（）得，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·四川凉山·期末）如图1，△ABC是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于，连接．探究之间的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键． 延长至E，使得并连接，构造全等三角形，找到，再进一步证明，进而得到． 【详解】解：．理由如下： 如图：延长至E，使得并连接，    ∵是正三角形，是等腰三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 能力提升进阶练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合的条件确定的范围．本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是解题的关键． 【详解】解：∵ 三角形三边为，，， ∴ ，即． 又∵ ，也就是， ∴ 综合可得． 故选：． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 10．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，见解析 (3)或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质及判定，分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形； （2）根据全等可得，继而得到，即可求解； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形． （2）解：是直角三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ，， ， ． 是直角三角形． （3）解：是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，在中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②25 【分析】（1）证明，得出，，即可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可证明，根据等边对等角得出，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质即可求解； （3）①在上取点G，使，根据三角形外角的性质可证明，根据证明，得出，，根据三角形外角的性质可求出，根据等角对等边得出，结合，，可得出，即可得证； ②过F作于H，取中点G，连接，根据三角形的内角和定理，等边对等角可求出，，根据三角形的外角的性质可求出，进而求出，根据等角对等边得出，结合（3）①中可得出，根据证明，得出，，，等量代换得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质得出，进而求出，证明、都是等腰直角三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②∵， ∴，， ∵，， ∴； （3）在上取点G，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； ②当C、F、E三点共线时，如图，过F作于H，取中点G，连接， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴ 又，， ∴， ∴，，， 又， ∴， ∴ 又， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 1 / 211 学科网（北京）股份有限公司 $