第6期 二次函数 综合评估-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

《二次函数》综合评估卷 班级： 姓名： 学号： (考试用时：120分钟，满分：120分) 题号 二 三 四 五 总分 郑 得分 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.抛物线y=3x2-2的顶点坐标是 A.(-3,2) B.(0,-2) C.(0,2) D.(3,2) 2.若函数y=(2-k)x+kx+3是y关于x的二次函数，则k的值为 A.2 B.-2 C.±2 D.k≠2 3.关于x的二次函数y=x2-3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 ( 1k=号 B≤是 c6>号 4.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙 处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库， 如图1，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出 了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口 图1 作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为 ) 画 A.y=x(18-4x) B.y=x(18-2x) C.y=x(12-4x) D.y=12x-2x 5.已知抛物线y=x(x-4)+2,在该抛物线上到x轴的距离等于2的点的个数是（ A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a<0)的图象上三个点的坐标分别为A(x1,y1),B(1,y2), C(x3,y3),若x1<1<x3,x1+x3<2,则y1,y2,y3的大小关系为 A.y2>y1>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 7.抛物线状沙丘的表现形态为迎风坡凹进，背风坡凸出，两个翼角指向迎风方向，平面轮廓 呈抛物线状.如图2所示是我国最大沙漠（塔克拉玛干沙漠）某处抛物线状沙丘的示意图，以抛 物线状沙丘最左端端点0为原点建立平面直角坐标系.若顶点A的坐标为(15,100)，且点B(m, -224)在该抛物线上，则m的值为 ( A.17 B.35 C.40 D.42 B 图2 图3 8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+(m+1)x+m向下平移4个单位长度后经过点 (1,y),且y1>0,则平移后的抛物线的顶点一定在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.如图3，M是抛物线y=x2+x-2在第三象限部分上的一点，过点M向x轴和y轴作垂 线，垂足分别为P,Q,则四边形OPMQ周长的最大值为 ( A.1 B.2 C.4 D.6 10.一次函数)=名+c(ab≠0)与二次函数y=a2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐 标系中的图象可能是 B 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.二次函数y=(a-2)x2-5x+7有最高点，则a的取值范围是 12.从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h(单位：m)与小球的运动 时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5(0≤t≤6)，则小球运动中的最大高度是 m. 13.已知M(x1),N(,)是抛物线y=2+6x+3上任意两点，若对于任意1<< 2,2<x2<3,都有y1<y2,则b的取值范围为 14.某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售.经统计，“十一”前 一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，调查发现该T恤在“十一”前 一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件.若要求销售单价不低 于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，那么当电商获得最大利润时，每件T恤的 定价为 15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图4所示，其对 称轴是直线x=1,下列结论：①3a+c>0;②(a+c)2<b2;③a+3b+ 9c>0;④若-1<x<2,则ax2+bx+c>0;⑤a2m2+abm≤a(a+123主 b),其中正确的结论有 （填序号). 图4 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线， (1)若图象经过点(2,3)，求m的值和图象的顶点坐标； (2)若点B(2,a),C(5,b)在抛物线上，且a>b,则m的取值范围是 17.我们规定：在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫 做“M点”.如P(2,-2)就是“M点”.已知二次函数y=x2-mx-3. (1)求证：该函数图象上一定存在两个“M点”； (2)若这两个“M点”的横坐标分别是x1,x2,且x1<1<x2,求m的取值范围. 18.如图5，热爱生活的兰兰想对自家阳台上的栏杆进行装饰，把每根柱子下段涂色.测量 发现AB长为2.6m,栏杆AB被12根柱子等分成13份，每根柱子上涂有颜色部分的顶端及点A, B所在曲线呈抛物线形（柱子宽度忽略不计），且左起第4根柱子涂色部分的高度CE=0.36m. 求左起第一根柱子涂色部分的高度. B 图5 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程.如图6所示，在以发射点为原点， 地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级 运行路线：火箭第一级运行路径为抛物线y=ax2+x,当火箭运行的水平距离为9km时，自动引 发火箭的第二级，火箭第二级沿直线y=-子：+6运行 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km, ①求两段路径所在函数的解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置 之间的距离； (2)当火箭落地点与发射点的水平距离超过18km时，求a的取值范围. ↑w/km (火箭第二级的引发点) (地平线)9 (落地，点)x/小m 图6 20.如图7-①，已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点 C(0,-3). (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图7-②，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大 1,过点P作PM∥y轴，交BC于点M,过点Q作QN∥y轴，交BC于点N.求PM+QN的最大 值及此时点Q的坐标 图7 21.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合 而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅 盖直径视为相同)，建立平面直角坐标系如图8所示.如果把锅纵断面的抛物线记为C,锅盖纵 断面的抛物线记为C2. (1)求C和C2的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm,求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为2dm,高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物， 锅盖能否正常盖上？请说明理由. y个 C(0,1) A(-3,0) B(3,0) 0 C D(0,-3) 图8 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.如图9-①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm.点P以1cm/s的速度从点A出发沿 AB匀速运动到B;同时，点Q以2cm/s的速度从点B出发沿BC匀速运动到C.两点同时开始运 动，到达各自终点后停止，设运动时间为(s),△PBQ的面积为S(cm).当点Q在BC上运动时， S与t的函数图象如图9-②所示 (1)求S(cm)关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围； (2)当时间在什么范围内变化时，△PBQ的面积不小于子cm2?请直接写出的取值范围 个S/cm2 2 0 3 t/s 图9 23.定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形，则称此抛物 线为正抛物线， 【概念理解】 (1)如图10，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，试证明：以点A为顶点，且与x 轴交于D,C两点的抛物线是正抛物线； 【问题探究】 (2)已知一条抛物线经过x轴的两点E,F(点E在，点F的左侧)，已知E(1,0)且EF=2, 若此抛物线为正抛物线，求该抛物线的解析式； 【应用拓展】 (3)将抛物线y1=-x2+2√3x+9向下平移9个单位长度后得到新的抛物线y2.已知抛物 线y2的顶点为P,与x轴的两个交点分别为M,N(点M在，点N左侧)，把△PMN沿x轴正半轴 无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，…， 依此类推，请求出第2025次翻滚后抛物线y,的顶点P的对应点坐标 图10 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)中考数学人教(GDY)第5~8期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)证明：当y=0时，即x2-(m+2)x+2m-1=0,因 第5期2版 为4=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2+4m+4-8m 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 +4=m2-4m+8=(m-2)2+4,(m-2)2≥0，所以(m- 基础训练1.C；2.D;3.<;4.①③④ 2)2+4>0,即△>0，所以不论m取何值，该抛物线与x轴总 5.(1)把M(-4,6)代入y=-x2+mx+6,解得m=-4, 有两个公共点。 所以y=-x2-4x+6=-(x+2)2+10,所以抛物线的顶点坐 22.3实际问题与二次函数（第一课时） 标为(-2,10). 基础训练1.B;2.15563.2. (2)由(1)知，y=-(x+2)2+10,抛物线开口向下，所以 能力提高4.(1)由题意，得y=250-10(x-25)= 当x=-2时，y有最大值10，当x=-4时，y=-（-4+2)2+ -10x+500. 10=6,当x=1时，y=-(1+2)2+10=1,所以当-4≤x 设销售核桃的日利润为w元，则0=(x-20)(-10x+500) ≤1时，y的取值范围是1≤y≤10. =-10(x-35)2+2250, 能力提高6.(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x 因为-10<0，二次函数图象开口向下， =名=2，将点(（3，宁)代人抛物线得”=9a+3动 所以当x=35时，0有最大值，10最大=2250. 4 答：日销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+ =2, 2a 1 500,销售核桃的最大日利润为2250元. 3,联立 解得 4’所以抛物线的表 {9a+3b-3=-15 (2)由题意，得-10x+500≥160，解得x≤34. 4 b=-1, 又因为x>25,所以25<x≤34， 达式为)子--3 所以w=(x-20-m)(-10x+500)=-10x2+(700+ 10m)x-10000-500m. (2)由(1)知，抛物线的表达式为)=子2-x-3,令y 因为抛物线的对称轴为直线x=一9七册=35+受 0,即子2--3=0，解得=-2=6，所以4(-2,0)， >35,-10<0, B(6,0). 所以当25<x≤34，w随x的增大而增大， 因为抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=2,所以当 所以当x=34时，0有最大值，且0最大=(34-20-m) 一2≤x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数.因为当-2≤ (-10×34+500)=2000,解得m=1.5. x≤9时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，所以q 即当m为1.5时，可实现日销售量不少于160千克，且最大 >6. 日利润为2000元的目标. 将x=2代人y=子-x-3,得y=-4,即函数最小值 22.3实际问题与二次函数（第二课时） 基础训练1.C;2.2;3.20. 为-4，所以最大值为1-(-4)=5，令y=5,即子2-x-3 能力提高4.(1)由题意，得A(0,10),抛物线的顶点坐 标为(6,13)， =5,解得x=-4(舍去)或x=8,所以q的值为8. 22.2二次函数与一元二次方程 设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+13,将A(0,10)代 基础训练1.A;2.A;3.-1<x<0; 人，解得a=-2 4.k≤6且k≠2. 1 5.(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3. 所以图中水柱所在抛物线的函数表达式为y=一2(x 中考数学人教(GDY) 第5~8期 6)2+13. 190)由题点，得7=40-+2，+5》=-与(x+ 5 （2)对于抛物线=-立x-6P+B,令y=1,即-bx 子产+器因为-与<0，所以当>子时，7随：的增大 -6)2+13=1,解得x1=18,2=-6(舍去)， 所以此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m 而减小. 因为3≤x≤8，所以当x=3时，T有最大值，T=32。 第5期3版 (2)由题意，得y=15x+5[40-x+2)x+5]=- 题号12345678 +8.x+190=202,解得x=2或x=6. 答案C D CBABAB 因为3≤x≤8，所以x=2舍去，所以该商场建造的隔热 二、9.1；10.4；11.-2；12.25；13.10； 层厚度为6cm时，总费用达到202万元. 14a>停或n=4 (3)由(2)得W=y+2x=-x2+8.x+190+2x=-(x- 5)2+215,所以对称轴为直线x=5. 三、15.(1)x<0或x>3. 