专题04 二次根式化简的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题04 二次根式化简的四种考法 类型一、利用数轴化简二次根式 1．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 2．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：由数轴可知，，，则， ∴ ，故答案为：． 3．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 4．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． (1)　　，　　； (2)x表示的整数部分，y表示的小数部分，则　　，　　； (3)实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查非负数、二次根式、绝对值和无理数的估算等知识，掌握非负数的性质、二次根式的意义以及无理数的估算是解决问题的关键． （1）利用非负性的性质，即可求出答案； （2）估算的整数部分和小数部分即可； （3）根据数轴判断出，，再根据二次根式性质化简，最后根据绝对值性质化简即可． 【详解】（1）解：根据题意，∵， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 即， ∴的整数部分为11，即， 的小数部分为，即， 故答案为：； （3）解：根据数轴可得， ∴， ∴ ． 5（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：，， ∴，， ． 类型二、利用非负性化简二次根式 1．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 2．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 3．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 4．已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 类型三、双重二次根式化简 1．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 5．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中的方法变化为即可求出答案； （2）根据题中的方法变化为即可求出答案； （3）先得到，再求出即可得到答案． 【详解】（1）解：中，，， 由于，即，， ∴， （2）在中，这里，， 由于，即，， ； （3）中，这里，， 由于，即，， ， ∴． 6．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 7．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 类型四、分母有理化 1．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)根据以上材料，化简 ①② (2)化简：． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）①分子分母同时乘以，即可求解； ②按照题意把原式变形为，再利用平方差公式得到，据此可得答案； （2）先分母有理化得到，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：（为正整数） ， ∴ ． 2．我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键． （1）由题干例子即可完成； （2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 3．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 4．阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)2015 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式化简的四种考法 类型一、利用数轴化简二次根式 1．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 2．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    3．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 4．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． (1)　　，　　； (2)x表示的整数部分，y表示的小数部分，则　　，　　； (3)实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 5（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 类型二、利用非负性化简二次根式 1．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，求值． 类型三、双重二次根式化简 1．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 5．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 6．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 7．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 类型四、分母有理化 1．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)根据以上材料，化简 ①② (2)化简：． 2．我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 3．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 4．阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $