第8期 23.2.3 关于原点对称的中点的坐标 23.3 课题学习-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第5~8期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)证明：当y=0时，即x2-(m+2)x+2m-1=0,因 第5期2版 为4=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2+4m+4-8m 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 +4=m2-4m+8=(m-2)2+4,(m-2)2≥0，所以(m- 基础训练1.C；2.D;3.<;4.①③④ 2)2+4>0,即△>0，所以不论m取何值，该抛物线与x轴总 5.(1)把M(-4,6)代入y=-x2+mx+6,解得m=-4, 有两个公共点。 所以y=-x2-4x+6=-(x+2)2+10,所以抛物线的顶点坐 22.3实际问题与二次函数（第一课时） 标为(-2,10). 基础训练1.B;2.15563.2. (2)由(1)知，y=-(x+2)2+10,抛物线开口向下，所以 能力提高4.(1)由题意，得y=250-10(x-25)= 当x=-2时，y有最大值10，当x=-4时，y=-（-4+2)2+ -10x+500. 10=6,当x=1时，y=-(1+2)2+10=1,所以当-4≤x 设销售核桃的日利润为w元，则0=(x-20)(-10x+500) ≤1时，y的取值范围是1≤y≤10. =-10(x-35)2+2250, 能力提高6.(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x 因为-10<0，二次函数图象开口向下， =名=2，将点(（3，宁)代人抛物线得”=9a+3动 所以当x=35时，0有最大值，10最大=2250. 4 答：日销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+ =2, 2a 1 500,销售核桃的最大日利润为2250元. 3,联立 解得 4’所以抛物线的表 {9a+3b-3=-15 (2)由题意，得-10x+500≥160，解得x≤34. 4 b=-1, 又因为x>25,所以25<x≤34， 达式为)子--3 所以w=(x-20-m)(-10x+500)=-10x2+(700+ 10m)x-10000-500m. (2)由(1)知，抛物线的表达式为)=子2-x-3,令y 因为抛物线的对称轴为直线x=一9七册=35+受 0,即子2--3=0，解得=-2=6，所以4(-2,0)， >35,-10<0, B(6,0). 所以当25<x≤34，w随x的增大而增大， 因为抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=2,所以当 所以当x=34时，0有最大值，且0最大=(34-20-m) 一2≤x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数.因为当-2≤ (-10×34+500)=2000,解得m=1.5. x≤9时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，所以q 即当m为1.5时，可实现日销售量不少于160千克，且最大 >6. 日利润为2000元的目标. 将x=2代人y=子-x-3,得y=-4,即函数最小值 22.3实际问题与二次函数（第二课时） 基础训练1.C;2.2;3.20. 为-4，所以最大值为1-(-4)=5，令y=5,即子2-x-3 能力提高4.(1)由题意，得A(0,10),抛物线的顶点坐 标为(6,13)， =5,解得x=-4(舍去)或x=8,所以q的值为8. 22.2二次函数与一元二次方程 设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+13,将A(0,10)代 基础训练1.A;2.A;3.-1<x<0; 人，解得a=-2 4.k≤6且k≠2. 1 5.(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3. 所以图中水柱所在抛物线的函数表达式为y=一2(x 中考数学人教(GDY) 第5~8期 6)2+13. 190)由题点，得7=40-+2，+5》=-与(x+ 5 （2)对于抛物线=-立x-6P+B,令y=1,即-bx 子产+器因为-与<0，所以当>子时，7随：的增大 -6)2+13=1,解得x1=18,2=-6(舍去)， 所以此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m 而减小. 因为3≤x≤8，所以当x=3时，T有最大值，T=32。 第5期3版 (2)由题意，得y=15x+5[40-x+2)x+5]=- 题号12345678 +8.x+190=202,解得x=2或x=6. 答案C D CBABAB 因为3≤x≤8，所以x=2舍去，所以该商场建造的隔热 二、9.1；10.4；11.-2；12.25；13.10； 层厚度为6cm时，总费用达到202万元. 14a>停或n=4 (3)由(2)得W=y+2x=-x2+8.x+190+2x=-(x- 5)2+215,所以对称轴为直线x=5. 三、15.(1)x<0或x>3. 因为-1<0，所以离对称轴越远，W越小，因为5-3<8 (2)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点 -5,所以当x=8时，W有最小值，最小值为206， (-1,0),(3,0),所以方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,3 所以当隔热层修建8cm时，该商场未来5年的相关规划费 =3. 用达到最小值206万元. 16.（1)二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 20.(1)把y=0代入y=-x2+2mx+2m+1,解得x1= (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,由平移规律得平移后 -1,x2=2m+1. 函数的解析式为y=(x+2)2-1,所以顶点坐标为(-2，-1). 因为m>0,所以2m+1>0,所以x2>x1. 17.(1)由题意知，下部分矩形的长=10,9x=（5 2 因为点A在点B的左侧，所以点A的坐标为(-1,0)，点B 号)米，所以y=(5-是+)2=-72+10放关于 的坐标为(2m+1,0),所以0B=2m+1. 把x=0代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=2m+1,所 x的函数表达式为y=-7x2+10x 以点C的坐标为(0,2m+1),所以OC=2m+1,所以OB=0C. (2)由(1)得，y=-7x2+10x=-7(x- 马)2+ 5 因为∠B0C=90°，所以∠0BC=45°.故填45. 7 因为5-号>0，解得x<9 (2②)由题易求得抛物线的对称轴为直线=一号=m,把 x=m代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=m2+2m+1,所以 因为-7<0，所以当x=号时，y有最大值，最大值为汽， 点D(m,m2+2m+1). 所以当x=号时，透光面积最大，最大透光面积是苧平方 设直线BC的解析式为y=x+b,把B(2m+1,0),C(0, 米 2m+1)代人，得2m+1)k+6=0解得=1， 所以 l0+b=2m+1, lb=2m+1, 18.(1)由题意得A(0,1.6),设y与x的函数解析式为y= 直线BC的解析式为y=-x+2m+1. a(x-2+1.8,将40,1.6)代入，解得a=-0所以y= 把x=m代人，得y=m+1,所以点E(m,m+1),所以DE =m2+2m+1-m-1=m2+m 方-2户+18令y=0,即0=分x-2户+18，解得 因为h=0C-之0，所以h=2m+1-子(m2+m) x1=8,x2=-4(舍去)，所以0B=8米. (2)由题意及(1)可得A(0,1.6),B(8,0),将A,B代入抛 2+2+1=-m-+, 物线解析式，得6=c, 所以b=-8a-0.2 l0=64a+8b+c. 所以当m=子时，A有最大值，最大值为号 b 当m=-2a 0时，可得6=0，解得a=- 40当m= (3)点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象上. 因为E(m,m+1),A(-1,0),所以根据平移的性质可知， 6 2a =3时，解得a=-0 1 点0'的横坐标为-m-1,点0'的纵坐标为-m-1,即点 0'(-m-1,-m-1). 1 所以a的取值范围为-10<a<-40 当点0'在抛物线上时，则-(-m-1)2+2m×(-m-1) 2 中考数学人教(GDY) 第5~8期 +2m+1=-m-1,整理得3m2+m-1=0,解得m=-1 =1,所以二次函数的解析式为y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 6 所以顶点坐标为(1,2) 或m=-压+山（舍去）， (2)把B(2,a),C(5,b)代入二次函数解析式，得a=6- 6 3m,b=27-9m.因为a>b,所以6-3m>27-9m,解得m> 所以点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象 7 上，此时m=-1 子故填m>子 6 17.(1)证明：令x2-mx-3=-x,整理，得x2+(1-m)x 第5期4版 -3=0, 重点集训营 因为4=(1-m)2+12>0,所以该函数图象上一定存在 (1)因为二次函数y=x2-4x+c的图象与y轴的交点坐 两个“M点” 标为(0,5)，所以c=5,所以y=2-4x+5=(x-2)2+1, (2)设y=x2+(1-m)x-3,则1，x2是x2+（1-m)x 所以顶点M的坐标是(2,1) -3=0的解，所以函数y=x2+(1-m)x-3的图象与x轴相 (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)，所以点A的 交于点(x1,0),(x2,0) 坐标是(1,0). 因为该函数图象开口向上，且x,<1<x2,所以当x=1时 ①当t=2时，点D',A'的坐标分别是(2,0)，(3,0) y<0,即1+1-m-3<0,所以m>-1. 当x=3时，y=（3-2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2， 18.以A为原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y 当x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1. 轴，建立平面直角坐标系 因为PG⊥A'B',所以点G的纵坐标是1，所以QG=2-1 设抛物线的表达式为y=ax2+bx. =1. 因为AB=2.6m,所以B(2.6,0) ②存在.理由：因为△PGQ的面积为1，PG=1,所以QG= 因为栏杆的长AB被12根柱子等分成13份，所以AE= 2.根据题意，得P,Q的坐标分别是(t,子-4t+5),(t+1,-2t 2.6÷13×4=0.8(m),所以C(0.8,0.36) +2) 将B(2.6,0),C(0.8,0.36)代入y=ax2+bx,得 如图1-①，当点G在点Q的上方时，则QG=t-4t+5 1 r2.62a+2.6b=0, 「a=- 4 -(-21+2)=3-2=2,此时4=之（在0<1<3的范 解得 l0.82a+0.8b=0.36, =易 围内)， 所以揽物线的表达式为)=一+品 因为常=02(m,当x=0,2时，y=012,所以左起第 根柱子涂色部分的高度为0.12m. 0 D'A' ① ③ 四、19.(1)①因为火箭第二级的引发点的高度为3.6km, 图1 如图1-②，当点G在点Q的下方时，则QG=-2t+2 所以抛物线)=am2+和直线y=-子+b均经过点(9， -(2-41+5)=21-3=2,此时6=多（在0<1<3的范 3.6), 国内)，所以1=子或 5 所以3.6=81a+9,3.6=-号×”9+6，解得a=-5b =6.6 第6期综合评估卷 所以函数解析式分别为y=方+=-子+66 题号12345678910 ②(D知y5+=古x-学+所以火 箭运行的最高点为5km, =11a<2:12.45:136≥-3：1452： 4 15.②③ 由题意，得号-1,35=24(m).则-方2+=24，解 三、16.(1)将点(2,3)代入y=2-2mx+m+2,解得m得x1=12(舍去)，x2=3. 一3 中考数学人教(GDY) 第5~8期 对于y=-了+66，当x=9时y=36>24, 径为2,5dm (3)锅盖不能正常盖上，理由如下： 1 所以当)=2.4时，即-3x+66=24,解得x=12.6 当x=1时，对于Gy=了×P-3=- 3 因为12.6-3=9.6(km), 1 所以这两个位置之间的距离为9.6km. 对于Gw-号×1P+1=8， 9· (2)当水平距离为18km时，由题意，得火箭第二级的引发 点为(9,81a+9), 因为号-(-号)=号+号-号<36，所以锅益不能 将(9,81a+9),(18,0)代人y=-子+6，得 正常盖上 五、22.(1)设AB=acm,当0≤t≤2时，PB=(a-t)cm, f81a+9=- 3×9+6, rb=6, BQ 2t cm, 解得{ 0=-号×18+6， 2所以-<a<0. 2 a=-27 所以5=分PBB0=a-02=-+at 20.(1)把A(-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+mx+n, 因为抛物线经过点(2,2)，所以a=3,所以S=-2+3. 得1-m+n=0 解得m=-2, 因为AB=3cm,所以t≤3. ln=-3, ln=-3, 当2<t≤3时，PB=(3-t)cm,BC=4cm,所以S= 2PB·BC=2(3-)·4=-2t+6, 1 所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,2=3,所以点 所以S= 「-t+3t(0≤t≤2)， B的坐标为(3,0) l-2t+6(2<t≤3) (2)设直线BC的解析式为y=kx+b. 把B(3,0),C(0,-3)代入y=x+b,得 k+b=0解 (2)在二次函数S=-f+3(0≤1≤2)中，当5=子时， b=-3, 即-2+3t= 得1， 子解得与=分=三（合去） lb=-3, 在-次函数S=-2:+6(2<1≤3)中，当S=子时，即 所以直线BC的解析式为y=x-3. 设P(a,a2-2a-3)(0<a<2),则Q(a+1,a2-4), -2+6=子，解得=号 81 M(a,a-3),N(a+1,a-2), 所以在方≤1≤号时，△PB0的面积不小于子em。 所以PM=-a2+3a,QW=-a2+a+2,所以PM+QW= -2a2+4a+2=-2(a-1)2+4. 23.(1)证明：因为∠BAC=90°，点D是BC的中点，所以 因为-2<0，所以当a=1时，PM+QW有最大值4，此时 AD BD CD -7BC. a+1=2,a2-4=-3,所以点Q的坐标为(2，-3) 因为抛物线以A为顶点，与x轴交于D,C两点， 21.(1)因为抛物线C1和C2都过点A(-3,0),B(3,0), 所以AD=AC,所以AD=AC=CD, 所以设C和C2的解析式分别为y=a1(x-3)(x+3),y 所以△ACD是等边三角形， =a2(x-3)(x+3). 所以以点A为顶点，且与x轴交于D,C两点的抛物线是正 因为抛物线C经过D(0,-3),所以将D(0,-3)代人y= 抛物线。 a(x-3)(x+3)中，解得a=分，则C的解析式为y=弓 (2)因为E(1,0)且EF=2,点F在x轴上，且点E在点F -3(-3≤x≤3) 的左边，所以F(3,0) 因为抛物线C2经过C(0,1),所以将C(0,1)代人y=a2(x 由题意得，经过x轴的两点E,F的抛物线为正抛物线， -3)(x+3)中，解得=-g则6的解析式为y=-号 设顶点为G,所以△EFG是等边三角形， 所以6==2,11=√2-下=5 +1(-3≤x≤3). 2 (2)对于C:y=弓-3，当炒菜锅里的水位高度为1dm ①当G(2,3)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+ 5,把点E(1,0)代入，得a+5=0,解得a=-√5，所以y= 时，y=-2,即宁-3=-2，解得x=士万，则此时水面的直 -5(x-2)2+5; -4 中考数学人教(GDY)第5~8期 ②当G(2,-√5)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2形ACDF是平行四边形. -5,把点E(1,0)代入，得a-5=0,解得a=5,所以y= (2)连接CF,因为△DEF和△ABC关于点O成中心对称， 3(x-2)2-5 四边形ACDF是平行四边形，所以F,O,C三点共线。 因为∠ACB=90°，AC=4,BC=3,所以AB=5. 综上所述，此抛物线的解析式为y=-5(x-2)2+5或 因为四边形ACDF是菱形，所以CF⊥AD, y=5(x-2)2-5. (3)抛物线y1=-x2+25x+9=-(x-√5)2+12，由平 因为分4CCB=分4B.C0,所以c0=号所以40= 移得抛物线乃2=-(x-√5)2+3， 16 所以P(5,3),M(0,0),N(25,0), 23.2.2中心对称图形 所以PM=MW=PN=25, 基础训练 1.A;2.B;3.C;460°或180°或300°； 所以△PMW是等边三角形， 5.13. 所以第1次翻滚后顶点对应坐标为P,(4√5,0)，第2次翻 能力提高 6.图略 滚后P2与P重合，第3次翻滚后顶点P的对应坐标为 第7期3版 P(75,3) 每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数能被3整除时，顶点 题号 1 2 345678 的纵坐标为3，横坐标为5+n×25=(2n+1)5, 因为2025÷3=675，所以(2×2025+1)×√3=4051W5, 二、9.=；10.60；11.30；12.(3,1)；13.16； 所以第2025次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为 14子 (40515,3) 三、15.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称， 第7期2版 所以BG=DG,AG=CG. 因为AF=CE,所以AF-AG=CE-CG,所以EG=FG. 23.1图形的旋转 又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌△BGF,所以BF 基础训练1.C;2.B;3.C；4.点C;5.√5. DE 能力提高6.(1)线段PP'的长为2 16.(1)图略. (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45° (2)△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转90°，才能与 在△BPP'中，PP=2,PB=22,P'B=PD=√10， △CCC2重合. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以PP2+PB= (3)图略。 P'B2, 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CB, 所以△BPP为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠ABC=90°，所以∠ABE+∠EBC=90 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. 又由旋转得∠EBG=90°，BE=BG,所以LCBG+∠EBC (3)过B作BE⊥AQ,垂足为E, =90°， 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45= 所以∠ABE=∠CBG,所以△ABE≌△CBG. ∠BPE,所以PE=BE. (2)CE+CG=√2BC. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 理由：因为△ABE≌△CBG,所以AE=CG,所以CE+CG 所以AE=3,所以AB=√AE+BE=√3，所以 CE AE AC. S正方形ABCD=AB2=13. 因为四边形ABCD是正方形，所以AC=√2BC,所以CE+ 23.2.1中心对称 CG =2BC. 基础训练1.A;2.C:3.C:4.(3,-1)；5.25. 18.(1)因为△ABC和△DEF关于点O成中心对称，所以 能力提高6.(1)证明：因为△DEF和△ABC关于点O成 △ABC≌△DEF. 中心对称，所以△ABC≌△DEF, 所以DF=AC=5,DE=AB=6,EF=BC=4, 所以∠BAC=∠EDF,DF=AC,所以DF∥AC,所以四边 所以△DEF的周长为EF+DF+DE=15. 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)四边形ACDF是平行四边形 第7期4版 理由：连接AD,CF,因为△ABC和△DEF关于点O成中心 对称，所以AD与CF交于点O, 重点集训营 所以OA=OD,OC=OF,所以四边形ACDF为平行四边 1.(1)如图3，△A1BO1即为所作. 形 (2)如图3，点C1即为所作 19.(1)∠ABD的度数为45° (2)证明：由题意知∠BAC=∠DAE, 因为∠BAD=90°，AB=AD,∠ABD=45°，F是BD的中 B 点，所以∠BAF=∠DAF=45 因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC,∠EAF= ∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以∠AGF=∠EAF 图3 图4 (3)证明：因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 2.(1)如图4，△A1BC1即为所求. Rt△ADE. (2)如图4，△A2B2C2即为所求.旋转中心点M的坐标为 所以AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，所以 (1,0) ∠ABG=∠ACE=45°. 因为∠AGB=∠CGF,所以∠BAC=∠CFB. 第8期2版 设AD,EF交于M,因为∠AEC=∠ADB=45°，∠AME= 23.2.3关于原点对称的点的坐标 ∠DMF,所以∠DAE=∠DFE. 基础训练1.D;2.B;3.D;4.-2;5.(2,-2); 因为∠BAC=∠DAE,所以∠CFB=∠DFE. 6.A(-1,2),B(-3,-2). 因为∠BFD=∠BFA+∠AFE+∠DFE=∠BFC+ 7.(1)图略.由坐标系可得，A1(-1,-4),B(1,-3), ∠AFB+∠AFE=180°， C1(-3,-2). 所以F,C,E三点在同一直线上 20.(1)BD=CE,BD⊥CE. (2)由勾股定理得，0A=√+4平=√/7，所以A4= (2)2AD2=BD2+CD2. 20A=217, 证明：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE. 所以关于原点对称的A点和A,点之间的距离为2√7. 因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE, 能力提高8.(1)点P关于原点的对称点P'的坐标为(2， 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°， 1) 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，所以DE2=CE2+ (2)因为P'(2,1),所以0P'=5. CD. 当T0=P'0=5时，△P'T0是等腰三角形，所以点 因为AD=AE,∠DAE=90°，所以DE=√2AD,所以2AD BD2 CD2. T(-5,0)或T(5,0),所以t=-5或t=5; (3)如图2，将AF绕点A逆时针旋转 G 当70=P时，F=(2-)2+1,解得1=子： 90°至AG,连接CG,FG, 当TP'=P'0=5时，5=(t-2)2+1,解得t=0(舍去) 则△FAG是等腰直角三角形，所以 或t=4. ∠AFG=45° 因为∠AFC=45°，所以∠GFC= 综上所述，符合条件的的值为-5，子，5,4 90° 图2 23.3课题学习图案设计 同理得△BAF≌△CAG,所以CG=BF=13. 基础训练1.D;2.C；3.③④； 在Rt△CGF中，因为CF=5,所以FG=12. 4.将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度； 因为△FAG是等腰直角三角形，所以AF2+AG=FG, 5.6 所以2AF2=144,所以AF=62. 6.如图5所示（答案不惟一） 6 中考数学人教(GDY)第5~8期 以DE=HF 因为M为AG的中点，所以AM=GM. 因为∠H=∠GCM,∠AMH=∠GMC,所以△AHM≌ △GCM,所以HM=CM. ① 图5 ② 因为CE=CF,所以FM+DE=FM+HF=HM=CM= CF-FM=CE-FM,所以2FM+DE=CE. 第8期3,4版综合评估卷 21.答案不惟一，如图6所示 、 题号12345678910 答案CC D CABC A B C 二、11.-2；12.60°；13.2<B'C'<4;14.1; 15.1+5. 三、16.(1)图略.A'(0,-6) (2)图略，D'(3,-5). 图6 17.略. 五、22.（1)对于y=2x+2,当x=0时，y=2,所以0K= 18.(1)AE的长为3. 2;当y=0时，x=-1,所以01=1. (2)因为∠C=110°，∠BAC=40°，所以∠ABC=30°. 如图7，点A为点J关于点K的顺时针“垂链点”，过点A作 因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,所以∠DBE AB⊥y轴，由题易证得，△ABK兰△KOJ,所以AB=OK=2, =∠ABC=30°. BK=OJ=1,所以OB=3, 因为BD∥AC,所以∠DBC+∠C=180°，所以∠DBC= 所以点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为(-2,3) 70°，所以∠ABE=10°. B7--C 四、19.(1)图略，C点坐标为(2，-2)，D点坐标为(-2， B/y=2x+2 D y=3x+2 -5). T/y=3x+2 4 (2)若点C在x轴上，设0C=h,由勾股定理，得3+42+ 0 0 3+=(4+)2,解得A=号，所以C(},0).因为线段cD D:IRO 图7 图8 图9 (2)对于y=3x+2,当x=0时，y=2,所以0Q=2;当 4+4三-。，所以】 与AB关于点P成中心对称，所以2 y=0时，=-子，所以0R=子设点C为点Q关于点P的 2 Pr-子0).同理，若D点在)轴上，可得P0,名 “垂链点” 综上，当C,D两点中有一点在坐标轴上时，P点坐标为 当逆时针旋转时，如图8，点P(-2,m)所在的竖直直线为 (-令0)或0.-名 L,作CB⊥1于点B,作QA⊥I于点A, 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=m-2. 20.(1)证明：因为△ABC为等边三角形，所以AC=BC, 由题易证得，△PAQ兰△CBP,所以BP=AQ=2,BC= ∠ACB=60° AP m -2. 因为线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,所以CE 所以BD=m+2,所以C(m-4,m+2). =CF,∠ECF=60°， 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2 所以∠BCE=∠ACF,所以△BCE≌△ACF,所以BE= 上，所以m+2=3(m-4)+2, AF. 所以m=6,所以C(2,8); (2)2FM DE CE. 当顺时针旋转时，如图9，点P(-2,m)所在的竖直直线为 证明：过点A作AH∥BC,交CF的延长线于点H,所以 l,作CB⊥1于B,作QA⊥I于A, ∠HAC=∠ACB=60°，∠H=∠GCM,所以∠HAC=∠ACB 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=2-m =∠ABC 由题易证得，△PAQ≌△CBP,所以BP=AQ=2,BC= 因为BC=AC,∠BCE=∠ACF,所以△CBD≌△CAH,所 AP =2-m, 以CD=CH,由(I)得CE=CF,所以CD-CE=CH-CF,所 所以BD=2-m,所以C(-m,m-2) 7 中考数学人教(GDY)第5~8期 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2: 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°，此时AD与AB重 上，所以m-2=-3m+2, 合，点F转到点G,在AG上取AH=AN,连接HM,HB,所以 所以m=1,所以C(-1,-1) ∠BAG=∠DAF 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为(-1，-1) 又因为AH=AN,AB=AD,所以△ABH≌△ADN,所以 或(2,8) DN=BH,∠ABH=∠ADN 23.(1)EF AE +CF. 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以∠ABD= (2)CW2+AM2=MW2. ∠ADB=30°，∠BAD=120°， 证明：在正方形ABCD中，AD=CD,∠ADC=90°， 所以∠HBD=∠ABH+∠ABD=60° 将△ADM绕着点D逆时针旋转90°，得到△CDP,连接 因为∠DAF=15°，∠EAF=60°，所以∠BAG=∠DAF= PV,则△ADM≌△CDP, 15,∠BAE=∠BAD-∠DAF-∠EAF=45. 所以∠ADM=∠CDP,AM=CP,DM=DP,∠DAM= 因为∠GAE=∠BAG+∠BAE=60°，所以∠GAE= ∠DCP=45°=∠DCN, ∠EAF=60. 所以∠PCN=∠DCP+∠DCN=90°. 因为AM=AM,所以△AMH≌△AMN,所以MH=MN, 又因为∠EDF=45°，所以∠PDW=∠CDP+∠CDN= ∠AMH=∠AMD ∠ADM+∠CDN=90°-∠EDF=45°=∠MDN. 因为∠ADB=30°，∠DAM=∠DAF+∠EAF=75°，所以 因为DN=DN,所以△PDN兰△MDN,所以PN=MN ∠AMD=75°， 因为∠PCN=90°，所以CN2+CP2=PW2,即CWN2+AM 所以∠AMH=∠AMD=75°，所以∠HMB=180°- =MN2. ∠AMD-∠AMH=30°，所以∠BHM=90°， (3)PN2 MN2 BM2. 所以BF+MH=BMP,所以DN2+MN2=BM. 一8一18.如图13，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE. 21.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花 23.(1)如图18-①，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC边 (1)如图13-①，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC= 草，现向学生征集设计图案，图案要求只能用圆弧在正方形内加以 上的动点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到 6,BD=9,求AE的长： 设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示 △DCM,可以证明△DEF≌△DMF,进一步推出AE,EF,FC之间的 (2)如图13-②，BD∥AC,若∠C=110°，∠BAC=40°，求 请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图16-③、图16-④、图16- 数量关系为 ∠ABE的度数 ⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径 (2)如图18-②，正方形ABCD中，∠EDF=45°，猜想AM, 变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图16-①、图16-②只能 MN,CN的数量关系，并证明你的结论； 算一种) (3)如图18-③，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E,F分别 是边BC,CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°，连接BD分 别与边AE,AF交于点M,N.当∠DAF=15°时，猜想BM,MN,DN之 间的数量关系并证明 ① ② ③ ④ 图16 聱 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分， 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 共27分) 买 报 19.如图14，在平面直角坐标系中有点A(-4,0),B(0,3), 22.如图17-①，在平面直角坐标系中，4，B两点位置不同，将 初 P(m,n)三点，线段CD与AB关于点P成中心对称，其中A,B的对应 点B绕着点A顺时针旋转90°后得到点C,称点C为点B关于点A的 中 点分别为C,D. 数 顺时针“垂链点”；将点B绕着点A逆时针旋转90°后得到点D,称点 学 (1)若P(-1,-1),画出线段CD,并写出C,D的坐标； D为点B关于点A的逆时针“垂链点”。 (2)若四边形ABCD为矩形，且其中C,D两点中有一个点在坐 (1)如图17-②，已知直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于J, 标轴上，直接写出P点坐标. K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标： 中考 (2)如图17-③，已知直线y=3x+2与x轴，y轴分别交于R Q两点，点P在第二象限内，P点坐标为(-2，m),若点Q关于点P的 GDY) ‘垂链点”刚好落在直线y=3x+2上，直接写出点Q关于点P的“垂 链点”的坐标 综 图14 1 /y=2x+2 =3 理报·初中数学·人教中考(0》)综合评估卷 20.如图15，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD,E为线 段CD上一点(CE>DE),将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线 段CF,连接AF. (1)求证：BE=AF: (2)点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M.若M为AG 的中点，用等式表示线段CE,MF,DE之间的数量关系，并证明， 图1 (参考答案见下期) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 装评橘 2025年8月28日，星期四 第 8期总第1152期 人教 中考(GDY) 上接2版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 证明：因为∠BA( ∠DAE=90°，所以 专题辅导日 考点一：旋转的性质 LBAD=∠CAE.因为 例1如图1，将 AB=AC,AD=AE,所 以△BAD≌△CAE,所 利用图形变换设计图案 △ABC绕点A顺时针旋转 以BD=CE,∠ABD= 60°得到△AED.连接BE ∠ACE=45°，所以 ○山西 若AB=5,AC=4,BC= LBCE=∠ACB+ 利用平移、轴对称及旋转可以设计出许多 (1)与你的同伴比比，看谁的拼法多： 2,则BE的长为 ∠ACE=90°，所以DE 丰富多彩的图案，请看下面的例题， (2)如果你家新房装修，请你选择四个拼成 解：因为将△ABC绕 =CE2+CD.因为AD 例1用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成 的大正方形拼成中心对称图形，扩大规模，以观 点A顺时针旋转60°得到△AED,所以AB= =AE,∠DAE=90°，所 个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图 其效 AE,∠BAE=60°，所以△BAE是等边三角形， 以DE=√2AD,所以 2AD2 BD2 CD2 形，请你在图2、图3、图4中各画一种拼法（要求 则BE=AB=5.故填5. (3)将AF绕点A逆 三种拼法各不相同，且其中至少有一个既是轴对 考点二：中心对称图形 时针旋转90°至AG,连 称图形，又是中心对称图形) 例2 下列图形中是中心对称图形但不是 接CG,FG,则△FAG是 形多① 轴对称图形的是 等腰直角三角形，所以 图7 图8 ∠AFG=45°.因为 解析：(1)以正方形的对称轴作为分类准 LAFC=45°，所以 图 图3 则，可以设计许多不同的轴对称图形，如图8. LGFC=90°.同理得 △BAF≌△CAG,所以 解析：如图5所示的图形既是轴对称图形也是 (2)拼图：①“同花顺”拼法（利用图形的平 CG BF=13.在 中心对称图形，如图6所示的图形是轴对称图形 移变换，如图9) 解：由中心对称图形和轴对称图形的定义 Rt△CGF中，因为CF= 判断，选项A为正确答案.故选A 5,所以FG=12.因为 考点链接 △FAG是等腰直角三角 形，所以AFP+AG= 园9 10 图5 图6 FG,所以2AF2=144」 旋转考 例2用四块如图7所示的正方形瓷砖拼 ②“同花转”拼法（利用图形的旋转变换或 所以AF=6√2. 成一个大正方形，形成轴对称图形 轴对称变换，如图10》 抢先知 第7期4版参考答案 ◎河南周云意 重点集训营 题型空间 考点三：关于原点对称的点的坐标 1.(1)如图1 △AB,O1即为所作. (2)如图1，点C 图形转一转： 坐标变= 例3在平面直角坐标系中，点P(4,-5) 变 与点Q(m,n)关于原点对称，那么m+n= 即为所作 ■■ 回广东 曾国强 解：因为点P(4,-5)与点Q(m,n)关于原 、三角形与坐标 则第2025秒旋转结束时，点 点对称，所以m=-4,n=5,所以m+n=1.故 例1如图1，斜边长 填1. B的坐标为 考点四：旋转作图 为4的等腰直角△AOB的 解析：连接OB,如图2所 例4如图2，在平面直角坐标系中，△ABC三 两直角边都在坐标轴上， 示，因为四边形OABC是矩 个J顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 1 将△AOB绕原点O顺时针 形，所以AB=OC=23,A0 (1)请画出△ABC关于原点0对称的 2. (1)如图2， 旋转45°得到△C0D,点A =2,AB∥C0 △ABC(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1, △A,B,C1即为所求. 的对应点为点C,则点C的坐标为 (2)如图2， 在R△AOB中，由勾股 C); △A,B2C2即为所求.旋 解析：设CD与y轴相交于点M (2)请画出△ABC绕原点O顺时针旋转 定理，得OB=4,所以OA= -OB,所以∠OBA 转中心点M的坐标为 因为△A0B是斜边长为4的等腰直角三角 90°后的△A2B2C,(点A,B,C的对应点分别为 (1,0) 形，将△A0B绕原点0顺时针旋转45°得到 =30°， 点A2,B2,C2) △COD 所以∠B0C=30°，∠A0B=60 所以△C0D是斜边长为4的等腰直角三角 因为360°÷60°=6,2025÷6=337…3， 形，∠A0C=45 所以第2025秒旋转结束时点B的坐标与 所以∠C=45°，∠C0M=45°，CD=4,所 第3秒旋转结束时点B的坐标相同 以∠0MC=90° 将OB绕点O顺时针旋转180°得到OB',过 所以OM⊥CD,所以OM=CM=DM=点B'作B'C'⊥y轴，如图2 图2 2CD=2,所以点C的坐标为(-2,2) 因为B0=B'0,∠B0C=∠B'0C',LBC0 解：(1)如图3，△AB,C即为所求 (2)如图3，△4，B,C2即为所求. =∠B'CO,所以△B'OC'兰△BOC, 故填(-2,2) 所以B'C'=BC=OA=2,OC'=OC 二、四边形与坐标 例2如图2，在平面直角坐标系中，已知矩形 23 OABC,其中点O与原点重合，点A在x轴负半轴上 所以点B的坐标为(2，-25)，所以第 点C在y轴正半轴上，OA=2,0C=25.将矩形 2025秒旋转结束时，点B的坐标为(2，-25). OABC绕点O按顺时针方向旋转，每秒旋转60° 故填(2，-25). 素养专练 数理极 23.3课题学习图案设计 第7期2版参考答案 23.1图形的旋转 跟踪训练 垦训练 基础训练1.C;2.B;3.C;4.点C;5.5. 1.如图1，由图案①到图案②再到图案③的 能力提高6.(1)线段PP'的长为2 23.2.3关于原点对称的点的坐标 变化过程中，不可能用到的图形变换是 ( (2)∠BPQ=45. (3)过B作BE⊥AQ,垂足为E,因为∠BPQ=45°，所 垦础训练 以∠PBE=90°-∠BPE=45°=∠BPE,所以PE=BE. 1.在平面直角坐标系中，点(5，-6)关于原 因为BP2=PE2+BE2=(22)2,所以PE=BE=2,所以 点对称的点的坐标是 ) AE=3,所以AB=√AE+BE=√3，所以S正方sD= A.(5,6) B.(-5,-6) AB2=13. ② 3 C.(5,-6) D.(-5,6) 图1 23.2.1中心对称 2.若点A(x,-3)与B(5,y)关于原点对称， A.轴对称 B.旋转 基础训练1.A;2.C；3.C;4.(3,-1); 则x+y的值为 ( C.中心对称 D.平移 5.25. A.2 B.-2 C.-8 D.8 2.如图2，将正方形图案绕中心0旋转180°1 能力提高6.(1)证明：因为△DEF和△ABC关于点 3.将抛物线y=分+1绕原点0旋转180 后，得到的图案是 O成中心对称，所以△ABC≌△DEF, 所以∠BAC=∠EDF,DF=AC,所以DF∥AC,所以四 则旋转后的抛物线的解析式为 ( 边形ACDF是平行四边形. A.y=2x2+1 B.y=-2x2-1 平B名 D.y-1 图2 A B (2)A0=9 Cy=-2+1 3.如图3，△A'B'C'可由△ABC经过平移得 23.2.2中心对称图形 4.已知点A(a,b)和B(m,n)关于原点对称， 到，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图 基础训练1.A;2.B;3.C;4.60°或180°或 且a+b=2,则m+n的值等于 形变换得到？下列结论：①1次旋转：②1次旋转和30°；513. 1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称，其中所有 能力提高6.图略. 5.若点P(m,-2)与点Q(4,n)关于原点对 正确结论的序号是 第7期3版参考答案 称，则抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标为 -、题号12345678 6.如图1，平行四边形的对 答案BBD C A BDB 称中心在原点，AD∥BC,D(3 C BA 二、9.=；10.60；11.30；12.(5,1)；13.16； 2),C(1,-2),则其他点的坐 3-21,012x 4多 标分别为 图1 2 三、15.证明略 7.如图2，在平面直角坐标系中，△ABC各J顶 图3 图4 16.(1)图略 点坐标分别为A(1,4),B(-1,3),C(3,2). 4.如图4，在平面直角坐标系x0y中，△0CD (2)△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转90°，才能 (1)在图中作出△ABC关于原点对称的 可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、与△CC,C,重合 △AB,C1,并写出△AB,C1各J顶点坐标； 轴对称、旋转)得到的，写出一种由△AOB得到 (3)图略. (2)计算关于原点对称的A点和A,点之间的 △OCD的过程 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB= 距离， 5.把18个边长都为1 CB,∠ABC=90°，所以∠ABE+∠EBC=90°.又由旋转得 的等边三角形拼接成如图5 ∠EBG=90°，BE=BG,所以∠CBG+∠EBC=90°，所以 的平行四边形，其中6个涂 ∠ABE=∠CBG,所以△ABE≌△CBG. 上了阴影，可以旋转、翻折 (2)CE+CG=√2BC.理由略. 或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等 18.(1)△DEF的周长为15. 边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称 (2)四边形ACDF是平行四边形.理由：连接AD,CF,因 图形，共可得 种轴对称图形 为△ABC和△DEF关于点O成中心对称，所以AD与CF交 6.亦姝家最近买了一种如图6-①所示的瓷于点0，所以0A=0D,0C=OF,所以四边形ACDF为平行 砖.请你用4块如图6-①所示的瓷砖拼铺成一个四边形 X 正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在 19.(1)∠ABD的度数为45°. 图6-②、图6-③中各画出一种拼法（要求：①两 (2)证明：由题意知∠BAC=∠DAE,因为∠BAD= 种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试 90°，AB=AD,∠ABD=45°，F是BD的中点，所以∠BAF= 能力提高 8.如图3，在平面直角坐标系中，已知点 卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③孤 ∠DAF=45°.因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+ ∠BAC,∠EAF=∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以 线大致画出即可) P(-2,-1),点T(t,0)是x轴上的一个动点. ∠AGF=∠EAF. (1)求点P关于原点的对称点P'的坐标； (3)证明：因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 (2)当t取何值时，△P'T0是等腰三角形？ tRt△ADE,所以AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90° y个 :所以∠ABG=∠ACE=45°.因为∠AGB=∠CGF,所以 ∠BAC=∠CFB.设AD,EF交于M,因为∠AEC=∠ADB= 45°，∠AME=∠DMF,所以∠DAE=∠DFE.因为∠BAC L=∠DAE,所以∠CFB=∠DFE.因为∠BFD=∠BFA+ ∠AFE+∠DFE=∠BFC+∠AFB+∠AFE=180°，所以 F,C,E三点在同一直线上 20.(1)BD=CE,BD⊥CE. 数理报社试题研究中心 (2)2AD2=BD2+CD2. (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) 6.如图3，将线段AB绕点0旋转得到线段A'B',已知OA=5, 称点分别是A',B′，C',若AB=3,AC=1,则B'C'的取值范围是 《旋转》综合评估卷 OB'=3,∠B'=90°，则线段AB的长为 A.3 B.4 c.5 D./34 14.如图9，分别以平行四边形ABCD的边AB和CD为直角边， ◆数理报社试题研究中心 向平行四边形ABCD内作等腰Rt△ABE和等腰Rt△CDF,在△ABE (考试用时：120分钟 满分：120分) ① 的斜边AE,△CDF的斜边CF上分别取点N,M,连接EM,FV,四边形 题号 二 三 四 五 总分 ② EMFN为正方形，若平行四边形ABCD的面积为4，则△ABE的面积 得分 、6 ④ 15.如图10，在矩形ABCD中，AB=2,BC= 5 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分】 0 图3 图4 点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将 题号1 2 34 5 678910 7.如图4，在4×4的正方形网格中，从①，②，③，④中选取一个 线段MW绕点M顺时针旋转90°，点V旋转到点W' 答案 空白小正方形涂黑，使涂黑部分是一个中心对称图形，可选的是涂 则△MBN'周长的最小值为 10 1.在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点对称的点的坐标 ( 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） ( A.① B.② C.③ D.④ 16.如图11，已知△ABC的三个J顶点的坐标分别为A(-6,0), B(-2,3),C(-1,0). A.(1,-2) B.(-1,2) 8.如图5，在△ABC中，AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向 (1)将△ABC绕坐标原点0逆时针旋转90°，画出对应的 数 C.(-1,-2) D.(-2.-2) 旋转30°后得到△A'BC',则阴影部分的面积为 ( 报 △A'B'C',点A的对应点A'的坐标为 2.下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是 A.9 B.95 C.65 报 D.6 初 (2)在格点图内，若四边形A'B'C'D为平行四边形，则第四个顶 初 中 ☒公X分 点D'的坐标为 数学 教 数学·人教中 中 图 3.如图1是风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片O4B绕 点0顺时针旋转60°后到达0'B'处，则下列选项错误的是( 9.如图6是由5个边长为1，且一个内角为60°的小菱形拼成的 GDY A.AB =A'B' B.OA =OA 图形，P是其中4个小菱形的公共顶点，把这五个菱形拼成的图形剪 C.∠BOB'=60 D.AB⊥A'B 成面积相等的两部分，则剪痕的长度是 ( 图11 综 考（日3）综 A.5 B.13 C.- √/13 D.27 17.如图12所示的3×3网格图都是由9个相同的小正方形组 3 3 成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白 10.如图7，在等腰直角三角形ABC中，AB 卷 小正方形中，按下列要求涂上阴影 BC,∠CBA=90°，将边AB绕点A逆时针旋 卷 (1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图 转至AB',连接BB',CB',若∠CB'B=90°，AB 形，但不是中心对称图形； 4.已知点M(1-2m,m-1)关于原点的对称点在第一象限，则 =5,则线段B'B的长度为 ( (2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称 m的取值范围在数轴上表示正确的是 A.5 B.4 图形，但不是轴对称图形； 图 C.25 D.5 (3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心 00.5 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 对称图形，又是轴对称图形. 11.若点(a,4)与点(2，-4)关于原点对称，则a= 12.如图8，将Rt△A0B(∠A0B=90)绕点0逆时针旋转30 00.5 00.5 D 得到Rt△COD,则∠COB= 5.如图2，在平面直角坐标系xOy中，将Rt△OCD绕点0逆时针 旋转90°到△OAB的位置，若OD=25,CD=2,则点B的坐标为 图12 A.(2,4) B.(-2,25) C.(2,25) D.(-2,4) 13.△ABC与△A'B'C'关于原点0成中心对称，点A,B,C的对