因为-1<0，所以离对称轴越远，W越小，因为5-3<8 (2)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点 -5,所以当x=8时，W有最小值，最小值为206， (-1,0),(3,0),所以方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,3 所以当隔热层修建8cm时，该商场未来5年的相关规划费 =3. 用达到最小值206万元. 16.（1)二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 20.(1)把y=0代入y=-x2+2mx+2m+1,解得x1= (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,由平移规律得平移后 -1,x2=2m+1. 函数的解析式为y=(x+2)2-1,所以顶点坐标为(-2，-1). 因为m>0,所以2m+1>0,所以x2>x1. 17.(1)由题意知，下部分矩形的长=10,9x=（5 2 因为点A在点B的左侧，所以点A的坐标为(-1,0)，点B 号)米，所以y=(5-是+)2=-72+10放关于 的坐标为(2m+1,0),所以0B=2m+1. 把x=0代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=2m+1,所 x的函数表达式为y=-7x2+10x 以点C的坐标为(0,2m+1),所以OC=2m+1,所以OB=0C. (2)由(1)得，y=-7x2+10x=-7(x- 马)2+ 5 因为∠B0C=90°，所以∠0BC=45°.故填45. 7 因为5-号>0，解得x<9 (2②)由题易求得抛物线的对称轴为直线=一号=m,把 x=m代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=m2+2m+1,所以 因为-7<0，所以当x=号时，y有最大值，最大值为汽， 点D(m,m2+2m+1). 所以当x=号时，透光面积最大，最大透光面积是苧平方 设直线BC的解析式为y=x+b,把B(2m+1,0),C(0, 米 2m+1)代人，得2m+1)k+6=0解得=1， 所以 l0+b=2m+1, lb=2m+1, 18.(1)由题意得A(0,1.6),设y与x的函数解析式为y= 直线BC的解析式为y=-x+2m+1. a(x-2+1.8,将40,1.6)代入，解得a=-0所以y= 把x=m代人，得y=m+1,所以点E(m,m+1),所以DE =m2+2m+1-m-1=m2+m 方-2户+18令y=0,即0=分x-2户+18，解得 因为h=0C-之0，所以h=2m+1-子(m2+m) x1=8,x2=-4(舍去)，所以0B=8米. (2)由题意及(1)可得A(0,1.6),B(8,0),将A,B代入抛 2+2+1=-m-+, 物线解析式，得6=c, 所以b=-8a-0.2 l0=64a+8b+c. 所以当m=子时，A有最大值，最大值为号 b 当m=-2a 0时，可得6=0，解得a=- 40当m= (3)点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象上. 因为E(m,m+1),A(-1,0),所以根据平移的性质可知， 6 2a =3时，解得a=-0 1 点0'的横坐标为-m-1,点0'的纵坐标为-m-1,即点 0'(-m-1,-m-1). 1 所以a的取值范围为-10<a<-40 当点0'在抛物线上时，则-(-m-1)2+2m×(-m-1) 2 中考数学人教(GDY) 第5~8期 +2m+1=-m-1,整理得3m2+m-1=0,解得m=-1 =1,所以二次函数的解析式为y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 6 所以顶点坐标为(1,2) 或m=-压+山（舍去）， (2)把B(2,a),C(5,b)代入二次函数解析式，得a=6- 6 3m,b=27-9m.因为a>b,所以6-3m>27-9m,解得m> 所以点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象 7 上，此时m=-1 子故填m>子 6 17.(1)证明：令x2-mx-3=-x,整理，得x2+(1-m)x 第5期4版 -3=0, 重点集训营 因为4=(1-m)2+12>0,所以该函数图象上一定存在 (1)因为二次函数y=x2-4x+c的图象与y轴的交点坐 两个“M点” 标为(0,5)，所以c=5,所以y=2-4x+5=(x-2)2+1, (2)设y=x2+(1-m)x-3,则1，x2是x2+（1-m)x 所以顶点M的坐标是(2,1) -3=0的解，所以函数y=x2+(1-m)x-3的图象与x轴相 (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)，所以点A的 交于点(x1,0),(x2,0) 坐标是(1,0). 因为该函数图象开口向上，且x,<1<x2,所以当x=1时 ①当t=2时，点D',A'的坐标分别是(2,0)，(3,0) y<0,即1+1-m-3<0,所以m>-1. 当x=3时，y=（3-2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2， 18.以A为原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y 当x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1. 轴，建立平面直角坐标系 因为PG⊥A'B',所以点G的纵坐标是1，所以QG=2-1 设抛物线的表达式为y=ax2+bx. =1. 因为AB=2.6m,所以B(2.6,0) ②存在.理由：因为△PGQ的面积为1，PG=1,所以QG= 因为栏杆的长AB被12根柱子等分成13份，所以AE= 2.根据题意，得P,Q的坐标分别是(t,子-4t+5),(t+1,-2t 2.6÷13×4=0.8(m),所以C(0.8,0.36) +2) 将B(2.6,0),C(0.8,0.36)代入y=ax2+bx,得 如图1-①，当点G在点Q的上方时，则QG=t-4t+5 1 r2.62a+2.6b=0, 「a=- 4 -(-21+2)=3-2=2,此时4=之（在0<1<3的范 解得 l0.82a+0.8b=0.36, =易 围内)， 所以揽物线的表达式为)=一+品 因为常=02(m,当x=0,2时，y=012,所以左起第 根柱子涂色部分的高度为0.12m. 0 D'A' ① ③ 四、19.(1)①因为火箭第二级的引发点的高度为3.6km, 图1 如图1-②，当点G在点Q的下方时，则QG=-2t+2 所以抛物线)=am2+和直线y=-子+b均经过点(9， -(2-41+5)=21-3=2,此时6=多（在0<1<3的范 3.6), 国内)，所以1=子或 5 所以3.6=81a+9,3.6=-号×”9+6，解得a=-5b =6.6 第6期综合评估卷 所以函数解析式分别为y=方+=-子+66 题号12345678910 ②(D知y5+=古x-学+所以火 箭运行的最高点为5km, =11a<2:12.45:136≥-3：1452： 4 15.②③ 由题意，得号-1,35=24(m).则-方2+=24，解 三、16.(1)将点(2,3)代入y=2-2mx+m+2,解得m得x1=12(舍去)，x2=3. 一3 中考数学人教(GDY) 第5~8期 对于y=-了+66，当x=9时y=36>24, 径为2,5dm (3)锅盖不能正常盖上，理由如下： 1 所以当)=2.4时，即-3x+66=24,解得x=12.6 当x=1时，对于Gy=了×P-3=- 3 因为12.6-3=9.6(km), 1 所以这两个位置之间的距离为9.6km. 对于Gw-号×1P+1=8， 9· (2)当水平距离为18km时，由题意，得火箭第二级的引发 点为(9,81a+9), 因为号-(-号)=号+号-号<36，所以锅益不能 将(9,81a+9),(18,0)代人y=-子+6，得 正常盖上 五、22.(1)设AB=acm,当0≤t≤2时，PB=(a-t)cm, f81a+9=- 3×9+6, rb=6, BQ 2t cm, 解得{ 0=-号×18+6， 2所以-<a<0. 2 a=-27 所以5=分PBB0=a-02=-+at 20.(1)把A(-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+mx+n, 因为抛物线经过点(2,2)，所以a=3,所以S=-2+3. 得1-m+n=0 解得m=-2, 因为AB=3cm,所以t≤3. ln=-3, ln=-3, 当2<t≤3时，PB=(3-t)cm,BC=4cm,所以S= 2PB·BC=2(3-)·4=-2t+6, 1 所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,2=3,所以点 所以S= 「-t+3t(0≤t≤2)， B的坐标为(3,0) l-2t+6(2<t≤3) (2)设直线BC的解析式为y=kx+b. 把B(3,0),C(0,-3)代入y=x+b,得 k+b=0解 (2)在二次函数S=-f+3(0≤1≤2)中，当5=子时， b=-3, 即-2+3t= 得1， 子解得与=分=三（合去） lb=-3, 在-次函数S=-2:+6(2<1≤3)中，当S=子时，即 所以直线BC的解析式为y=x-3. 设P(a,a2-2a-3)(0<a<2),则Q(a+1,a2-4), -2+6=子，解得=号 81 M(a,a-3),N(a+1,a-2), 所以在方≤1≤号时，△PB0的面积不小于子em。 所以PM=-a2+3a,QW=-a2+a+2,所以PM+QW= -2a2+4a+2=-2(a-1)2+4. 23.(1)证明：因为∠BAC=90°，点D是BC的中点，所以 因为-2<0，所以当a=1时，PM+QW有最大值4，此时 AD BD CD -7BC. a+1=2,a2-4=-3,所以点Q的坐标为(2，-3) 因为抛物线以A为顶点，与x轴交于D,C两点， 21.(1)因为抛物线C1和C2都过点A(-3,0),B(3,0), 所以AD=AC,所以AD=AC=CD, 所以设C和C2的解析式分别为y=a1(x-3)(x+3),y 所以△ACD是等边三角形， =a2(x-3)(x+3). 所以以点A为顶点，且与x轴交于D,C两点的抛物线是正 因为抛物线C经过D(0,-3),所以将D(0,-3)代人y= 抛物线。 a(x-3)(x+3)中，解得a=分，则C的解析式为y=弓 (2)因为E(1,0)且EF=2,点F在x轴上，且点E在点F -3(-3≤x≤3) 的左边，所以F(3,0) 因为抛物线C2经过C(0,1),所以将C(0,1)代人y=a2(x 由题意得，经过x轴的两点E,F的抛物线为正抛物线， -3)(x+3)中，解得=-g则6的解析式为y=-号 设顶点为G,所以△EFG是等边三角形， 所以6==2,11=√2-下=5 +1(-3≤x≤3). 2 (2)对于C:y=弓-3，当炒菜锅里的水位高度为1dm ①当G(2,3)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+ 5,把点E(1,0)代入，得a+5=0,解得a=-√5，所以y= 时，y=-2,即宁-3=-2，解得x=士万，则此时水面的直 -5(x-2)2+5; -4 中考数学人教(GDY)第5~8期 ②当G(2,-√5)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2形ACDF是平行四边形. -5,把点E(1,0)代入，得a-5=0,解得a=5,所以y= (2)连接CF,因为△DEF和△ABC关于点O成中心对称， 3(x-2)2-5 四边形ACDF是平行四边形，所以F,O,C三点共线。 因为∠ACB=90°，AC=4,BC=3,所以AB=5. 综上所述，此抛物线的解析式为y=-5(x-2)2+5或 因为四边形ACDF是菱形，所以CF⊥AD, y=5(x-2)2-5. (3)抛物线y1=-x2+25x+9=-(x-√5)2+12，由平 因为分4CCB=分4B.C0,所以c0=号所以40= 移得抛物线乃2=-(x-√5)2+3， 16 所以P(5,3),M(0,0),N(25,0), 23.2.2中心对称图形 所以PM=MW=PN=25, 基础训练 1.A;2.B;3.C;460°或180°或300°； 所以△PMW是等边三角形， 5.13. 所以第1次翻滚后顶点对应坐标为P,(4√5,0)，第2次翻 能力提高 6.图略 滚后P2与P重合，第3次翻滚后顶点P的对应坐标为 第7期3版 P(75,3) 每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数能被3整除时，顶点 题号 1 2 345678 的纵坐标为3，横坐标为5+n×25=(2n+1)5, 因为2025÷3=675，所以(2×2025+1)×√3=4051W5, 二、9.=；10.60；11.30；12.(3,1)；13.16； 所以第2025次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为 14子 (40515,3) 三、15.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称， 第7期2版 所以BG=DG,AG=CG. 因为AF=CE,所以AF-AG=CE-CG,所以EG=FG. 23.1图形的旋转 又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌△BGF,所以BF 基础训练1.C;2.B;3.C；4.点C;5.√5. DE 能力提高6.(1)线段PP'的长为2 16.(1)图略. (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45° (2)△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转90°，才能与 在△BPP'中，PP=2,PB=22,P'B=PD=√10， △CCC2重合. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以PP2+PB= (3)图略。 P'B2, 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CB, 所以△BPP为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠ABC=90°，所以∠ABE+∠EBC=90 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. 又由旋转得∠EBG=90°，BE=BG,所以LCBG+∠EBC (3)过B作BE⊥AQ,垂足为E, =90°， 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45= 所以∠ABE=∠CBG,所以△ABE≌△CBG. ∠BPE,所以PE=BE. (2)CE+CG=√2BC. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 理由：因为△ABE≌△CBG,所以AE=CG,所以CE+CG 所以AE=3,所以AB=√AE+BE=√3，所以 CE AE AC. S正方形ABCD=AB2=13. 因为四边形ABCD是正方形，所以AC=√2BC,所以CE+ 23.2.1中心对称 CG =2BC. 基础训练1.A;2.C:3.C:4.(3,-1)；5.25. 18.(1)因为△ABC和△DEF关于点O成中心对称，所以 能力提高6.(1)证明：因为△DEF和△ABC关于点O成 △ABC≌△DEF. 中心对称，所以△ABC≌△DEF, 所以DF=AC=5,DE=AB=6,EF=BC=4, 所以∠BAC=∠EDF,DF=AC,所以DF∥AC,所以四边 所以△DEF的周长为EF+DF+DE=15. 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)四边形ACDF是平行四边形 第7期4版 理由：连接AD,CF,因为△ABC和△DEF关于点O成中心 对称，所以AD与CF交于点O, 重点集训营 所以OA=OD,OC=OF,所以四边形ACDF为平行四边 1.(1)如图3，△A1BO1即为所作. 形 (2)如图3，点C1即为所作 19.(1)∠ABD的度数为45° (2)证明：由题意知∠BAC=∠DAE, 因为∠BAD=90°，AB=AD,∠ABD=45°，F是BD的中 B 点，所以∠BAF=∠DAF=45 因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC,∠EAF= ∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以∠AGF=∠EAF 图3 图4 (3)证明：因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 2.(1)如图4，△A1BC1即为所求. Rt△ADE. (2)如图4，△A2B2C2即为所求.旋转中心点M的坐标为 所以AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，所以 (1,0) ∠ABG=∠ACE=45°. 因为∠AGB=∠CGF,所以∠BAC=∠CFB. 第8期2版 设AD,EF交于M,因为∠AEC=∠ADB=45°，∠AME= 23.2.3关于原点对称的点的坐标 ∠DMF,所以∠DAE=∠DFE. 基础训练1.D;2.B;3.D;4.-2;5.(2,-2); 因为∠BAC=∠DAE,所以∠CFB=∠DFE. 6.A(-1,2),B(-3,-2). 因为∠BFD=∠BFA+∠AFE+∠DFE=∠BFC+ 7.(1)图略.由坐标系可得，A1(-1,-4),B(1,-3), ∠AFB+∠AFE=180°， C1(-3,-2). 所以F,C,E三点在同一直线上 20.(1)BD=CE,BD⊥CE. (2)由勾股定理得，0A=√+4平=√/7，所以A4= (2)2AD2=BD2+CD2. 20A=217, 证明：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE. 所以关于原点对称的A点和A,点之间的距离为2√7. 因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE, 能力提高8.(1)点P关于原点的对称点P'的坐标为(2， 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°， 1) 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，所以DE2=CE2+ (2)因为P'(2,1),所以0P'=5. CD. 当T0=P'0=5时，△P'T0是等腰三角形，所以点 因为AD=AE,∠DAE=90°，所以DE=√2AD,所以2AD BD2 CD2. T(-5,0)或T(5,0),所以t=-5或t=5; (3)如图2，将AF绕点A逆时针旋转 G 当70=P时，F=(2-)2+1,解得1=子： 90°至AG,连接CG,FG, 当TP'=P'0=5时，5=(t-2)2+1,解得t=0(舍去) 则△FAG是等腰直角三角形，所以 或t=4. ∠AFG=45° 因为∠AFC=45°，所以∠GFC= 综上所述，符合条件的的值为-5，子，5,4 90° 图2 23.3课题学习图案设计 同理得△BAF≌△CAG,所以CG=BF=13. 基础训练1.D;2.C；3.③④； 在Rt△CGF中，因为CF=5,所以FG=12. 4.将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度； 因为△FAG是等腰直角三角形，所以AF2+AG=FG, 5.6 所以2AF2=144,所以AF=62. 6.如图5所示（答案不惟一） 6 中考数学人教(GDY)第5~8期 以DE=HF 因为M为AG的中点，所以AM=GM. 因为∠H=∠GCM,∠AMH=∠GMC,所以△AHM≌ △GCM,所以HM=CM. ① 图5 ② 因为CE=CF,所以FM+DE=FM+HF=HM=CM= CF-FM=CE-FM,所以2FM+DE=CE. 第8期3,4版综合评估卷 21.答案不惟一，如图6所示 、 题号12345678910 答案CC D CABC A B C 二、11.-2；12.60°；13.2<B'C'<4;14.1; 15.1+5. 三、16.(1)图略.A'(0,-6) (2)图略，D'(3,-5). 图6 17.略. 五、22.（1)对于y=2x+2,当x=0时，y=2,所以0K= 18.(1)AE的长为3. 2;当y=0时，x=-1,所以01=1. (2)因为∠C=110°，∠BAC=40°，所以∠ABC=30°. 如图7，点A为点J关于点K的顺时针“垂链点”，过点A作 因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,所以∠DBE AB⊥y轴，由题易证得，△ABK兰△KOJ,所以AB=OK=2, =∠ABC=30°. BK=OJ=1,所以OB=3, 因为BD∥AC,所以∠DBC+∠C=180°，所以∠DBC= 所以点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为(-2,3) 70°，所以∠ABE=10°. B7--C 四、19.(1)图略，C点坐标为(2，-2)，D点坐标为(-2， B/y=2x+2 D y=3x+2 -5). T/y=3x+2 4 (2)若点C在x轴上，设0C=h,由勾股定理，得3+42+ 0 0 3+=(4+)2,解得A=号，所以C(},0).因为线段cD D:IRO 图7 图8 图9 (2)对于y=3x+2,当x=0时，y=2,所以0Q=2;当 4+4三-。，所以】 与AB关于点P成中心对称，所以2 y=0时，=-子，所以0R=子设点C为点Q关于点P的 2 Pr-子0).同理，若D点在)轴上，可得P0,名 “垂链点” 综上，当C,D两点中有一点在坐标轴上时，P点坐标为 当逆时针旋转时，如图8，点P(-2,m)所在的竖直直线为 (-令0)或0.-名 L,作CB⊥1于点B,作QA⊥I于点A, 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=m-2. 20.(1)证明：因为△ABC为等边三角形，所以AC=BC, 由题易证得，△PAQ兰△CBP,所以BP=AQ=2,BC= ∠ACB=60° AP m -2. 因为线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,所以CE 所以BD=m+2,所以C(m-4,m+2). =CF,∠ECF=60°， 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2 所以∠BCE=∠ACF,所以△BCE≌△ACF,所以BE= 上，所以m+2=3(m-4)+2, AF. 所以m=6,所以C(2,8); (2)2FM DE CE. 当顺时针旋转时，如图9，点P(-2,m)所在的竖直直线为 证明：过点A作AH∥BC,交CF的延长线于点H,所以 l,作CB⊥1于B,作QA⊥I于A, ∠HAC=∠ACB=60°，∠H=∠GCM,所以∠HAC=∠ACB 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=2-m =∠ABC 由题易证得，△PAQ≌△CBP,所以BP=AQ=2,BC= 因为BC=AC,∠BCE=∠ACF,所以△CBD≌△CAH,所 AP =2-m, 以CD=CH,由(I)得CE=CF,所以CD-CE=CH-CF,所 所以BD=2-m,所以C(-m,m-2) 7 中考数学人教(GDY)第5~8期 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2: 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°，此时AD与AB重 上，所以m-2=-3m+2, 合，点F转到点G,在AG上取AH=AN,连接HM,HB,所以 所以m=1,所以C(-1,-1) ∠BAG=∠DAF 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为(-1，-1) 又因为AH=AN,AB=AD,所以△ABH≌△ADN,所以 或(2,8) DN=BH,∠ABH=∠ADN 23.(1)EF AE +CF. 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以∠ABD= (2)CW2+AM2=MW2. ∠ADB=30°，∠BAD=120°， 证明：在正方形ABCD中，AD=CD,∠ADC=90°， 所以∠HBD=∠ABH+∠ABD=60° 将△ADM绕着点D逆时针旋转90°，得到△CDP,连接 因为∠DAF=15°，∠EAF=60°，所以∠BAG=∠DAF= PV,则△ADM≌△CDP, 15,∠BAE=∠BAD-∠DAF-∠EAF=45. 所以∠ADM=∠CDP,AM=CP,DM=DP,∠DAM= 因为∠GAE=∠BAG+∠BAE=60°，所以∠GAE= ∠DCP=45°=∠DCN, ∠EAF=60. 所以∠PCN=∠DCP+∠DCN=90°. 因为AM=AM,所以△AMH≌△AMN,所以MH=MN, 又因为∠EDF=45°，所以∠PDW=∠CDP+∠CDN= ∠AMH=∠AMD ∠ADM+∠CDN=90°-∠EDF=45°=∠MDN. 因为∠ADB=30°，∠DAM=∠DAF+∠EAF=75°，所以 因为DN=DN,所以△PDN兰△MDN,所以PN=MN ∠AMD=75°， 因为∠PCN=90°，所以CN2+CP2=PW2,即CWN2+AM 所以∠AMH=∠AMD=75°，所以∠HMB=180°- =MN2. ∠AMD-∠AMH=30°，所以∠BHM=90°， (3)PN2 MN2 BM2. 所以BF+MH=BMP,所以DN2+MN2=BM. 一8一