专题06 与线段有关计算的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题06 与线段有关计算的四种考法 类型一、动点运动时间问题 1．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【分析】（1）分两种情况：点C在线段上，点C在线段的延长线上，进行讨论即可求解； （2）①分两种情况：点Q在点D的左侧，点Q在点D的右侧，利用中点的定义和线段的和差列出方程即可求解； ②分三种情况：点P，R相遇前；当点P，R相遇后，且点P到达点B前；当点P，R相遇后，且点P到达点B后，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点C在线段上， ∵，， ∴； 点C在线段的延长线上， ∵，， ∴ ∴． 综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧， 依题意有， 解得； 点Q在点D的右侧， 依题意有， 解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知： ∵点D在线段上，， ∴， 点P，R相遇时， ， 解得， 点P，R相遇前，即当时，，， ， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，， ； 点P到达点B时，， 解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时， ， ， 点P，R相遇后，即当时， ， ， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时， 依题意有， 解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有， 解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有， 解得． 综上分析可知：或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和线段的和差，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 2．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 3．已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及两点间的距离，分类讨论和正确列出方程是解题的关键． （1）利用中点的推出即可求出答案； （2）分两种情况讨论，点B在点C的左侧或点B在点C的右侧，结合图形，列式可求出答案即可； （3）运动秒后，，从而可推，，由可得方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2）如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， 综上，的长为或； （3）运动秒后，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点，∴， 又∵， ∴，或， 由得：或， 解得：或． 4．点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 类型二、求线段的长/比值 1．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，绝对值的应用，运动问题，分类思想，有理数的计算，熟练掌握线段的关系，绝对值的计算是解题的关键． 3．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 4．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 类型三、线段之间数量关系问题 1．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    2．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 类型四、线段定值问题 1．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 2．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 3．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 4．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 5．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，，∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20． ①若，求点对应的数； ②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】①点对应的数为：；②当秒或60秒时恰好满足；③不变，值为30． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． ①根据，，得出，利用点对应的数是20，即可得出点对应的数； ②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况讨论，得出方程求出即可； ③假设经过的时间为，得出，，进而得出的长为，得出原题得证． 【详解】解：①，， 所以， 点对应20， 点对应的数为：； ②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当在右边时，恰好满足， ， 解得：； 当在左边时，恰好满足， ， 解得：； ∴当秒或60秒时恰好满足； ③的值不发生变化．理由如下： 设经过的时间为， 则，， 于是长为， 长的一半则是， 所以长为：， 又， 所以为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与线段有关计算的四种考法 类型一、动点运动时间问题 1．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 2．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 3．已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 4．点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 类型二、求线段的长/比值 1．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 2．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 3．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 4．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 类型三、线段之间数量关系问题 1．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 2．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 类型四、线段定值问题 1．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 2．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 4．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 5．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 6．已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20． ①若，求点对应的数； ②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $