第1-4期(1) 第21章 一元二次方程-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学同步测评（人教版 云南专版）

数理极① 夯实基础 第二开十章 一元二次方程 21.1一元二次方程 知识提要：认识一元二次方程 仙新知导学 (3)关于x的方程mx2-nx+mx+nx2=q -p(m+n≠0). 1.等号两边都是 ,只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式是 (a ),其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 巩固练习 是一次项系数， 是常数项 7.元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡， ◆基础练习 共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生， 那么所列方程为 () 1.一元二次方程2x2-5x-1=0的常数项 A.x2=2070 是 ( B.x(x+1)=2070 A.2 B.-5 C.-1 D.1 2.下列方程中，是一元二次方程的是 c7(x-1）=200 ( D.x(x-1)=2070 A.x+2y=4 B.3x=4 8.已知m是方程2x2-5x-8=0的一个根， C.x=2x3+6 D.x2-2=9 则-4m2+10m+9的值为 3.若方程(m+2)x2+3x=0是关于x的一 9.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 元二次方程，则m的取值范围是 ( 0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为 A.m>-2 B.m≠2 “凤凰方程” C.m<-2 D.m≠-2 (1)判断一元二次方程3x2+4x+1=0是 4.若x=3是关于x的一元二次方程x2+mx 否为“凤凰方程”，并说明理由； -3=0的一个根，则m的值为 (2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“凤 5.一元二次方程ax2+bx+c=0若有两根 凰方程”，求m的值 1和-1，那么a+b+c= 6.将下列方程化成一元二次方程的一般形 式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项 (1)3x2-1=2x; (2)x(x-2）=4x2-3x; 夯实基础 ①数理极° 21.2.1配方法 知识提要：运用配方法来求解一元二次方程 新知导学 巩固练习 通过配成 形式来解一元二次方程 6.小思在解方程2x2+4x-1=0时，解答的 的方法叫做配方法.配方是为了 ,把一 过程如下 个一元二次方程转化成两个 方程来 2x2+4x-1=0, 解 x2+2x=1, 第一步 基础练习 x2+2x+1=1+1, 第二步 1.用配方法解x2-2x=2,配方得( (x+1)2=2, 第三步 A.(x-1)2=3 B.(x-2)2=3 x+1=±2， 第四步 C.(x-3)2=3 D.(x-4)2=3 x1=-1+2,x2=-1-2 2.一元二次方程x2-4=0的解是( 小思的解答开始出错的步骤是 A.x=2 A.第一步 B.第二步 B.x1=2,x2=-2 C.第三步 D.第四步 C.x=-2 7.若方程x2-2x-5=0能配成(x+p)2= D.x=2,x2=-2 g的形式，则直线y=px+g不经过第 象 3.如果将关于x的一元二次方程x2-4x+k限. =0配方成(x-2)2=1,那么k 拓展练习 4.小兵同学解关于x的一元二次方程x2 8x=5时，先在方程的两边加上16，把方程变形 8.将代数式通过配方得到完全平方式，再运 为(x-4)2=21,他这种解一元二次方程的方法 用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这 是 法 种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的 5.解方程： 最值问题时有广泛的应用， (1)2x2=8; 例如：求多项式-x2-2x+3的最大值， 解：-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4= -(x+1)2+4. 因为-(x+1)2≤0，所以-(x+1)2+4≤4， 所以当x=-1时，多项式-x2-2x+3有 (2)x2+2x-5=0; 最大值，最大值为4 根据上述材料，解答下列问题， (1)求多项式-x2+6x+5的最大值； (2)比较多项式3x2-5x-1与多项式2x2- 3x-7的大小，并说明理由. (3)(x-3)(x+1)=1. 数理极① 夯实基础 21.2.2公式法 知识提要：运用公式法来求解一元二次方程，会运用根的判别式 仙新知导学 (2)3x2+2x=5; 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式是x= ≥0). 注意：一元二次方程如果有解，那么就有两个解 (有时有两个相同的解)」 2.一般地，式子 叫做一元二次方程 (3)2-3x-5:0 ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母 “A”表示，即A= 当4>0时，方程 ax2+bx+c=0有 个 的实数 根；当△=0时，方程ax2+bx+c=0有 个 的实数根；当△<0时，方程ax2+bx 巩固练习 +c=0 实数根， ◆基础练习 6.已知m,n在数轴上的位置如图所示，则 关于x的一元二次方程x2+mx-n=0的根的 1.用公式法解方程x2+2x-3=0时，求根情况是 () 公式中的a,b,c的值分别是 ( m 0 A.1,2,3 B.1,-2,3 C.1,2,-3 D.1,-2,-3 A.只有一个实数根 2.一元二次方程x2-2x=1的根的判别式 B.有两个相等的实数根 的值是 ( C.有两个不相等的实数根 A.4 B.2 C.0 D.8 D.没有实数根 7.琪琪在计算正数a的平方时，误算成a与 3.在用求根公式=6±公-4求 2a 2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的 元二次方程的根时，小明正确地代人了a,b,c的 值为 值，得到x=3±-3)-4×2×(-1 8.已知关于x的一元二次方程mx2-3(m- 2×2 ,则 1)x+2m-3=0. 他求解的一元二次方程是 (1)求证：该方程有两个实数根； A.2x2-3x-1=0 (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否 B.2x2+3x-1=0 可以都为正整数？请说明理由， C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x-1=0 4.已知方程x2+x+m=0有两个不相等的 实数根，则m的取值范围为 5.解方程： (1)x2+x-1=0; 夯实基础 ①数理极° 21.2.3因式分解法 知识提要：运用因式分解法来求解一元二次方程 仙新知导学 (3)6x2-5x-1=0. 某些一元二次方程可以先 使方 程化为两个 式的 等于 的形式，再使这两个 式分别等 ,从而实现 ◆基础练习 巩固练习 1.解方程x(2x+3)-3(2x+3)=0最合适 6.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4 的方法是 ( =0.若方程有一个根小于1，则m的取值范围是 A.因式分解法 B.公式法 () C.配方法 D.代入消元法 A.m<1 B.m>3 2.一元二次方程(x-1)(x+2)=0的两个 C.m<3 D.m>1 实数根分别为 ( 7.已知方程x2-17x+60=0的两根恰好是 A.1,2 B.1,-2 Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的第三边 C.-1,2 D.-1,-2 长为 3.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的 8.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决 是 ( 问题 A.只有一个根x=3 材料：为解方程x-x2-2=0,可将方程变 形为(x2)2-x2-2=0, B.只有一个根x=0 然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2 C.有两个根x1=0,2= 3 4 -y-2=0, D有两个根=0，=号 解得y=-1,2=2, 当y1=-1时，x2=-1无意义，舍去； 4.如果二次三项式x2+px+g能分解成(x+ 当y2=2时，x2=2,解得x=±2. 5)(x-1)的形式，则方程x2+px+g=0的解为 所以原方程的解为x=√2或x=-√2 问题： 5.解方程： 2 (1)x2-6x+9=0; （1)已知方程，是。=-x+1,若设 x=m,则原方程化为一般形式为 (2)利用以上学习到的方法解下面方程： (x2-3x+1)(x2-3x+2)=6. (2)x2-1=x+1; 6 数理报① 专题训练 专题一一元二次方程的解法 类型 方程中无一次项或满足(x+ 类型3 方程中的二次项系数为1，一 m)2=n结构时，优先考虑直接开平方法 次项系数是偶数时，优先考虑配方法 【例1】解方程：(x-4)2-9=0. 【例3】解方程：x2+6x-1=0. 【变式】1.解方程：(x-1)2-25=0. 【变式】3.解方程：2x2-8x+1=0. 类型2 方程中缺少常数项或方程的 类型4 以上三种方法都不易求解时， 两边有公因式时，优先考虑因式分解法 考虑用公式法 【例2】解方程：(x+2)(x+4)=(2x- 【例4】解方程：2x2-3x+1=0. 1)(x+2) 【变式】2.解方程：3x(x-1)=2(x-1) 【变式】4.解方程：2x2+5x-4=0. 夯实基础 数理招° *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识提要：运用一元二次方程的根与系数的关系判断根的情况以及进行相关的化简求值 仙新知导学 Q巩固练习 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 7.若关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2 个根x1和x2与系数a,b,c有如下关系：x1+x2= =0的两个实数根的倒数和为1，则m= ,x1X2= ◆基础练习 A.2 B.0 C.-2D.±2 8.已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a 1.关于x的一元二次方程x2-5x-1=0的+6=0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为 两根之和是 () A.-1 B.0 C.4 D.5 A.-2 B.2 C.5 D.-5 2.一元二次方程x2-2x+n=0的两根为 9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ -1和3，则n的值是 ( 0),如果方程有两个实数根为x1,x2,那么x1+x2 A.-3B.3 C.-2 D.2 3.小州与小冬在解方程x2+bx+c=0时， 名出名=。一元二次方程的这种根与系 小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和： 数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，因 -4,小冬写错了一次项系数，得到方程的两个； 此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这 根是-1和2，则b与c的值分别是 个定理有时可以使解题更为简单.根据上述材 A.b=2,c=-8 料，结合你所学的知识，完成下列问题： B.b=2,c=-2 (1)一元二次方程-x2+mx+1=0的一个 C.b=-2,c=8 根为x1=2,则m= ,另一个根为x2= D.b=-2,c=2 4.已知一元二次方程x2-5x+m=0的 (2)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x 个根为x1=1,则另一个根x2的值为 +m2-2=0有两个实数根，且这两个实数根的 5.已知一个一元二次方程的二次项系数 平方和是21，求m的值. 次项系数和常数项分别是4，-5,1，则该方程 的两根之积为 6.已知关于x的方程x2-kx+6=0有两个 实数根a,B,其中=-3，求另一个根B和k的 值 8 数理极① 夯实基础 21.3实际问题与一元二次方程(1) 知识提要：运用一元二次方程解决传播问题、握手问题、增长率问题和营销问题 仙新知导学 手，且只握手1次 (1)若参加聚会的人数为4，共握手 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审 次；若参加聚会的人数为n(n为正整 题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答， 数)，共握手 次. ◆基础练习 (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加 聚会的人数 1.某旅游景点2022年接待游客25万人次， 2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客 人次年平均增长率为x,下列方程正确的是 ( A.25(1+x)2=36B.25(1+x2)=36 C.25(1+2x)=36D.25x2=36 2.育才中学九(1)班学生毕业时，老师要求 每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语， 全班共送出祝福语2070条，问九(1)班共有多 ○巩固练习 少名学生？设九(1)班共有x名学生，则可列方 7.7月至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的 程为 盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带 A.x2=2070 动了周边餐饮服务业的发展.“听荷坊”宾馆拥 B.x(x+1)=2070 有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数 c2(x-)=2070 y(间)与其价格x(元)(180≤x≤300)满足一 次函数关系，部分对应值如表： D.x(x-1)=2070 x(元)】 180 260 280 300 3.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决 定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传 y(间) 100 60 50 40 播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 (1)请求出y与x的函数关系式； a个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之 (2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出 后，又邀请a个互不相同的好友转发倡议书.以各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费 此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与用60元.当房价为多少元时，宾馆当日可获利 了传播活动，则a的值是 ()8450元？ A.8 B.9 C.10 D.11 4.某商品由原售价连续两次降价，每次下 降的百分率相同.已知原售价是200元，降价两 次后的售价是128元，设平均每次下降的百分率 为x,则x的值为 5.某种商品每件的进价为30元，在某段时 间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，商 场计划要赚600元，则x的值为 6.在一次聚会上规定每两人见面必须握 *夯实基础 数理极° 21.3实际问题与一元二次方程(2) 知识提要：运用一元二次方程解决数字问题、图形问题、动态几何问题和其他问题 基础练习 Q巩固练习 1.已知相邻的两个偶数之积为360，若设较 6.淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两 小的偶数为x,则可列方程为 个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两 A.x2+2=360 B.x2-2=360 个正数中，较大的正数是 () C.x(x-2)=360 D.x(x+2)=360 A.3 B.5 2.某校准备修建一个面积为181平方米的 C.8 D.6 矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽 7.《九章算术》是我国古代数学名著，有题 为x米，则可列方程为 译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长 A.x(x-11)=181 短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长 B.x(x+11)=181 出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.问门 C.2x+2(x-11)=181 高、宽和对角线的长各是多少？根据题意，可求 D.2x+2(x+11)=181 得竿的长为 尺 3.把48张图片平均分给若干名学生，每人 8.如图2，甲、乙两人分别从矩形广场 分得的图片数比学生人数少2，则学生共有 ABCD的顶点C,B两点同时出发，甲由点C向点 人 D运动，乙由点B向点C运动，若一人到达目的 4.根据物理学规律，如果把一物体从地面 地停止，另一人也随之停止，已知甲的速度为 以7m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地1米/秒，乙的速度为2米/秒，矩形广场的边 面的高度（单位：m)约为7x-4.9x2.根据上述：BC=100米，CD=150米. 规律，则物体经过 s落回地面. (1)几秒钟后两人相距20√10米？ 5.如图1，某农场计 10m (2)△CEF的面积能否等于700平方米？若 划建造一个矩形养殖场， 能，请求出经过多少秒；若不能，请说明理由 为充分利用现有资源，该 A D 矩形养殖场一面靠墙（墙 的长度为10m),另外三 B 面用栅栏围成，已知栅栏 图1 总长度为18m,设矩形垂直于墙的一边，即AB 的长为xm.若矩形养殖场的面积为36m2,求此 图2 时x的值， --10 数理极① 同步检测 第二十一章综合检测 (满分：100分，时间：45分钟) 一、选择题（每题3分，满分24分） A.1042(1+x)2=1485 1.在下列方程中，是一元二次方程的是 B.1042(1+2x)=1485 C.1485(1-2x)=1042 A.x3-x2=0 B.x+1=3 D.1485(1-x)2=1042 x 8.如果一个三角形有两边的长分别是方程 C.x2=2+3x D.2x2+y-3=0 x2-8x+15=0的两根，则该三角形的周长可能 2.将方程5x2=6x-8化成一元二次方程的是 () 一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是 A.8 B.10 C.12 D.17 ( 二、填空题（每题4分，满分24分） A.5,-6B.5,8 C.6,-5D.5,-8 9.若关于x的方程(m-1)x2-3x-1= 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(m为常数)是一元二次方程，则m的取值范围 0(a≠0)的解是x=1,则a+b的值是 为 10.小叶在解方程x2+3x=0时，只得到一 A.1 B.-5C.5 D.-2 个解是x=-3,则他漏掉的解是 4.已知x=4和x=-2.5是方程(2x+ 11.已知x1,x2是一元二次方程x2-6x+5 m)(x-4)=0的解，则m的值为 () =0的两个根，则x1+x2的值是 A.-5B.5 C.2.5 D.4 12.若长方形的面积为150cm2,并且长比宽 5.用配方法解一元二次方程x2+2x-1= 多5cm,则长方形的长为 cm. 0,下列配方正确的是 () 13.关于x的一元二次方程mx2-3mx+x+ A.(x-2)2=2 B.(x-1)2=1 2m-1=0的根的判别式的值为1，那么m的值 C.(x+2)2=1 D.(x+1)2=2 为 6.一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况 14.已知(x2+y2)2+2(x2+y2)-3=0,则 是 ( ）x2+y2的值为 A.有两个不相等的实数根 三、解答题（满分52分） B.有两个相等的实数根 15.（12分)解方程： C.只有一个实数根 (1)x2+4x-1=0: D.没有实数根 7.近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨 架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时 覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇 东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至 11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈 (2)(3x+1)2=2(3x+1); 2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约 1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累 计发送旅客约1485万人次.设国铁昆明局春运 期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x,则 下列方程正确的是 () 同步检测 (3)4x2-6x-3=0. 19.(8分)某超市以每袋8元的成本价购进 些糖果，根据前期销售情况，每天销售量 y(袋)与该商品每袋定价x(元)是一次函数关 系，如图1所示 (1)求销售量y与定价x之间的函数关系 式； 16.(6分)某社区组织一次排球比赛，规定 (2)超市要想每天销售该糖果得到的利润 每两个队伍之间此赛一场，赛程计划安排7天，是56元，且为了让顾客得到实惠，不考虑其它因 每天举行3场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 素，则该糖果的定价应为多少元？ y(袋) 18 1017x(元) 17.(8分)定义新运算：对于任意实数m,n 图1 都有m☆n=mn+n,等式右边是常用的加法、 乘法及乘方运算.例如：-3☆5=(-3)2×5+ 5=50. 根据以上知识解决问题： (1)x☆4=20，求x; 20.(10分)马戏团计划打造一个茶艺区，如 (2)若2☆a的值小于0，请判断方程2x2- 图2，若使用24米长的幕布，一面利用墙（墙的最 bx+a=0的根的情况. 大可用长度为I2米)围成茶艺区矩形ABCD,且 : 中间用一道幕布隔为表演区和观赏区，在无表 演时，方便用幕布进行围挡， (1)如果要围成面积为36平方米的茶艺 区，那么AB的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的茶艺区？ 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由. 18.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+ c)x2+2bx+b-c=0,其中，a,b,c分别是△ABC A 表演区 观赏区 的三边长 (1)如果x=-1是方程的根，求证：△ABC 是等腰三角形； 图2 (2)如果△ABC是等边三角形，解该一元二 次方程 19中考数学人教(YN)第1~4期 发理橘 答案详解 2025~2026学年中考数学人教(YN) (同步测评)第1~4期 第二十一章一元二次方程 移项，得x2-2x=4, 21.1一元二次方程 配方，得（x-1)2=5, 新知导学 开方，得x-1=±5 1.整式一2 解得x1=1+5,x2=1-5. 2.ax2+bx+e=00 ax2 a bx b c 巩固练习 基础练习 6.A;7.三 1.C;2.D;3.D;4.-2;5.0. 拓展练习 6.(1)3x2-1=2x,移项，得3x2-2x-1=0. 8.(1)-x2+6x+5=-(x2-6x+9-9)+5=-(x2- 二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1. 6x+9)+14=-(x-3)2+14, (2)x(x-2)=4x2-3x,去括号，得2-2x=4x2-3x, 因为-(x-3)2≤0，所以-(x-3)2+14≤14， 移项、合并同类项，得-3x2+x=0. 所以当x=3时，多项式-x2+6x+5有最大值，最大值是 二次项系数为-3，一次项系数为1，常数项为0. 14. (3)mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0)， (2)3x2-5x-1>2x2-3x-7,理由如下： 移项、合并同类项，得(m+n)x2+（m-n)x+p-g=0. 3x2-5x-1-(2x2-3x-7)=3x2-5x-1-2x2+3x+ 二次项系数为m+n,一次项系数为m-n,常数项为p-g. 7=x2-2x+6=(x2-2x+1)+5=(x-1)2+5, 巩固练习 因为(x-1)2≥0， 7.D;8.-7. 所以(x-1)2+5≥5， 9.(1)3x2+4x+1=0是“凤凰方程”，理由如下： 即3x2-5x-1-(2x2-3x-7)≥5， 因为a=3,b=4,c=1, 所以3x2-5x-1>2x2-3x-7. 所以a-b+c=3-4+1=0, 21.2.2公式法 所以3x2+4x+1=0是“凤凰方程”. 新知导学 (2)因为x2+mx-5=0是关于x的“凤凰方程”，a=1, b=m,c=-5, 1.-b±VF-4ac b2-4ac 2a 所以1-m+(-5)=0, 2.b2-4ac2-4ac两不等两相等 无 解得m=-4. 基础练习 21.2.1配方法 新知导学 1.C;2D,3.A:4m< 完全平方 降次 一元一次 5.(1)x2+x-1=0, 基础练习 因为a=1,b=1,c=-1, 1.A2.B;3.3;4.配方 所以62-4ac=12-4×1×(-1)=5>0, 5.(1)2x2=8, 所以x=1±5。-1±5 系数化为1，得x2=4, 2×1 2 解得x=2,x=-2. 解得=5-1、 (2)x2+2x-5=0, 2书=-5+1 2 移项，得2+2x=5, (2)3x2+2x=5, 配方，得2+2x+1=5+1, 移项，得3x2+2x-5=0, 所以(x+1)2=6, 所以a=3,b=2,c=-5, 所以62-4ac=22-4×3×(-5)=64>0, 开方，得x+1=±6， 解得：=6-1,2=-6-1. 所以x=-2±6府-二2±8 2×3 6 (3)(x-3)(x+1)=1, 解得新1=1，出=-了 5 整理，得2-2x-4=0, 中考数学人教(YN) 第1~4期 (3)22-3x-5=0. (2)设x2-3x=y,则原方程化为(y+1)(y+2)=6, 整理，得(y-1)(y+4)=0,解得y=1或y=-4. 因为a= 分6=-3e=-5, 当y=1时，即x2-3x=1, 所以8-4ac=(-3)2-4×7×(-5)=19>0, 解得=3+，E,=3-,压 2 2 当y=-4时，即x2-3x=-4,方程无解. 所以x=3±四 2×7 综上所述，原方程的解为x=3+,压或=3国 2 解得x=3+√9,2=3-√9 专题一一元二次方程的解法 巩固练习 【例1】(x-4)2-9=0, 移项，得(x-4)2=9, 6.C;7.1+2 开方，得x-4=±3， 8.(1)证明：因为4=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m 所以x-4=3或x-4=-3, -6m+9=(m-3)2≥0， 解得x1=7,x2=1. 所以该方程有两个实数根. 【变式】1.(x-1)2-25=0, (2)存在整数m,使得该方程的两个实数根均为正整数， 移项，得(x-1)2=25, 理由如下： 开方，得x-1=±5， 由求根公式，得x=3(m-)±(m-3) 所以x-1=5或x-1=-5, 2m 解得41.32-合 解得x1=6,x2=-4. m 【例2】(x+2)(x+4)=(2x-1)(x+2), 因为m为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， 移项，得(x+2)(x+4)-（2x-1)(x+2)=0, 所以=2-3必为正整数， 因式分解，得(x+2)(x+4-2x+1)=0, m 所以(x+2)(-x+5)=0, 所以m=-1或m=±3，即当m=-1或m=±3时， 所以x+2=0或-x+5=0, 该方程的两个实数根均为正整数， 解得x1=-2,x2=5. 21.2.3因式分解法 【变式】2.3x(x-1)=2(x-1), 新知导学 移项、因式分解，得(3x-2)(x-1)=0, 因式分解 一次乘积0一次0降次 所以3x-2=0或x-1=0, 基础练习 解得与=子出=1 1.A;2.B;3.C;4.1=-5,x3=1. 5.(1)x2-6x+9=0, 【例3】x2+6x-1=0, 移项，得x2+6x=1, 因式分解，得(x-3)2=0, 配方，得2+6x+9=1+9, 解得=2=3. 所以(x+3)2=10, (2)x2-1=x+1, 开方，得x+3=±√0， 左边因式分解，得(x-1)(x+1)=x+1, 移项，得(x-1)(x+1)-（x+1)=0, 所以x=-3±√0， 因式分解，得(x-1-1)(x+1)=0, 解得x1=-3+√0，x2=-3-√0. 即(x-2)(x+1)=0, 【变式】3.2x2-8x+1=0, 所以x-2=0或x+1=0, 移项，得2x2-8x=-1, 解得x1=2,,2=-1. 1 系数化为1，得父-4=-立， (3)6x2-5x-1=0, 因式分解，得(6x+1)(x-1)=0, 配方，得-4+4=分+4， 所以6x+1=0或x-1=0, 所以(x-2)2=2: 7 解得气=石出=1 巩固练习 开方，得x-2=±4 2 6.C;7.13或√19. 解得，=2+ 8.(1)根据题意可得2=m+1, 2,5=2、4 2 m 【例4】2x2-3x+1=0, 化为一般形式为m2+m-2=0. 这里a=2,b=-3,c=1, 故填m2+m-2=0. 因为62-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0, 中考数学人教(YN) 第1~4期 3±T3±1 所以x=2×2 巩固练习 = 4 7.(1)设y与x的函数关系式为y=x+b, 1 解得x=1,=2 把(180,100)，(260,60)分别代入关系式，得 k=-2 1 【变式】4.2x2+5x-4=0, 180k+b=100. 解得 这里a=2,b=5,c=-4, 1260k+b=60. b=190, 因为2-4ac=52-4×2×(-4)=57>0, 1 所以x=二5±⑦ 所以y与x的函数关系式为)=-2x+190(180≤x≤ 4 300). 解得x=5+7 ,6=-5-57 4 4 (2)由题意可知(x-10)(-分+190)-010-(-之 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 +190)]=8450, 新知导学 整理，得x2-420x+44100=0, 解得x1=x2=210. -aa 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元， 基础练习 21.3实际问题与一元二次方程(2) 1.D:2.A3.B:4.4;5. 基础练习 6.因为aB=6,a=-3,所以B=-2. 1D:2.B:38:49 因为a+B=k,所以k=-3-2=-5. 5.因为栅栏总长度为18m,AB的长为xm,所以BC的长为 巩固练习 (18-2x)m. 7.A;8.C 根据题意，得x(18-2x)=36, 9.(1)因为一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为 整理，得x2-9x+18=0,解得x1=3,x2=6. =2, 当x=3时，18-2x=18-2×3=12>10,不合题意，舍 所以2+=m,2x=-1,解得m=之=-2 3. 1 去； 当x=6时，18-2x=18-2×6=6<10,符合题意. 敬填号，分 1 所以此时x的值为6. (2)设关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2= 巩固练习 0有两个实数根为：1，x2,所以x1+x2=-（2m+1),xx2=m2 6.B;7.10 -2. 8.(1)设x秒钟后两人相距20√10米， 因为这两个实数根的平方和是21， 则BE=2x米，CF=x米，CE=(100-2x)米， 所以+x好=21=(x1+x2)2-2x12, 根据题意，得2+(100-2x)2=(2010)2, 所以[-(2m+1)]2-2(m2-2)=21, 解得x1=20,x2=60. 解得m1=-4,m2=2. 当x=20时，CF=20,CE=60>0,符合题意； 因为4=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+9≥0， 当x=60时，CF=60,CE=-20<0,不合题意，舍去 所以m言子 答：20秒钟后两人相距20√10米. 所以m=-4不符合题意，所以m=2. (2)△CEF的面积不能等于700平方米，理由如下： 设t秒钟后△CEF的面积等于700平方米， 21.3实际问题与一元二次方程(1) 基础练习 根据题意，得(10-20）=700， 1.A;2.D;3.C;4.20%;5.40或90. 整理，得2-50t+700=0. 6.(1)参加聚会的人数为4，则共握手号×4×3=6（次）； 因为4=(-50)2-4×1×700=-300<0， 所以该方程无实数根， 参加聚会的人数为a(a为正签数)，则美程手宁a(a-1）次 所以△CEF的面积不能等于700平方米. 放填6，(n-1). 第二十一章综合检测 (2)设有x人参加聚会， 题号12345678 根据题意，得乃(x-)=45, 答案C BBBDAAC 解得：=10，x2=-9(不合题意，舍去). 二、9.m≠1；10.x=0;11.6；12.15；13.2；14.1. 答：参加聚会的有10人 三、15.(1)x2+4x-1=0, 一3 中考数学人教(YN) 第1~4期 移项，得2+4x=1, 设AB的长为y米，则BC的长为(24-3y)米， 配方，得2+4x+4=1+4, 由题意，得y(24-3y)=90, 所以(x+2)2=5, 整理得y2-8y+30=0. 开方，得x+2=±√5 因为4=(-8)2-4×30=-56<0， 解得x=-2+5,x2=-2-5. 所以方程没有实数根， (2)(3x+1)2=2(3x+1), 所以不能围成面积为90平方米的茶艺区. 移项，得(3x+1)2-2(3x+1)=0, 第二十二章 二次函数 因式分解，得(3x+1)(3x+1-2)=0, 22.1.1二次函数 所以3x+1=0或3x+1-2=0. 新知导学 1 1 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)xa,b,c 解得x=3=了 基础练习 (3)4x2-6x-3=0, 1.C;2.B;3.2,0,-1;4.y=160(1-x)2. 这里a=4,b=-6,c=-3, 5.小明的说法正确.理由如下： 所以4=(-6)2-4×4×(-3)=84， 因为a2+2a+3=(a+1)2+2,(a+1)2≥0， 所以x=6±84 所以(a+1)2+2≥2，即a2+2a+3≥2≠0， 2×4 所以无论a取何值，该函数一定是二次函数. 解得：=3+2 巩固练习 4 6=3-2 4 6.B;7.> 16.设应邀请x支球队参赛， 4 根据题意，得7(x-1）=3×7, 8.从左到右，从上到下依次填，-2x,子，-0.5x, -1.5x,2,-2t2,3t,0. 解得x=7,=-6(不合题意，舍去) 9.)由题意，得m+2≠0，解得m=2 答：应邀请7支球队参赛， 1m2-4=0, 17.(1)因为m☆n=m2n+n,所以x☆4=4x2+4=20, (2)由题意，得m2-4≠0，解得m≠2且m≠-2. 所以4x2=16,所以x2=4, 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 解得x1=2,,2=-2,所以x的值为±2. 新知导学 (2)因为2☆a的值小于0，所以2a+a=5a<0, 1.抛物线y轴 原点小>0低<0高 解得a<0. 2.减小增大增大减小 在方程2x2-bx+a=0中，4=(-b)2-8a>0, 基础练习 所以方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根。 1.D;2.<;3.-8<y≤0， 18.(1)证明：把x=-1代入方程(a+c)x2+2bx+b-c 4.(1)把(1，b)代人y=x-3可得b=1-3=-2, =0,得a+c-2b+b-c=0, 所以点A的坐标为(1，-2) 整理，得a=b, 把(1，-2)代入y=ax2可得a=-2. 所以△ABC是等腰三角形 所以a=-2,b=-2. (2)因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, (2)由(1)可得y=-2x2,所以抛物线开口向下，且对称轴 所以方程(a+c)x2+2bx+b-c=0可化为x2+x=0, 为y轴. 解得x=0,=-1. 所以当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的 19.(1)设y=kx+b(k≠0)， 增大而减小. 巩固练习 由图象可知， 0k+6=18解得=2， 17k+b=4, Lb=38, 5.C;6.C;7.a>b>c>d. 所以销售量y与定价x之间的函数关系式是y=-2x+38. 8.(1)把点B(-2,4)代人二次函数y2=ax2,解得a=1, (2)根据题意得(-2x+38)(x-8)=56, 所以二次函数的解析式为2=x2. 解得1=12，x2=15. 把点A(1,m)代入y2=x2,解得m=1. 因为要让顾客得到实惠，所以该糖果的定价应为12元. 把点A(1,1),B(-2,4)代入少1=kx+b,得 20.(1)设AB的长为x米，则BC的长为(24-3x)米， k+b=1,解得 k=-1, 由题意，得x(24-3x)=36,解得x1=2,x2=6. L-2k+b=4, b=2, 当x=2时，BC=24-3×2=18>12,不符合题意，舍去： 所以一次函数的解析式为y1=-x+2. 当x=6时，BC=24-3×6=6<12,符合题意. (2)设一次函数y1=-x+2与y轴交于点C. 答：AB的长为6米. 对于y1=-x+2,令x=0,得y=2, (2)不能，理由如下： 所以点C(0,2),