第1-4期(3) 第十五章 轴对称-【数理报】2025-2026学年新教材八年级数学同步测评（人教版2024 云南专版）

数理报① 夯实基础 第十五章 轴对称 》 15.1.1轴对称及其性质 知识提要：轴对称图形、关于直线成轴对称的概念和性质 新知导学 :AD∥BC.若∠D=120°，求∠B的度数， 1.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够 这个图形就叫作 ,这条直线就是它的对称轴， 2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 图2 它能够与另一个图形 那么就说这两 个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图 形关于这条直线对称 Q巩固练习 3.(1)成轴对称的两个图形 6.如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，点C与 (2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的点B关于DE成轴对称，连接BE,已知∠ABE= 线段被对称轴 3∠EBD,则∠C的度数是 () ◆基础练习 A.30° B.20° C.18o D.16 1.在现实世界中，对称现象无处不在，中国 的方块字中有些也具有对称性.在下列文字中， 其中是轴对称图形的是 ( D 盛 世 中 国 图3 图4 A B D 7.如图4，AD所在直线是△ABC的对称轴， 2.下列从图形I到图形Ⅱ的变换，属于轴：点E,F是AD上的两点，若BD=3,AD=5,则图 对称的是 中阴影部分的面积是 8.如图5，△ABC和△ADE关于直线MN对 称，BC和DE的交点F在直线MN上 A D (1)若ED=15,BF=9,求EF的长： 3.我国国旗上的五角星有 条对称 (2)若∠B=35°，∠E=65°，∠BAE= 轴 16°，求∠BFN的度数 4.如图1，△ABC和 △AB'C'关于直线I对称，I 交CC'于点D,若AB=4, B'C'=2,CD=0.5,则五 边形ABCC'B'的周长为 B 图5 CD C 图1 5.如图2，直线1是四边形ABCD的对称轴， 23 典夯实基础 数理极° 15.1.2线段的垂直平分线 知识提要：线段的垂直平分线的性质与判定，互逆命题与互逆定理 仙新知导学 5.如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D,EF 垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD 1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个 =DE,连接AE 端点的距离 (1)求证：AB=EC; 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线 (2)若△ABC的周长为20cm,AC=9cm, 段的 上 求DC的长， 3.两个命题的题设、结论正好相反，具有这 种关系的两个命题叫作 如果把其中 一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 Q B D E 4.如果一个定理的逆命题经过证明是真命 图3 题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 其中一个定理叫作另一个定理的 Q巩固练习 基础练习 6.元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC 三个顶点的位置上.游戏时，要求在他们中间放 1.如图1，AC垂直平分 一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公 BD,若AB=4,则AD的长 平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC 是 () 的 () A.2 B.4 B A.三边垂直平分线的交点 C.6 D.8 图1 B.三条角平分线的交点 2.定理“角的平分线上的点到角两边的距 C.三边中线的交点 离相等” (填“有”或“没有”)逆定理。 D.三边上高的交点 3.如图2，在△ABC D 7.如图4，在△ABC中，AB边的垂直平分线 中，分别以点A和点B为卡 L1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于 圆心，大于24B的长为 点E,l1与l2相交于点0，连接OA,OB,0C,若 图2 半径作弧，两弧相交于点M,V,作直线MN,交 △ADE的周长为8cm,△OBC的周长为18cm. AC于点D,交AB于点E,连接BD.若AB=7,AC (1)求线段BC的长； =12,BC=10,则△BCD的周长为 (2)求证：点O在线段BC的垂直平分线上； 4.请写出下列命题的逆命题 (3)求线段OA的长 (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这 个整数能被5整除； (2)直角三角形的两个锐角互余 图4 24 数理报① 夯实基础 15.2画轴对称的图形 知识提要：关于x轴或y轴对称的图形 仙新知导学 。