专题05 新定义下的整式加减运算问题（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题05 新定义下的整式加减运算问题 1．定义一种运算：，其中k是正整数，且表示非负实数的整数部分，例如．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．据新定义分别计算出，，由此可得a的值分别为1、2、3、4、5，且从序号1开始，每5个一循环，由于，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得， ∴从序号1开始，每5个一循环， ∵， ∴． 故答案为：5． 2．一个三位自然数，百位数字比个位数字多1，十位数字为8，则称这个数为“十八数”．则最大的“十八数”是 ．若是“十八数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是7的倍数．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，数的整除，根据新定义，先求得最大的“十八数”是设，则，根据与的差是7的倍数．得出是的倍数，根据，即可求解． 【详解】解：∵百位数字比个位数字多1，十位数字为8，则称这个数为“十八数”．则最大的“十八数”是 设， 则， ∵，与的差是7的倍数． ∵， ∴是的倍数， 又∵ ∴，是的倍数， ∴ 故答案为：，． 3．一个两位自然数，若它各位数字互不相同且均不为，各位数字之和小于，则称为“小九数”．将的各个数位上的数字相加所得的数放在的前面，得到一个新数，那么称为的“前置小九数”，记，例如：时，各位数字不互相等且均不为，，故是“小九数”，此时，，若一个“小九数”满足是的倍数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减，同时考查的数的表示方法．根据定义先计算的“前置小九数”，然后根据定义计算即可； 先根据两位数的表示方法设这个两位数的十位数字和个位数字分别为，，表示出这个两位数，进而正确表示对应的“前置小九数”，最后用，表示对应的，把能写成的倍数的部分写成的倍数，根据条件满足是的倍数可得剩余的部分也需是的倍数，然后根据条件进行讨论即可． 【详解】解：设的十位数字为，个位数字为，则， 是“小九数”， ，， ， 满足是的倍数， 是的倍数， 要使尽可能的大，则需十位数字尽可能大，则尽可能小， 当时，，满足是的倍数，为， 当时，，满足是的倍数，为， 当时，，满足是的倍数，为， 当时，，满足是的倍数，为，再继续算可得数不是小九数，或数较小， 综合所述最大为． 故答案为： 4．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 【答案】 116 531 【分析】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．按照的定义计算即可；设，则，由题可得，由能被4整除，即是4的整数倍，得到，b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【详解】解：； 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被4整除， ∴是4的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：116；531． 5．一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数子比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“乐和数”，如数， 且， ∴是“乐和数”， 如数， ∵， ∴不是“乐和数”，则最小的“乐和数”为 ；将“乐和数”N的千位、十位上的数字交换位置， 百位、个位上的数字也交换位置， 得到一个新数， 记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被9整除，则满足条件的N的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，根据乐和数的定义可得出各数位上最小的数，分别求出及，根据能被9整除，即可得解． 【详解】解：设这个四位数为，则，当最小为1时，最小为4；最小为1时，最小为2， 所以，最小乐和数为；； 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴能被9整除， ∴能被9整除， ∵， ∴能被9整除， 要使最大，则最大，即最大， 当取最大数6时，能被9整除， 则可取最大数3， ∴取最大数为9，取最大数为6， ∴满足条件的N的最大值为． 故答案为：；． 6．如果三位数，满足，则称m为“丰美数”，交换m百位数字与十位数字得到新数，记，则 ；已知n为“丰美数”，且为7的倍数，则n的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 50 802 【分析】本题是新定义型，主要考查整式加减的运算，明确“丰美数”的特征是解题的关键． 根据“丰美数”的定义得，，要使最大，则、b、c的取值尽可能大，即可求得n的最大值为970；要使最小，则、b、c的取值尽可能小，n的最小值为178；即可求解． 【详解】解：∵三位数， ∴交换m百位数字与十位数字得到新数， ∵， ∴； ∵n为“丰美数”， ∴ ∵为7的倍数， ∴设 ∴ ，，且a、b、c为整数， 要使最大，则、b、c的取值尽可能大， ∵ ∴， ∴当，， 时，此时，不是7的倍数， 当，， 时，此时，不是7的倍数， 当，， 时，此时，不是7的倍数； 当，， 时，此时，不是7的倍数； 当，， 时，此时，不是7的倍数； 当，， 时，此时，是7的倍数； ∴n的最大值为940； 要使最小，则、b、c的取值尽可能小， 当，， 时，此时，不是7的倍数， 当，， 时，此时，不是7的倍数， 当，， 时，此时，不是7的倍数， ∴n的最小值为138； ∴n的最大值与最小值的差为； 故答案为：50；802． 7．中考新考法•过程性学习观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 根据所给的等式的形式，不难总结第个等式为：，再利用相应的规律进行求解即可． 【详解】解：第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式；； 第五个等式：； …… 第n个等式为：； ， ， 原式 故答案为：；；2024． 8．一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数”是 ；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最大值为 ． 【答案】 1221 9229 【分析】此题考查了整式加减的应用，理解新定义“对称数”是解题关键．根据“对称数”的定义可直接得出最小的“对称数”； 设“对称数”，则，根据题意可得，结合能被7整除，则是7的倍数，A的最大值，即可得到a，b的值． 【详解】解：由“对称数”的定义可知最小的“对称数”为1221； 设“对称数”， 则， ∴ ∵能被7整除，A最大，各数位上的数字不完全相同且均不为0， ∴当时，A的最大值为9229． 故答案为：1221，9229． 9．三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．找到一般规律即可解决问题．根据依次求出，，，，然后得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：当时， 第一次操作：最大数为1，操作后得到； 第二次操作：最大数为，操作后得到； 第三次操作：最大数为0，操作后得到； 第四次操作：最大数为0，操作后得到； 第五次操作：最大数为，操作后得到； 后续规律：操作进入循环，周期为3， ∵， ∴． 故答案为：． 10．若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“弗玖数”，对于一个“弗玖数”P，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数Q：记，则 ，对于一个“弗玖数”P，若能被5整除，则满足条件的“弗玖数”P的最小值是 ． 【答案】 74 414 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据题意，得到，，代入中，得到结果；设，，得到，若能被5整除，则有能被5整阶除，从而得到结果． 【详解】解：，， ∴， 设，， ∴ ， ∵正整数的三个数字相加的和为9， ∴， ∴， ∴， ∵能被5整除， ∴能被5整除， 又∵， ∴能被5整阶除， ∵，且为整数， ∴， ∵满足条件的“弗玖数”P取最小值， ∴，， ∴满足条件的“弗玖数”P的最小值是414． 故答案为：74，414． 11．对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．①请写出一个四位数“平衡数”是 ；②对任意一个“平衡数”，将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数，记．若，是“平衡数”，且的千位为，的个位为，当时，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键． （1）根据题意，写一个满足条件的“平衡数”即可； （2）设的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，根据“平衡数”的定义及可求出，设B的百位数字为，十位数字为，则千位数字为，并得出，最后根据求出与的关系，即可求出的最大值． 【详解】解：（1）随意写一个满足条件的四位数“平衡数”就可以， 这里写了， 因为其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， 故答案为：； （2）设的百位数字为，十位数字为，则个位数字为， 根据题意得：， 则， 设的百位数字为，十位数字为，则千位数字为， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 为十位上的数字，最小取， 的最大值为， 则的最大值为， 故答案为： 12．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求 ． 【答案】19 【分析】本题考查的是整式加减的应用，理解新定义及其运算方法是解题的关键．设，则，然后根据的定义计算的值． 【详解】解：∵m，n都是“互异数”，且， ∴设，则， ∴ ， 故答案为：19． 13．如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 【答案】 7 【分析】本题考查新定义的数、列代数式、整式的四则混合运算的应用等知识点，理解“迥异数”的定义成为解题的关键． （1）根据题意直接将数值代入即可； （2）根据题意写出“迥异数”是含有m、n的式子，然后再根据题意列代数式化简即可． 【详解】解：（1）． 故答案为∶7． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则， 所以． 故答案为：． 14．信息1：新定义：将线段的两端点标注不同颜色，就称此线段为双色点线段，如图，已知线段上有n个点，依次记为点，，，…，且每个点都标上了红色或蓝色，并且线段的两端颜色不同，已知点与的颜色不同，在，，中有m条双色点线段． 信息2：观察下面三行数字： ①2，，8，，32… ②7，，25，，97… ③，9，，33，… 取每一行的第6个数，依次记为A，B，C，则 ；取每一行的第m个数（与信息1中m代表的数相同），依次记为A，B，C，其中最大数与最小数的差为 ．（用含m的式子表示） 【答案】 （m为奇数且）或3（m为偶数） 【分析】本题考查了数字规律问题，发现数列中数字之间的规律是解题的关键． 根据题意求出每一行的规律，然后依次求出A，B，C的值，按照m的取值范围分类讨论求解即可． 【详解】解：信息1：线段上每遇到一次颜色变化，就有一条双色点线段 ∵点与的颜色不同 ∴双色点线段数量等于颜色变化次数，即m， 信息2：根据题意得， 第①行的第n个数表示为， ∴第6个数为； 第②行数列：为， ∴第6个数为； 第③行数列为， ∴第6个数为， ∴； 对于第m个数且，， 当m是奇数时且时，，最大数与最小数的差为， ∴最大数与最小数的差为； 当m是偶数时，，最大数与最小数的差为． 综上，最大数与最小数的差为（m为奇数且）或3（m为偶数）． 故答案为：，（m为奇数且）或3（m为偶数）． 15．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对”的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：（1），， ，， ， 成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”， ∴是“相伴有理数对”的有； （2）∵是“相伴有理数对”， ， ， 故答案为：， 16．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取（如图所示），第1次，第2次，第3次，…．若取，则第2025次“”运算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：由题意知，当时，第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， ∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4， ， ∴第2025次“”运算的结果是4， 故答案为：4． 17．