巩固练习 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 6.如图3是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶 剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 置在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2， 0),(4,0),(0.5,4),则点D的坐标为() 基础练习 A.(3.5,4) B.(5.5,4) C.(5,4) D.(6,4) 1.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于 y轴对称的点的坐标是 ( A.（2,3) B.(-2,3) C.（-3,2) D.(-2,-3) 2:5 2.如果点P(2,b)和点Q(a,3)关于x轴对 B 称，则a+b的值是 ( ) 图3 图4 A.1 B.-1 C.5 D.0 7.墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个 3.若点M(2m-1,1+m)关于y轴的对称点 数字式电子钟.如果在镜子里看到该电子钟的 M'在第二象限，则m的取值范围是 时间显示如图4所示，那么它的实际时间是 4.如图1，将下列图形补成关于直线1对称 ( 的图形 A.12:51 B.15:21 C.15:51 D.12:21 8.在图5-①中描涂2个小方块，在图5- ②中描涂3个小方块，在图5-③中描涂4个小 方块，分别使图中的阴影图案为轴对称图形 图1 5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图 2所示 (1)写出下列各点的坐标：A B :C ① ② ③ (2)画出△ABC关于x轴对称的图形 图5 △A'B'C (3)△A'B'C的面积为 拓展练习 9.在如图6所示的正 方形网格中，画出格点 △DEF,使得△DEF与 12345x △ABC成轴对称，则不同位 置的△DEF有 () B A.3个 B.4个 图6 图2 C.5个 D.6个 25 夯实基础 ①数理极° 15.3.1等腰三角形 知识提要：等腰三角形的性质与判定 新知导学 巩固练习 1.(1)等腰三角形的两个底角 6.如图5，在△ABC中，AB= (2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平AC,∠A=30°，以点B为圆心，BC 分线 为半径作弧，交AC于点D,连接 2.有两个角 的三角形是等腰三角；BD,则∠ABD的度数为 ( 形 A.60° B.45° ◆基础练习 C.40° D.30° 图5 7.如图6，在△ABC中，D是AB上的一点，且 1.已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一AD=AC,DE∥BC,DC平分∠EDF.求证：AF垂 个底角的度数是 ( 直平分CD. A.40° B.50° C.70° D.100° 2.如图1，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,BD=6,则BC的长为 A.8 B.12 C.16 D.18 B 50 图6 B D 人80 图1 图2 3.如图2，一张三角形纸片被不小心撕掉一 个角，则这个三角形是 ( 拓展练习 A.直角三角形 B.钝角三角形 8.明明用两个全等的等腰三角形设计了一 C.等边三角形 D.等腰三角形 个“蝴蝶”的平面图案，如图7，其中△OAB与 4.如图3，AH是等腰△ABC △ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对 底边BC上的中线，若点H到直 称，点E,F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥ 线AB的距离为3，则点H到直 OF.求证：∠BOC+∠AOD=180° 线AC的距离为 5.如图4，在△ABC中，直B H 线l交AB于点M,交BC于点N, 图3 点B关于直线I的对称点D在线段BC上，且AD ⊥MD,∠B=28°，求∠DAB的度数， 图7 D 图4 --26 数理报① 夯实基础 15.3.2等边三角形 知识提要：等边三角形的性质与判定，30°角所对直角边的性质 仙新知导学 5.如图5，“中国海监50”在南海海域B处巡 逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现 1.(1)等边三角形是特殊的等腰三角形，具 该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方 有等腰三角形的所有性质； 向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其 (2)等边三角形的三个角都相等，并且每一 北偏东20°的方向上，求该船到达C处时与灯塔 个角都等于 A的距离 北 2.(1)三个角都 的三角形是等边 三角形； 809 B (2)有一个角是 的等腰三角形是 40 等边三角形 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 的一半 图5 ◆基础练习 1.如图1，从电线杆离地面4米处向地面拉 巩固练习 条钢索，如果这条钢索与地面的夹角为30°， 6.如图6，在等边三角形 那么钢索的长为 ( ABC中，BC=8,点D是AB的 A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 中点，过点D作DF⊥AC于点 F,过点F作EF⊥BC于点E, 则BE的长为 ( B 4米 A.3 B.4 E 图6 300 m C.5 D.6 C 图1 图2 2.如图2，直线l∥m,等边△ABC的顶点B, 拓展练习 C分别在1，m上.若∠1=20°，则∠2的度数为 7.如图7，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= (）120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF= A.70° B.40° C.30° D.20° 60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F 3.如图3，在△ABC中，∠A=60°，AB= (1)求证：△ABD是等边三角形； AC,若△ABC的周长为12，则BC的长为 (2)求证：BE=AF. ( A.3 B.4 C.8 D.9 D 图7 图3 图4 4.如图4，在等边三角形ABC中，AD是BC 边上的中线，E为AD上一点，∠CED=55°，则 ∠ABE的度数为 27 专题训练 数理报° 专题3 等腰三角形的常见基本模型 类型 角平分线+平行线 类型 截长补短 【模型1】如图1，在△ABC中，AD平分 【模型2】如图3，在△ABC中，AD1BC于 ∠BAC,E是CA延长线上的一点，EG∥AD,交点D,AB=CD-BD.求证：∠B=2∠C AB于点F.求证：AE=AF. y B D 图3 G D 图1 【变式2】如图4，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，延长BC到点D,使CD=BC,连接AD,延长 CA到点E,使AE=2AC,连接EB.求证：EB= 【变式1】如图2，在△ABC中，B0,C0分别AD. 平分∠ABC和∠ACB,过点O平行于BC的直线 分别交AB,AC于点D,E,已知AB=9cm,AC= 8cm,求△ADE的周长. 图4 0 图2 --28-- 数理报① 专题训练 专题4 最短路径问题 类型( “一线+动点” 类型 “两线+动点” 【模型1】直线a是一条输气管道，M,N是管 【模型2】如图4，点A在∠MON的内部，点 道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个B,C分别在边OM,ON上.请画出△ABC,使 供气站O,向M,N两村庄供应天然气.在下面四△ABC的周长最小（请保留作图痕迹，不写作 种方案中，铺设管道最短的是 法) M 0 B D W 【变式1】如图1，在△ABC中，AB=5,BC 图4 =10,AC=9,MW为边BC的垂直平分线，点D 为直线MW上一动点，则△ABD的周长的最小值 为 ( 【变式4】如图5，某花店的A0,B0旁分别放 A.10 B.12 C.14 D.16 置百合花、玫瑰花，小轩从点C出发，先拿一束百 A M 合花，再拿一束玫瑰花，最后到D处结帐.请你帮 他确定最短路线（请保留作图痕迹，不写作法）· 百合花 A 图1 图2 C· 【变式2】如图2，在等边△ABC中，CD是AB 玫瑰花 边上的高，点N是BC边的中点，点P是CD上的 D' B 一个动点，当BP+PN的值最小时，∠ABP的度 图5 数是 【变式3】如图3，在正方形网格中，点A,B, 【变式5】如图6，在△ABC中，点D为AB上 C都在小正方形的顶点上 一动点，连接CD,点E为线段CD上一点，点F, (1)画出△ABC关于直线1对称的图形 点G分别为边CA,边CB上的动点，若∠ACB= △A'B'C'; 30°，CE=6,求△EFG的周长的最小值， (2)请在直线I上找一点E,使EB+EC的值 4 最小 图6 图3 29 同步检测 ①数理极° 第十五章综合检测 (满分100分，时间45分钟) 一、选择题（每题4分，满分32分） 7.如图5，在△ABC中，BC=15cm,BP,CP 1.下列是由4个数学式子绘制成的完美曲 分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB, 线，其中不是轴对称图形的是 PE∥AC,则△PDE的周长为 ( A.15 cm B.10 cm C.5cm D.无法确定 笛卡尔心形线三叶玫瑰形曲线蝴蝶曲线 太极曲线 A B C D 2.如图1，△ABC与△A'B'C'关于直线1对 称，则∠C的度数为 ( A.30° B.50° C.80 D.100° 图5 图6 8.如图6，过等边△ABC的顶点A,B,C依次 作AB,BC,AC的垂线MG,MN,NG,三条垂线围 成△MNG.若AM=2,则△MNG的周长为 D 图1 图2 ( 3.如图2，在△ABC中，AB=AC,AD平分 A.12 B.18 ∠BAC,若BD=3,则BC的长为 ( C.24 D.不能确定 A.3 B.4 C.6 D.8 二、填空题（每题4分，满分24分） 4.下列图形中对称轴小于3条的是( 9.如图7，每组图形中，左、右两个图形成轴 对称的是 (填序号). ■ 5己 已g B D ① ③ ④ 5.如图3，等边△ABC的顶点A,B分别在直 图7 10.命题“等边三角形的每个内角都等于 线a,b上，a∥b,∠2=80°，则∠1的度数为 60°”的逆命题是 ( A.20° B.30° C.40° D.45° 11.如图8，已知L,L2是镜子，球在两镜子 之间的地面上.球心A在镜子L,中的像为A1,在 L2中的像为A2.若镜子L1,L2之间的距离为60， 则AA2= B B'1 L L 图3 图4 6.如图4，在△ABC中，AC=BC,∠B= 40°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对 称点为B',若B'D∥AC,则∠BCD的度数为 图8 图9 ( 12.如图9，AB=AC,AE=DE,∠B=30°， A.25° B.30 C.35° D.40° ∠CED=45°，则∠BAE= --30 数理报① 同步检测 13.如图10，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB (2)求AB的长度； =6,AC=8,BC=10,EF垂直平分AB,点P是 (3)若△OCD是等边三角形，CF=22cm, EF上一动点，过点P作PH⊥BC,垂足为点H,求△OCD的周长 连接BP,则BP+PH的最小值为 y E B 图14 H C0A A2 A3 图10 图11 14.如图11，∠M0N=30°，点A1,A2,A3, 在射线OM上，点B1,B2,B3,…在射线ON上，且 △A,A2B1,△A2A3B2,△AA4B3,…为等边三角 17.(12分)如图15，在△ABC中，AB=AC, 形，若OA1=1,则△AA,B。的周长为 点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，BD= 三、解答题（满分44分）》 CE,连接DE交BC于点F.求证：DF=EF. 15.(8分)画图题： (1)如图12，把下列图形补成关于直线1对 称的图形 图15 图12 (2)如图13，在平面直角坐标系中，A(-1, 5),B(-3,0),C(-4,3),请作出△ABC关于y 18.(15分)如图16，在等边△ABC中，P为 轴对称的图形△AB,C1. AB边上的一点，∠ACP=20°，线段BC与DC关 于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E. (1)求∠E的度数； 65 (2)若AE=2,CE=6,求AD的长 3 B -7-6-5-4-3-2-110123456x 3 4 -5 -6f 图16 图13 16.（9分)如图14，是一个风筝的图案，它 关于直线AF对称，∠B=25°，AE=90cm. (1)求∠E的度数； --- 31-初中数学·人教八年 拓展练习8.（-6，-6)或(-3,3) 第十四章综合检测 题号 1 23 4567 8 答案 二、9.6；10.答案不惟一，如∠B=∠E;11.8; 12.28°；13.64；14.4. AB=DA,所以 三，5.在R△ABC和R△DAE中，{AC=DE, Rt△ABC≌Rt△DAE(HL). 16.(1)因为BF=DE,所以BF-EF=DE-EF,即BE= AB CD. DF.在△ABE和△CDF中， AE=CF,所以△ABE≌ BE DF. △CDF(SSS). (2)因为△ABE≌△CDF,所以∠AEB=∠CFD.所以 180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE.所以AE∥ CF. 17.(1)因为EF⊥AB,所以∠F=90°.因为∠AEF= 50°，所以∠EAF=90°-∠AEF=40°.因为∠BAD=100°，所 以∠DAE=180°-∠BAD-∠EAF=40°=∠EAF.所以AE 平分∠FAD. (2)如图，过点E作EM ⊥AD于点M,EN⊥BC于点 N.因为BE平分∠ABC,EF B ⊥AB,所以EF=EN.因为 DN AE平分∠DAF,EF⊥AB,所以EF=EM.所以EM=EN.所以 DE平分∠ADC. (3)因为AD=4,CD=8,S△AcD=S△ADE+S△cDE= ·EM+CD:EN=(aD+GD)·EM=15,所以EM= 5 所以EF=多所以SE=方4B,EF=空 41 18.(1)因为PF⊥AD,所以∠FPD=∠APG=90°.所以 ∠FDP+∠F=90°.因为∠ACB=90°，所以∠CAD+∠FDP =90°.所以∠F=∠CAD.因为AD,BE是△ABC的角平分线， 所以∠ABP=∠FBP,∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=∠F.在 r∠BAP=∠F, △ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBP,所以△ABP≌ BPBP. △FBP(AAS) (2)AB=AG+BD.理由如下： 因为△ABP≌△FBP,所以AB=FB,AP=FP.在△APG r∠PAG=∠F, 和 △FPD中， AP FP, 所以△APG≌ I∠APG=∠FPD △FPD(ASA).所以AG=FD.因为FB=FD+BD,所以AB= AG BD. 级(YN)第1~4期 第十五章轴对称 15.1.1轴对称及其性质 新知导学1.互相重合轴对称图形2.重合 3.(1)全等(2)垂直平分 基础练习1.C:2.C:3.5:4.13. 5.因为AD∥BC,∠D=120°，所以∠C=180°-∠D= 60°.因为直线l是四边形ABCD的对称轴，所以∠B=∠C= 60°. 巩固练习6.C;7.7.5. 8.(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以DF =BF=9.所以EF=ED-DF=6. (2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以∠C= ∠E=65°.所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.因为∠BAE =16°，所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=64°.因为线段AE与 AC关于直线MN对称，所以∠EAN=子∠EAC=32所以 ∠BAN=∠BAE+∠EAN=48°.所以∠BFN=∠B+∠BAN =83°. 15.1.2线段的垂直平分线 新知导学1.相等2.垂直平分线 3.互逆命题逆命题 4.互逆定理逆定理 基础练习1.B;2.有；3.22. 4.(1)如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数 字是5： (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. 5.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ BC,BD=DE,所以AB=AE.所以AB=EC (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 5.5cm. 巩固练习6.A. 7.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 ,是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. (2)因为L1是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为l2 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 O在线段BC的垂直平分线上 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 0C=5cm.所以OA=5cm. 15.2画轴对称的图形 新知导学(x,-y)(-x,y) 1 基础练习1.D;2.B;3.m>2 4.图略. 5.(1)(-2,4),(-5,2),(-4,5); (2)如图1； 初中数学·人教八年 12345x 图1 ®子 巩固练习6.B;7.A. 8.如图2（答案不惟一）. 图2 拓展练习9.D. 15.3.1等腰三角形 新知导学1.（1)相等(2)重合2.相等 基础练习1.C;2.B;3.D;4.3. 5.因为点B关于直线I的对称点是点D,所以直线I是线段 DB的垂直平分线.所以MD=MB.所以∠MDB=∠B=28°. 所以∠AMD=∠MDB+∠B=56°.因为AD⊥MD,所以 ∠ADM=90°.所以∠DAB=90°-∠AMD=34°. 巩固练习6.B. 7.因为DE∥BC,所以∠CDE=∠DCF.因为DC平分 ∠EDF,所以∠CDF=∠CDE.所以∠CDF=∠DCF.所以DF =CF.所以点F在线段CD的垂直平分线上.因为AD=AC,所 以点A在线段CD的垂直平分线上.所以AF垂直平分CD. 拓展练习8.因为△OAB与△ODC关于直线I对称，所以 ∠AOB=∠DOC.因为点E,F分别是底边AB,CD的中点，所以 ∠AOB=2∠BOE,∠DOC=2∠COF.所以∠AOD=∠AOB+ ∠BOC+∠DOC=2∠BOE+∠BOC+2∠COF.因为OE⊥ OF,所以∠BOE+∠BOC+∠COF=90°.所以∠BOC+ ∠AOD=∠BOC+2∠BOE+∠BOC+2∠COF=2(∠B0E+ ∠BOC+∠COF)=180°. 15.3.2等边三角形 新知导学1.(2)60°2.(1)相等(2)60° 3.斜边 基础练习1.C;2.B;3.B;4.25° 5.由题意得，∠ABC=180°-80°-40°=60°，BC=10× 2=20(海里).因为CD∥BE,所以∠BCD=∠CBE=40°.因 为∠ACD=20°，所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=60°.所以 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°.所以△ABC是等边三 角形.所以AC=BC=20海里. 答：该船到达C处时与灯塔A的距离为20海里. 巩固练习6.C. 拓展练习7.(1)因为AB=AC,AD⊥BC,∠BAC= 120,所以∠BMD=∠D1C=∠BMC=60.又因为AD= 级(YN)第1~4期 AB,所以△ABD是等边三角形， (2)因为△ABD是等边三角形，所以∠ABD=∠ADB= 60°，BD=AD.因为∠EDF=60°，所以∠ADB-∠ADE= ∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中， r∠DBE=∠DAF=60°， BD AD. 所以△BDE≌△ADF(ASA).所以 I∠BDE=∠ADF, BE AF. 专题3等腰三角形的常见基本模型 【模型1】因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.因为 EG∥AD,所以∠AFE=∠BAD,∠E=∠CAD.所以∠AFE= ∠E.所以AE=AF. 【变式1】因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以 ∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO.因为DE∥BC,所以∠DOB =∠CBO,∠EOC=∠BCO.所以∠ABO=∠DOB,∠AC0= ∠EOC.所以DB=D0,EC=EO.因为AB=9cm,AC=8cm, 所以△ADE的周长为：AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+ AE AB +AC 17 cm. 【模型2】如图1，在DC上截取DE=BD,连接AE.又因为 AD⊥BC,所以AB=AE.所以∠B=∠AEB.因为AB=CD- BD,所以AE=CD-BD=CD-DE=CE.所以∠C=∠EAC. 所以∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C.所以∠B=2∠C. E 图1 图2 【变式2】如图2，取AE的中点F,连接BF.因为AE=2AC, 所以AF=EF=AC.因为∠BAC=90°，所以BF=BC.所以 ∠BFA=∠BCA.所以180°-∠BFA=180°-∠BCA,即 ∠BFE=∠DCA.因为CD=BC,所以CD=BF.在△BFE和 EF AC. △DCA中，{∠BFE=∠DCA,所以△BFE≌△DCA(SAS).所 BF DC, 以EB=AD. 专题4最短路径问题 【模型1】C. 【变式1】C. 【变式2】30° 【变式3】(1)(2)如图1. C' 图1 初中数学·人教八年 【模型2】如图2. 图2 【变式4】如图3，CE+EF+FD即为最短路线. C 百含花E A 10 牧瑰花 D6-- -D B 图3 【变式5】如图4，作点E关于直线AC的对称点M,点E关 于直线BC的对称点V,连接CM,CV,MW,MN交AC于点F,交 BC于点G,连接EF,EG,此时△EFG的周长最小.根据轴对称 的性质，得MF=EF,NG=EG,CM=CE=CN=6,∠MCF= ∠ECF,∠NCG=∠ECG.所以∠MCF+∠NCG=∠ECF+ ∠ECG=30°.所以∠MCW=60°.所以△CMN是等边三角形. 所以MW=CM=6.所以△EFG的周长的最小值为：EF+FG +EG MF FG NG MN =6. --N 图4 第十五章综合检测 题号12345678 答案 D 二9.③④；10.三个内角都是60°的三角形是等边三角形： 24 11.120；12.45；13.5；14.96. 三、15.(1)如图1. 级(YN)第1~4期 (2)如图2. y个 6 4 3 B -7-6-5-4-3-2-110123456x 2 -3 -4 -5 -6十 图2 16.(1)根据轴对称的性质，得∠E=∠B=25°. (2)根据轴对称的性质，得AB=AE=90cm. (3)根据轴对称的性质，得DF=CF=22cm.因为△OCD 是等边三角形，所以OC=OD=CD=DF+CF=44cm.所以 △0CD的周长是：44×3=132(cm. 17.如图3，过点E作EM∥AB交BC于点M.所以∠D= ∠FEM,∠ABC=∠EMC.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 所以∠EMC=∠C.所以EM=EC.又因为BD=EC,所以EM ∠BFD=∠MFE =BD.在△DBF和△EMF中， ∠D=∠FEM,所以△DBF BD ME. ≌△EMF(AAS).所以DF=EF B B 图3 图4 18.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，CB =CA.因为线段BC与DC关于直线CP对称，所以CB=CD, ∠ECD=∠ECB.所以CA=CD.因为∠ACE=20°，所以 ∠ECB=∠ACB-∠ACE=40°.所以∠ECD=40°.所以 ∠ACD=∠ECD-∠ACE=20°.所以∠CAD=∠D= 7(180°-∠ACD)=80,所以LE=180°-LD-LECD中 60°. (2)如图4，过点C作CT⊥DE于点T.所以AT=DT, CE ∠ATC=90.所以∠ECT=90°-LE=30°所以ET=2 =3.因为AE=2,所以AT=ET-AE=1.所以AD=2AT=2.