数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，a是不为的数，他们把称作a的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”，是的“和倒倍数”，……依次类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式变化的规律，能根据题意用含n的代数式表示出是解题的关键．依次求出，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，且是的“和倒倍数”， 所以， 依次类推， ， ， ，…， 所以（n为大于1的整数）． 当时， 故答案为：． 18．定义表示非负数x的整数部分，比如，，，现在有一列非负数，，，…，已知，当（n为正整数），，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，规律探究，规律为从开始，每个为一组，、、、为第一组，此后每组的个数是连续自然数，同时比前一组增加，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 从开始，每个为一组，、、、为第一组，此后每组的个数是连续自然数，同时比前一组增加， ， 在第组的第个数， ， ； 故答案为：，． 19．对任意一个三位数n，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得 对调百位与个位上的数字得 对调十位与个位上的数字得这三个新三位数的和为，，所以． ① ； ②若都是“相异数”，其中 (，都是正整数)，规定：，当时， 则k的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，和新定义运算，理解“相异数”的概念及的算法是解题的关键． 根据的算法进行计算即可； 根据的算法得出，，再由得出，列出符合题意的的取值，即可得出k的最大值． 【详解】①对调的任意两个数位上的数字得，， 三个新三位数的和为， ． ②都是“相异数”， ， 对调的任意两个数位上的数字得， 三个新三位数的和为， ， 对调的任意两个数位上的数字得， 三个新三位数的和为， ， ， ， ， ，， ， 或或或， ， 或或或，时，最大，最大为． 20．数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，x是不为－1的数，他们把称作x的“和倒倍数”．如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”， 是的“和倒倍数”，…，依次类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的规律问题，根据题意用含n的代数式表示出是解题的关键；依次求出，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：因为，是的“和倒倍数”， 所以， ， ， ， …… ∴，其中n为大于1的正整数； 当时，； 故答案为：． 21．定义数组的T变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次T变换后得到数组； ②第2次T变换后得到数组；…… 则数组第4次T变换后得到的数组中所有数的和为 ； 若一组有理数，这组数经过2024次T变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为 ．（用含有a，b的式子表示并化简） 【答案】 36 / 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给变换方式发现每次变换后数组中各数之和的变化规律是解题的关键．根据所给变换方式，依次进行计算，发现规律即可． 【详解】解：由题知， 数组第1次T变换后得到的数组为，数组中所有数的和为：； 数组第2次T变换后得到的数组为，数组中所有数的和为：； 数组第3次T变换后得到的数组为，数组中所有数的和为：； 数组第4次T变换后得到的数组为，数组中所有数的和为：． 当一组有理数为时， 第1次T变换后，这组数的和为：； 第2次T变换后，这组数的和为：； 第3次T变换后，这组数的和为：； …， 由此可见，每次T变换后，所得数组的和增加， 所以2024次T变换后，这组数组的和为：． 故答案为：36，． 22．有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索；根据所给计算方式炸出规律是解题的关键． 分别计算第一次操作所得数的和、第二次操作所得数的和；找出规律即可求解． 【详解】解：由题可得：原来这行数的和为：； 令原来四个数分别为，，，， 原来这行数的和为：； 第一次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第一次操作所得数的和为原来这数行的和加上首数与尾数的差， ∴第一次操作所得数的和为：； 令第一次操作所得数为：，，，，，，， 第一次操作所得数的和为：， 则第二次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：； …， 所以第次操作所得数的和为：； 当时，； 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 当时，， 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为． 故答案为：，． 23．一个两位自然数，若它各位数字互不相同且均不为0，各位数字之和小于9，则称为“小九数”．将的各个数位上的数字相加所得的数放在的前面，得到一个新数，那么称为的“前置小九数”．记，例如：时，各位数字互不相等且均不为0，，故25是“小九数”，此时，．请计算 ；若一个“小九数” 满足是7的倍数，则的最大值为 ． 【答案】 768 62 【分析】此题主要考查的新定义问题，同时考查的数的表示方法．根据定义先计算34的“前置小九数”，然后根据定义计算即可； 先根据两位数的表示方法设这个两位数的十位数字和个位数字分别为，，表示出这个两位数，进而正确表示对应的“前置小九数”，最后用，表示对应的，把能写成7的倍数的部分写成7的倍数，根据条件满足是7的倍数可得剩余的部分也需是7的倍数，然后根据条件进行讨论即可． 【详解】解：， 是“小九数”， 的“前置小九数”为734， ． 设的十位数字为，个位数字为，则， 是“小九数”， ，， ， 满足是7的倍数， 是7的倍数， 要使尽可能的大，则需十位数字尽可能大，则尽可能小， 当时，，满足是7的倍数，为31， 当时，，满足是7的倍数，为62， 当时，，满足是7的倍数，为23， 当时，，满足是7的倍数，m为，再继续算可得数不是小九数，或数较小， 综合所述最大为62． 故答案为：768；62 24．有依次排列的3个数：，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算得到第n次操作后得到新数串的所有数之和的规律是解题的关键．设可得第n次操作后得到新数串的所有数之和是，当时，即为所求． 【详解】解：设， 第一次操作后得到新数串的所有数之和是：， 第二次操作后得到新数串的所有数之和是：， …， ∴第次操作后得到新数串的所有数之和是：， 故答案为：． 25．对于任意一个三位数或四位数，若m所有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义，那么 ；现有实数，，，满足式子能被7整除，求： ． 【详解】解：∵， ∴； ∵，，所有数位上的数相等， ∴，， ∴， 又∵能被7整除， ∴能被整除， 又∵， ∴当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， ∴， 26．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 【答案】4160 【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】由题意得： ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ∴，， ， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ∴ ∴ 故答案为：4160． 27．对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数N，记．若A，B是“平衡数”，且A的千位为5，B的个位为7，当时，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，根据“平衡数”的定义及可求出，设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，并得出，最后根据求出a与b的关系，即可求出的最大值． 【详解】解：设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d， 根据题意得：， 则． 设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c， 同理可得：， ∵， ∴． ∴． ∵a为十位上的数字，a最小取0， ∴b的最大值为3． 则的最大值为3+7=10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键． 28．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是 ． 【答案】 171 【分析】按照的定义计算即可；设,则,由题可得，由能被8整除，即是8的整数倍，得到，即b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【详解】解：， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被8整除， ∴是的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键． 29．一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，其中、、、互不相同且均不为0，小明发现部分满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数，，3762是“小明数”．最大的“小明数”是 ；去掉十位数字得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减；根据最小的“小明数”千位为，进而得出根据、、、互不相同且均不为0，得出，则，根据题意，，由是正整数，得出能被整除，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 当时，最大， ∴， ∵、、、互不相同且均不为0， ∴最大时，，则 ∴最大的“小明数”是； 依题意， ∵ ∴ ∵为正整数 ∴能被整除， 设 当时，，无正整数解， 当时，，无正整数解， 当时，，无正整数解，， 当时，，， 当时，，此时最小， ∴最小的“小明数”是 故答案为：，． 30．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以．则= ；对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，则满足条件的m的最大值是 ． 【答案】 189 711 【分析】本题主要考查新定义的整式运算，根据题意得为“天长数”，得到，根据定义计算即可；设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，，那么，结合题意得能被11整除，且a和b可能为1至7中数的任意一个，则，那么，只能为和22分别计算其对应值即可． 【详解】解：∵， ∴为“天长数”， 当时，， ∴； 设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，， 则， ∵， ∴ ， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵各个数位上的数字均不为0， ∴a和b可能为1至7中数的任意一个， 则， ∴ ∴， （1）当时，，则， 若，则，；若，则（舍去）；若，则（舍去）；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （2）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （3）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （4）当时，， 若，则，， ∴满足题意得； ， 最大的m是711． 故答案为：189，711． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 新定义下的整式加减运算问题 1．定义一种运算：，其中k是正整数，且表示非负实数的整数部分，例如．若，则的值为 ． 2．一个三位自然数，百位数字比个位数字多1，十位数字为8，则称这个数为“十八数”．则最大的“十八数”是 ．若是“十八数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是7的倍数．则的值是 ． 3．一个两位自然数，若它各位数字互不相同且均不为，各位数字之和小于，则称为“小九数”．将的各个数位上的数字相加所得的数放在的前面，得到一个新数，那么称为的“前置小九数”，记，例如：时，各位数字不互相等且均不为，，故是“小九数”，此时，，若一个“小九数”满足是的倍数，则的最大值为 ． 4．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 5．一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数子比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“乐和数”，如数， 且， ∴是“乐和数”， 如数， ∵， ∴不是“乐和数”，则最小的“乐和数”为 ；将“乐和数”N的千位、十位上的数字交换位置， 百位、个位上的数字也交换位置， 得到一个新数， 记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被9整除，则满足条件的N的最大值为 ． 6．如果三位数，满足，则称m为“丰美数”，交换m百位数字与十位数字得到新数，记，则 ；已知n为“丰美数”，且为7的倍数，则n的最大值与最小值的差为 ． 7．中考新考法•过程性学习观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 8．一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数”是 ；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最大值为 ． 9．三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 10．若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“弗玖数”，对于一个“弗玖数”P，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数Q：记，则 ，对于一个“弗玖数”P，若能被5整除，则满足条件的“弗玖数”P的最小值是 ． 11．对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．①请写出一个四位数“平衡数”是 ；②对任意一个“平衡数”，将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数，记．若，是“平衡数”，且的千位为，的个位为，当时，则的最大值为 ． 12．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求 ． 13．如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 14．信息1：新定义：将线段的两端点标注不同颜色，就称此线段为双色点线段，如图，已知线段上有n个点，依次记为点，，，…，且每个点都标上了红色或蓝色，并且线段的两端颜色不同，已知点与的颜色不同，在，，中有m条双色点线段． 信息2：观察下面三行数字： ①2，，8，，32… ②7，，25，，97… ③，9，，33，… 取每一行的第6个数，依次记为A，B，C，则 ；取每一行的第m个数（与信息1中m代表的数相同），依次记为A，B，C，其中最大数与最小数的差为 ．（用含m的式子表示） 15．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 16．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取（如图所示），第1次，第2次，第3次，…．若取，则第2025次“”运算的结果是 ． 17．数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，a是不为的数，他们把称作a的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”，是的“和倒倍数”，……依次类推，则 ． 18．定义表示非负数x的整数部分，比如，，，现在有一列非负数，，，…，已知，当（n为正整数），，则 ， ． 19．对任意一个三位数n，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得 对调百位与个位上的数字得 对调十位与个位上的数字得这三个新三位数的和为，，所以． ① ； ②若都是“相异数”，其中 (，都是正整数)，规定：，当时， 则k的最大值为 ． 20．数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，x是不为－1的数，他们把称作x的“和倒倍数”．如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”， 是的“和倒倍数”，…，依次类推，则 ． 21．定义数组的T变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次T变换后得到数组； ②第2次T变换后得到数组；…… 则数组第4次T变换后得到的数组中所有数的和为 ； 若一组有理数，这组数经过2024次T变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为 ．（用含有a，b的式子表示并化简） 22．有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 23．一个两位自然数，若它各位数字互不相同且均不为0，各位数字之和小于9，则称为“小九数”．将的各个数位上的数字相加所得的数放在的前面，得到一个新数，那么称为的“前置小九数”．记，例如：时，各位数字互不相等且均不为0，，故25是“小九数”，此时，．请计算 ；若一个“小九数” 满足是7的倍数，则的最大值为 ． 个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 25．对于任意一个三位数或四位数，若m所有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义，那么 ；现有实数，，，满足式子能被7整除，求： ． 26．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 27．对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数N，记．若A，B是“平衡数”，且A的千位为5，B的个位为7，当时，则的最大值为 ． 28．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是 ． 29．一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，其中、、、互不相同且均不为0，小明发现部分满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数，，3762是“小明数”．最大的“小明数”是 ；去掉十位数字得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是 ． 30．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以．则= ；对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，则满足条件的m的最大值是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $