第4期 22.1.1 二次函数-22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+ k的图象和性质-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第1~6期 发理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第1~6期 3)2>0且m≠0，所以m≠3且m≠0，所以m的取值范围是 第1期2版 m≠3且m≠0. 21.1一元二次方程 (2)证明：因为4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m 基础训练1.C;2.A;3.C; -3)=(m-3)2≥0， 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以x=-b±B-4ae_3(m-1)±(m-3) 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 2a 2m 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 所以x=3m-3+m-3=2m-3=2-3 2m ,x2三 m 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. 3m-3-m+3=1, 4 2m 8.(1)因为 =ad-bc,所以 =2×3 d 3 所以无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. 4×(-1)=10. 第1期3版 (2)因为 =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 题号12345678 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 解得m=-8. 二、9.m≥0；10.x2-3x-4=0:11.-2; 21.2.1配方法 12.-3+7 4；13.0:14.6或10或12. 基础训练1.D;2.A;3.B; 4.3;5.x1=32=-2. 三、15.(1)x1=1,x2=-7; 6.(1)x1=-1+2,x2=-1-2; (2x=3，匝=3，而 2 2 (2)x1=2+5,2=2-5; (3)x1=5+5,2=5-5. (3)x1=1+5,2=1-5. 16.(1)根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=(x 出现了错误故填一 +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. (2)正确解答过程如下： 21.2.2公式法 2x2-8x+3=0, 基础训练1.B;2.A;3.D; 系数化为1，得父-4+子0， 4-7.4-7.6,5四 配方，得(x-22=各 6=34D3-厄 4 解得x=4±0 2 23 (2)x1=3+5。 2； 所以名：4D=4,四 2 (3x=3，匝=3，回 17.(1)证明：因为4=[-(k+4)]2-4×1×4k=(k- 2 2 4)2≥0，所以该方程总有两个实数根。 能力提高7.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m -3)=(m-3)2,因为方程有两个不相等的实数根，所以(m- (2)根据求根公式得x=k+4)±k-④ 2 中考数学人教(GDY) 第1~6期 (k+4)±(k=4),所以1=4，西=k 2 (4)1=5+ 2 2,5=5- 2； 因为该方程有一个根小于1，所以k<1. (5)x1=4,x2=10: 18.(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, (6)x1=√6+√T,x2=6-T. 整理，得a2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. 2.(1)k的取值范围为k≤5. 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. (2)k1=3-5,k2=3+5 (2)将a=-2代入方程得-32-2x+5=0,即2+子 第2期2版 21.2.3因式分解法 配方，得(x+宁2=台开方，得+号=± 3 基础训练A;2.:3.B;4-分；5-3 所以方程的解为=1，=一号 6.(1)x1=x2=2; (2)x1=3,x2=-1; 19.(1)根据定义，得x2+2x-8=0的“倒序方程”为 -8x2+2x+1=0. (3)=名-分 (2)x2+2x-8=0,移项，得x2+2x=8, 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,x2=1. 配方，得2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, (2)设3+2=y,原方程可化为y+2-3=0, y 解得x+1=±3，所以x1=2,x2=-4. 由(1)知，x2+2x-8=0的“倒序方程”为-8x2+2x+1 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. =0. 当y=1时，x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解； 这里a=-8,b=2,c=1. 当y=2时，3+2=2，解得x=-2,经检验是原方程的解 因为b2-4ac=22-4×(-8)×1=36, 解得=没爵：总兰 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. -16 ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 所以名=分=子 基础训练1.B;2.C;3.10. 4.(1)因为2,3是方程x2+px+q=0的两根， 20.(1)(x+2)(x+6)=5, 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以2+3=-卡=-p,2×3=q, 所以(x+4)2-22=5, 所以p=-5,9=6. 所以(x+4)2=2+5,所以(x+4)2=9. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,x2=-7, 5n-3=0, 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. 所以m≠0，n≠0，m,n可看作方程x2+5x-3=0的两 故填4,2，-1，-7. 根，所以m+n=-5,mn=-3, (2)(x-3)(x+1)=5, 所以m+及= =（m+n)2-2mn n 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, m n mn 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. 二5》--》。-号即受+只的值为-号 -3 n 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,2=-2. 21,3实际问题与一元二次方程（第一课时） 第1期4版 基础训练1.B;2.B；3.12;4.6. 5.(1)由题意可得现在平均每天售卖(24+2x)盆，每盆盈 重点集训营 利为(90-60-x)元，即(30-x)元. 1 1.(1)x1=1,2=3 所以得(24+2x)(30-x)=784,解得x1=2,x2=16. (2)x1=1,西=-2； 3 答：当x为2元或16元时，平均每天的盈利为784元. (3)不能实现，理由如下： (3)无实数解； 由题可得(24+2x)(30-x)=900, 中考数学人教(GDY) 第1~6期 整理得x2-18x+90=0. 所以(2x-1)(2x-3)=0,解得新=方出=子 3 因为4=(-18)2-4×1×90=-36<0， 3 所以原方程无解，所以该销售商的这种想法不能实现 因为药=2=+1， 21.3实际问题与一元二次方程（第二课时） 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 基础训练1.C;2.C;3.4;4.5. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 5)号 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. (2)由题意得BQ=4tcm,AP=2tcm, 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， 因为AB=10cm,所以PB=AB-AP=(10-2t)cm. 所以x1=x32+1或1=32-1，即3=-2m+1或3= -2m-1, 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 所以m=-1或m=-2. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PQ=PB+BQ,所以(10 19.(1)2,4 -2t)2+(4t)2=102, (2)①x1=-1,x2=6. 解得t1=0(舍去)，2=2， 所以当t=2时，PQ的长度等于10cm. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,2=5.由三角形的三边 关系可知x=5,所以AB=AC=5.过点A作AD⊥BC于点D, (3)不存在.理由如下： 由题意得7(10-20)·4=28， 则BD=之BC=4,在R△ABD中，AD=√AB-BD=3,所 整理得2-5t+7=0, 以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=12 所以4=(-5)2-4×1×7=-3<0， 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E, 所以该方程无解， 所以BE=CQ=tcm,AP=tcm,则PE=(8-2t)cm.在 所以不存在t的值，使得△PBQ的面积等于28cm2. Rt△PQE中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=52, 第2期3版 解得t=2或t=6,即P,Q两点从出发开始到2或6秒时， 点P和点Q间的距离是5cm 题号12345678 (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 答案DA DBDCBA 分三种情况： 二、9.0；10.-5；11.-4或3；12.1；13.9； ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 14.√2. 所以DF=QF 三、15.(1)x1=7,x2=1 因为AP=CQ=tcm,所以DF=AP=tcm,即CD=DF (2)x1=-5,x2=4; +FQ+CQ=3t=8, (3)x1=-4,x2=1. 解得1=号即当P,Q两点从出发开始到号砂时，点P,.0, 16.因为关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1, D组成的三角形是等腰三角形； x2两个实数根， 所以x+x2=6,x1x2=2m-1. 因为1=1，所以1+2=6，所以x2=5, 所以2m-1=1×5=5,解得m=3. Q 17.(1)设该校八年级共有x个班， 1 图1 图2 根据题意，得2x(x-1)=45, ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=10,x2=-9(舍去). 因为AP=CQ=tcm,所以QP=QD=CD-CQ=(8- 答：该校八年级共有10个班. 1)cm,DF AP =t cm, (2)设小奉同学所在的班级胜了y场，则负了(9-y)场， 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm. 根据题意，得2y+(9-y)≥14，解得y≥5. 在Rt△PQF中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：小奉同学所在的班级至少要取得5场胜利， 18.(1）因为4x2-8x+3=0, 解得t=16±图=8±团，即当P,0两点从出发开 6 3 3 中考数学人教(GDY) 第1~6期 始到8-37或8+7秒时，点P,0,D组成的三角形是等腰 18.(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 3 3 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 三角形； 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去) ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于 A 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 点F,如图3所示， (2)由题意可知，288×(1+11)=3456（台）. 因为AP=CQ=tcm,所以DP=QD= 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. CD -CO =(8-t)cm. 四、19.(1)解方程x2=2x得1=0，x2=2. 在Rt△ADP中，由勾股定理可得：+9=B 因为x1≤2，所以P(0,2): 图3 (像-，解得1=亮即当P,0丙点从出发开 (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为1和x2(x1≤ x2),则P(x1,x2) 始到瓷秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角形 因为点P在直线y=-x上， 综上所述，当P.0两点从出发开始到-或弩或名 所以x1+x2=0,即k+1=0,解得k=-1 3 20.(1)△ABC是等腰三角形.理由：因为x=-1是方程的 或8+37秒时，点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形. 根，所以a+c-2b+a-c=0,所以a-b=0,所以a=b, 3 所以△ABC是等腰三角形. 第2期4版 (2)△ABC是直角三角形.理由： 因为方程有两个相等的实数根，所以(2b)2-4(a+c)(a 重点集训营 c)=0,所以42-4a2+4e2=0, 1.A;2.D;3.2;4.19. 所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形. 5.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, (3)因为△ABC是等边三角形，所以(a+c)x2+2bx+(a 将点(25,70)，(35,50)代入得 70=25k+b, -c）=0可整理为2a.x2+2ax=0, 50=35k+b, 所以x2+x=0,解得x1=0,x2=-1. 解得-2， 21.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- b=120. 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以y与x之间的函数关系式为y=-2x+120. 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x (2)由题意得(-2x+120)(x-20)=600, +3025=0,解得x1=x3=55. 整理，得x2-80x+1500=0, 答：每件商品的售价为55元 解得x1=30,x2=50. (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为商场规定这种商品每件售价不得高于40元， 2500元.理由如下： 所以x=30, 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 所以商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 30元. 依题意，得(y-40)(700-10y）=2500,整理，得y2-110y 第3期综合评估卷 +3050=0. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 题号123456789 10 程无实数根， 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 2500元. 14.√34或4；15.4或-2. 五、22(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” 三、16x1=-3,x3=1. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 等的实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△=（-4)2-4a×2=0,解得a=2, (3)由题可得4=b2-4a×1=62-4a≥0，所以解方程 此时x=二，4)去面=1，即1=为=1 得x=二b±公二40因为关于x的方程ar2+b加+1=0(a, 2×2 2a 4 中考数学人教(GDY) 第1~6期 b是常数，a>0)是“差1方程"，所以二b+YF=40 5.m≥3；6.3≤y<11;7.8. 2a 8.(1)b的值为-8. =b--40=1,所以6=d2+4a.因为t=10a-,所 (2)小明的说法正确.理由如下： 2a 由题知二次函数y=-2(x-2a)2+3-a的顶点坐标为 以t=6a-a2=-（a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. (2a,3-a), 23.(1)(4a2-200a+2400). 3 将x=2a代人y=之+3中，得y=3-a,所以顶点坐 (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 8 ×60 ×40,解得a1=5,a2=45(舍去). 标(2a,3-a)在直线)=-子x+3上，所以小明说法正确 答：此时通道的宽为5米. 能力提高9.(1)m=1,C(-1,0) (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 (2)在该二次函数的对称轴上，存在点Q,使得以A,C,Q 少为800平方米. 为顶点的三角形是等腰三角形. 根据图象可设y1=mx,3=kx+b,将点(1200,48000)代 由(1)知顶点坐标为C(-1,0),对称轴为直线x=-1, 入y1得1200m=48000,解得m=40,所以y=40x.将点(800， 过点A作AE⊥CD于点E,连接AC,在Rt△ACE中，由勾股 480).120,6200)代人为得s+6:4800,解得 定理，得AC=√AE+CE=25. L1200k+b=62000, ①当AQ=CQ时，设CQ=m,在Rt△AQE中，由勾股定 「k=35, 理，得AE2+EQ2=AQ2,所以22+(4-m)2=m2,解得m= 所以y2=35x+20000.因为花圃面积为4a2- 1L6=20000, 3,所以Q(-1,》: 200a+2400,所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400) =-4a2+200a,所以35(4a2-200a+2400)+20000+ ②当AC=AQ时，根据等腰三角形的性质，得CE=QE= 4,所以CQ=2CE=8,所以Q(-1,8); 40(-4a2+200a)=105920,解得a1=2,a2=48(舍去). 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 ③当CA=CQ=25时，可得Q的坐标为(-1,25)或 105920元， (-1,-25). 第4期2版 综上所述，点Q的坐标为(-1，吾)或(-1,8)或(-1， 25)或(-1，-25). 22.1.1二次函数 基础训练1.A;2.A;3.D;4.0:5.2025; 第4期3版 6.>；7.四. 8.(1)S=2[x2+2x(x+0.5)]=6x2+2x. 题号1 2345678 答案A ADACDBB (2)y=5S=30x2+10x. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 二、9.y=-2x2+3x-1；10.y=-(x-4)2；11.10; 基础训练1.D;2.A;3.A；4.-18<y≤0；5.4； 12.2(答案不惟-)：13.10；14.a>2或0<a<4 6.a>b>d>c;7.3. 三、15.(1)m的值为2或-3. 能力提高8.（1)a=1,B(2,4). (2)当m+2>0,即m>-2时，抛物线有最低点，故当m (2)因为A(-2,4),B(2,4),所以AB=4, =2时，抛物线的解析式为y=4x2+1,此时该抛物线的最低点 因为AB∥x轴，所以Sam=方AB小-41=方× 即顶点坐标为(0,1) 41yp-41=2,解得yp=3或yp=5. 16.(1)因为抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x= -2,所以h=-2 在y=x2中，当y=3时，解得x=±√5， 即抛物线的解析式为y=a(x+2)2。 当y=5时，解得x=±5， 所以点P的坐标为(-5,3)或(5,3)或(-5,5)或 将(1，-3)代人y=a(x+2)2中，解得a=-弓，所以地 (5,5) 物线的解析式为y=-3(x+2)只 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 基础训练1.A;2.B;3.B4.y=(x+1)2-2; (2)由(1)得抛物线解析式为y=- (x+22, 5 中考数学人教(GDY) 第1~6期 因为-弓<0，所以抛物线开口向下， 19.(1)令y=0,则(x+4)2=0,解得1=x2=-4, 所以点A(-4,0) 所以当x>-2时，y随x的增大而减小. 令x=0,则y=(0+4)2=16, 17.(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2,得a=1,所 所以点B(0,16). 以二次函数的解析式为y=x2 (2)在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边 将点A(1,m)代入y=x2中，得m=1, 形为平行四边形. 把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b,得 因为点P在对称轴上，所以AP=OB=16,①若点P在点 [h +b=1, 解得1， A的上方，易求得点P的坐标为(-4,16)； 1-2k+b=4,1b=2, ②若点P在点A的下方，易求得点P的坐标为(-4， 所以一次函数的解析式y=-x+2. -16). (2)设一次函数与y轴交于点C, 综上所述，当点P的坐标为(-4,16)或(-4，-16)时，以 在y=-x+2中，令x=0,得y=2, P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形. 所以C(0,2), 20.(1)-1. 所以Saw=Sam+5a=7×2x1+7x2×2=3 (2)抛物线y=-7(x-1)2+的顶点A的坐标为(1， 18.(1)由题意可设A(a,2a),则B(-a,2a), 因为点A在抛物线y=2x上， ),由题易求得点D的坐标为（女+1，）将点D的坐标代 所以2a=2a2,解得a=1或a=0(舍去)，所以A(1,2). 人y=-x-+6,得片=宁（宁+1-1P+6解得 1 (2)由(1)易得B(-1,2),D(1,0) 设直线BD的解析式为y=kx+b, k=4或k=0(舍去).故填4. 将B(-1,2),D(1,0)代入，得+6=2 (3)抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A的坐标为(h,k),由 k+b=0, 题得点D的坐标为(+h,), 解得=-1， Lb=1, 将点D的坐标代人y=a(x-h)2+,得宁=a(受+h- 所以直线BD的解析式为y=-x+L. h)2+k,解得ah=-2. 联立=x+1 「x= 2 第4期4版 或 ly =2x, 解得-1， y=2 重点集训营 所以点P的坐标为宁，。 题型一：l.A;2.点M;题型二：l.B;2.D. —64 素养·拓展 数理极 专题辅导 索简单的二次函数 重点集圳营 ◎江苏唐剑峰 题型一：函数图象 一、y=ax(a≠0)的图象及性质 常密切，当1α1越大时，抛物线的开口越小；当 1.函数y=a(x+a)与y=ax2(a≠0)在 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛1a|越小时，抛物线的开口越大 同一坐标上的图象大致是 物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是原点(0， 二、y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象及性质 0) 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象 (1)用描点法作二次函数的图象：①列表；是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h,顶点坐 ,, ②描点；③连线 标为(h,k).二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0) (2)当a>0和a<0时，二次函数y= 的性质与a,h,k的关系密切，现总结如下： 2.已知二次函数y=x2-2 ax2(a≠0)的图象具有不同的性质，现总结如 二次项 开口对称顶点 的图象如图所示，则坐标原点 下： 图象 增减性 系数 方向轴坐标 可能是 二次项 开口对称顶点 图象 增减性 t-h 当x<h时，y随； 题型二：比较大小 系数 方向轴 坐标 1.已知抛物线y=2(x- 的增大而减小 当x>h时，y随 1)2+c过点(-2，y),(0,y2),(3,y3),则y1 当x<0时，y随 直线 a>0 向上 ,A的增大而增大： 3y的大小关系是 (0,0),x的增大而减 当x=h时，y有 A.y2>y3>y1 B.y1>y3>y2 >0 向上y轴 为最 小；当x>0时 最小值，其最小 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 低占 y随x的增大而 值为k 2.已知P(x1y),P2(x2y2)是抛物线y 增大 =a(x-1)2-a(a≠0)上的点，下列命题正确 当x<h时，y随 当x<0时，y随 的是 的增大而增大； 0 (0,0),x的增大而增 A.若1x1-11>1x2-11,则y1>2 当x>h时，y随x a<0 向下y轴 为最 大；当x>0时 直线 B.若1x1-11>12-11,则y1<2 a<0 向下 (h,k)的增大而减小 高点y随x的增大而 r =h C.若1x11=1x21,则y=y2 当龙=h时，y有 减小小、 D.若Ix1-11=1x2-11,则y1=y2 最大值，其最大 值为k 数理报社试题研究中心 抛物线y=ax的开口大小与引|的关系非 (参考答案见下期) 十十十十十十十 十w十十 第2期2版参考答案 18.(1)因为4x2-8x+3=0,所以(2x-1)(2x-3) 21.2.3因式分解法 基础训练1A;2B;3.B;4.- 2；5-3. =0,解得=分=子因为名子=有+1，所 以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 6.(1)x1=x2=2:(2)x1=3,x2=-1: (2)m=-1或m=-2. 辅助线周周练 1 (3)x1=2=-3 19.(1)2,4. (2)①x1=-1,为3=6. 能力提高7.（1)原方程的根为x1=-2,x2=1. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.由三角形 1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= (2)原方程的根为=-1,2=-2. 的三边关系可知x=5,所以AB=AC=5.过点A作AD 2,AC=4,点D为AC边上一动点，以BD为边在 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 ⊥BC于点D,则BD=)BC=4,在R△ABD中，AD= BD的上方作正方形BDEF,连接AE,当AE取得 基础训练1.B;2.C;3.10. 4.(1)p=-5,9=6. 最小值时，BD的长为 (2)只+的值为- √AB-BD=3,所以等腰三角形ABC的面积=BC· 3 AD=12 21.3实际问题与一元二次方程（第一课时） 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,所以BE=CQ= 基础训练1.B;2.B;3.12;4.6. tcm,AP=tcm,则PE=(8-2t)cm.在Rt△PQE中，由 5.(1)当x为2元或16元时，平均晦天的盈利为784元 勾股定理可得(8-2t)2+32=52,解得t=2或t=6, (3)不能实现，理由：由题可得(24+2x)(30-x)= 即P,Q两点从出发开始到2或6秒时，点P和点Q间的 900,整理得x2-18.x+90=0.因为4=(-18)2-4× 距离是5cm. 1×90=-36<0,所以原方程无解，所以该销售商的这 种想法不能实现. (2)当P,0两点从出发开始3)瓦或号或第或 图2 3 21.3实际问题与一元二次方程（第二课时） 2.如图2，点A1,A2,A3,…,An在抛物线y= 基础训练1.C;2.C;3.4:4.5. 8+3秒时，点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形 5(1)3 x2的图象上，点B,B2,B,…,Bn在y轴上，若 第2期4版参考答案 △ABB,△A,B,B,,…,△ABB都为等腰 (2)当t=2时，PQ的长度等于10cm 重点集训营 (3)不存在理由如下： 1.A:2.D:3.2:4.19. 直角三角形（点B。是坐标原点），则△AnBn-B 的腰长为 由题意得2(10-2)·4=28，整理得f-5t+7=0, 5.(i)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 所以4=(-5)2-4×1×7=-3<0，所以该方程无解， 将点25,70.（35.0)代入得3+： 1讯妈弯‘电解 所以不存在t的值，使得△PBQ的面积等于28cm 解收三品 茸盏呕斗都阳↓u患‘…‘三熊‘二集用 第2期3版参考答案 所以y与x之间的函数关系式为y=-2x+120. 米平4W杀出‘斗继单三博厚，↓ (2)由题意得(-2x+120)(x-20)=600, 患吊华苦关不学Y单：，三 一、 题号12345678 整理，得x2-80x+1500=0, 厚毙出YW学⊥HVTW'a‘a学⊥陟xT =50 答案D ADBDCBA x1=30,x 因为商场规定这种商品每件售价不得高于40元， Q'V‘1学⊥陟xTV☒‘O马召垂陟 二、9.0；10.-5：11.-4或3；12.1；13.9； 所以x=30, (Tv陟(T)V【些】u乙 14.2. 所以商场要想获得600元的利润，每件商品的售价 三、15.(1)x1=7,x2=1; 应定为30元. 口搏华业‘1=Q门‘出具「售影随 (2)x1=-5,x2=4; 第3期综合评估卷参考答案 IV9嫌图识一钟乙+，（I-IO)乙 (3)x1=-4,x2=1. =,aVX☒‘Q0-乙=aO-Ha-OV=HV 16.x2=5,m=3. -、题号12345678910 17.(1)该校八年级共有10个 业M‘乙=Oa=HQ'☑D=Ha恬‘HaV 答案A DB C D A C D C B 云OIaV1单明张（亚郢部‘H (2)小奉同学所在的班级至少 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 学土OV T Ha3学丹【些群】S1 要取得5场胜利 14.√/34或4；15.4或-2.（下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 数评橘 2025年7月24日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话 第 期总第1148期 人教 0351-5271248 中考(GDY) (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 =、16.X,=-3.1 =1 17.a=2,x1=x2 二次函数是函数大家族中极为重要的成 知识梳理 1 员，它的许多性质在我们实际生活中有着广泛 8.()每轮传播 亚均 台电脑会感染 应用，因此同学们学习时一定要深刻领会二次 次画数来报到 11台电脑. 2)三轮传播后 函数的概念，通过对问题情境的分析确定二次 被感染的电脑共有 函数的表达式，为运用二次函数及其性质解决 ■■ 3456分 四、19.(1)P(0,2) 实际问题打下坚实的基础. ◎广东江雪梅 2)k=-1 ·、二次函数的概念 (3)y=10Tr2: 两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留 20.(1)△ABC是等 腰三角形.理由：略 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常 (4)y=5x3+2x2-5: 一道1m宽的门，设AB的长为xm,两个鸡场的 (2)略. 数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自 (5)y=3(x-1)2+2025; 面积和为S,求S关于x的关系式， (3)x1=0,x2=-1. 变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、 解：由题意可得，矩形的长为(34-3x+ 21.(1)每件商品 的售价为55 价后商场 次项系数和常数项 (6)y=2+4 2)m 2) 售这批商品平均每周盈 注意： 解：(3)(5)是二次函数，(1)(2)(4)(6)不是二 所以S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x 利不可以达到2500元 (1)二次函数的自变量x的最高次数是2； 次函数 +36x 理由：设每件商品的 A 为y元，则每件 (2)特别要注意a≠0这一个条件.若a= 方法指导：识别二次函数的关键是：(1)函 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x( 16 润为(y-40)元 销售 数的关系式是整式；(2)经化简整理后，自变量 3 量为200-10(3 5 0,表达式y=ax2+bx+c中就不含有二次项，它 (700-10y)件，依题 就成了一次函数y=bx+c; 的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零 x<12) 意，得(y-40)(700 二、建立二次函数模型 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以 10y =2500,整理， (3)当b=0,c=0时，y=ax2是特殊的二 ,110y+3050 次函数 解有关二次函数的应用题，与一次函数应下步骤：(1)审清题意，找出实际问题中的已知 0 大为A=(-110) 用题类似，都是寻找等量关系，如总利润=单件量、未知量，并把未知量用字母表示；(2)找出已 ×3050 100 例1 下列函数中，哪些是二次函数？哪些 0.r 以方程无实数根 不是二次函数？ 利润×数量，长方形的面积=长×宽等 知量、未知量之间的数量关系，用代数式表示； 所以涨价后商场销售 例2如图，利用 批商品 平均每周盈利不 (3)找出等量关系，把文字语言、图形语言等用 D 可以达到2500元 (1)y=x+ 面墙（墙的长度为20m), 等式表示，并把等式化为y=ax2+bx+c(a≠ 五、22.(1)①不是 (2)y=(3x-1)2-9x2: 用34m长的篱笆围成 0)的形式 “差1方程”；②是“差 方程 (2)m=0或-2. 二、双图象问题 3)所以t的最大 题型空间 值为9. 例3如图2，抛物线 23.(1)(4a2-200d 次函数图象伴你行 y1=(x+2)2-3与2= +2400) (2)通道的宽为 5米 (-3)+1交于点 (3)当a O山东李 珏 =10 二次函数的图象形象直观地反映了二次函轴右侧，与选项图象不一致，故C选项错误，不 A(1,3),过点A作x轴的平 花圃面积为800 米 花圃面积最少 行线，分别交两条抛物线 为800平方米 数的性质，含有大量的有用信息，是考查数形结符合题意； 根据图象可设 于点B,C,则以下结论： 合思想和获取图象信息能力的好素材： D.由图象可知，一次函数y=mx+n(m≠ kx+b,将点 ①无论x取何值，2总是正数； (1200,48000)代入 一、单图象问题 0,n≠0)中，m<0,n>0,所以对于二次函数y 得1200m=48000,解 ②a=1; 导m =40,所以y1 例1在同一平面直角坐标系中，二次函数=m(x+n)2,由m<0可知，抛物线开口向下； ③当x=0时，y1-y2=4; 40x.将点(800,48000) y=m(x+n)2和一次函数y=mx+n(m≠0， 由n>0可知，-n<0,所以抛物线对称轴在y (1200,62000)代入y2 ④2AB=3AC, n≠0)的图象大致为 轴左侧，与选项图象不一致，故D选项错误，不 其中正确的是 r800k+b=48000, L1200k+b=62000 符合题意 35 所以 故选A 解：①因为抛物线：=之(x-3)2+1开口 =35x+20000.因为 例2二次函数y= 向上，顶点坐标在x轴的上方，所以无论x取何 花圃面积为4a 200a +2400,所以通道面积 a(x+3)2+k的图象如图1 值，y2的值总是正数，故本结论正确； 为2400-(4a 200a 解：A.由图象可知，一次函数y=mx+n(m 所示，已知点A(-1,y), ②把A(1,3)代入抛物线y1=a(x+2)2 +2400) 200a,所以35(4a ≠0，n≠0)中，m<0,n>0,所以对于二次函 B(-2,y2)和C(-6.5,y3) 3,得3=a(1+2)2-3,解得0=号，故本结论 200a+2400)+20000 +40(-4a2+200a) 数y=m(x+n)2,由m<0可知，抛物线开口向 都在该图象上，则y,2 错误； 105920,解得a1=2,a2 下；由n>0可知，-n<0,所以抛物线对称轴在 的大小关系是 ③由②可知，抛物线y1的解析式为y= =48(舍去). 答：通道宽为2米 y轴左侧，与选项图象一致，故A选项正确，符合 A.y3>y1>y2 修 建的通道和花圃 子(x+2)2-3,当x=0时=子x0+2 B.y3>y2>y1 的总造价为105920元 题意； (全文完) B.由图象可知，一次函数y=mx+n(m≠ C.y2>y1>y3 }=分×0-3)+1=2所拟 0,n≠0)中，m>0,n>0,所以对于二次函数y D.y2>y3>y1 =m(x+n)2,由m>0可知，抛物线开口向上； 解：由二次函数y=a(x+3)2+k的图象可 为== 6,故本结论错误； 由n>0可知，-n<0,所以抛物线对称轴在y知对称轴为直线x=-3,根据二次函数图象的 ④因为抛物线y1=a(x+2)2-3与y2= 轴左侧，与选项图象不一致，故B选项错误，不对称性可知，点A(-1,y)与点(-5，y)对称， -(x-3)2+1交于点A(1,3), 符合题意； 点B(-2,y2)与点(-4，y2)对称 所以y1的对称轴为直线x=-2,3的对称 C.由图象可知，一次函数y=mx+n(m≠ 因为点(-5，y),C(-6.5,3)与点(-4， 轴为直线x=3,所以B(-5,3),C(5,3),所以 0,n≠0)中，m>0,n<0,所以对于二次函数yy2)在对称轴的左侧，所以y随x的增大而增大. AB=6,AC=4, =m(x+n)2,由m>0可知，抛物线开口向上； 因为-4>-5>-6.5，所以y2>1>3 所以2AB=3AC,故本结论正确. 由n<0可知，-n>0,所以抛物线对称轴在y 故选C. 故填①④ 素养专练 数理极 A.yI<y2 B.YI>y2 4.把抛物线y=x2先向左平移1个单位长度， 跟踪训练 C.y1≤y2 D.y1≥y2 再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达 4.已知二次函数y=-2x2,当-3<x<1时， 式是 y的取值范围是 5.已知二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3 22.1.1二次函数 5.若点M(-2,a),N(2,b)都在抛物线y= 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 -x2上，则线段MN的长为 屋础训练 6.如图1，各抛物线所对应的函数解析式为： 6.关于x的二次函数y=2(x-1)2+3,当-1 1.二次函数y=(m-1)x2+mx+1中m的 ①y1=ax2;②y2=bx2;③y3=cx2;④y4=dx2,则 <x<2时，函数y的取值范围为 取值范围是 ( a,b,c,d的大小关系为 (用“>”连接). 7.如图2，点A,B的坐标 A.m≠1 B.m=1 分别为(1,4)和(4,4)，抛物线 2 C.m>1 D.m<1 y=a(x-m)2+n的顶点在线 2.二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次 段AB上运动，与x轴交于C,D 项系数、常数项分别为 两点(C在D的左侧)，点C的C 70 A.2,0,-1 B.2,2,-1 横坐标最小值为-3，则点D的 图2 C.2,2,1 D.2,0,1 图1 横坐标的最大值为 3.下列函数中，不是二次函数的是( 7.如图2，大正方形的边长为6，以正方形的 8.在平面直角坐标系中，已知二次函数y= 中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= -2(x-2a)2+3-a(a是实数). A.y=2x2+2x By=-+5+1 3x2与y=-3x2的图象，则图中阴影部分的面积是 (1)当a=3时，若点A(4,b)在该函数图象 C.y=x2-2x+1D.y=x2-x(2+x) 上，求b的值； 4.二次函数y=x2-6x+k的图象经过原点， (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y 则k的值是 能刀提高 2x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？ 5.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交 8.如图3，已知点A(-2,4)在抛物线y= 点为(m,0),则代数式-3m2+3m+2028的值为 ax2(a≠0)上，过点A且平行于x轴的直线交抛物 线于点B. 6.已知函数y=x2-2x,当x=a时，记函数 (1)求a的值和点B的坐标； 值y为f(a),则f(-10) ∫(-1)（填 (2)若点P是抛物线上一点，当以点A,B,P “>”“<”或“=”). 为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐 7.若y=(m+1)xm1+4x-5是关于x的 标 二次函数，则一次函数y=mx+m的图象不经过 第 象限： 8.某工厂计划为一批长方体形状的产品表面 涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m 若长方体的长和宽用x(m)表示 (1)长方体的表面积S(m2)的表达式是什 么？ (2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元， 能刀提高 油漆每个长方体所需费用用y(元)表示，那么y 的表达式是什么？ 9.如图3，点C为二次函数y=(x+1)2的顶 点，直线y=-x+m与该二次函数图象交于 A(-3,4),B两点（点B在y轴上），与二次函数图 象的对称轴交于点D. (1)求m的值及点C坐标； 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点 的图象和性质 Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 堡础训练 若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存 在，请说明理由. 1.二次函数y=(x+2)2-4的顶点坐标是 A.(-2,-4) B.(2,-4) C.（-2,4) D.(2,4) 2.点A(2,y1),B(3,y2)是二次函数y=m(x -1)2+2的图象上两点，且y>2,则m的取值 范围为 ( 22.1.2二次函数y=am2的图象和性质 A.m>0 B.m<0 垦础训练 C.m≠0 D.m≤0 3.函数y=-(x-1)2+3 1.抛物线y=2x2的对称轴是直线() 的图象如图1所示，结合图象 A.y=0B.y=2C.x=1D.x=0 判断，下列结论错误的是 2.若二次函数y=(a-1)x2的图象是一条开 ( 口向下的抛物线，则a的值可能是 ( A.当x=0时，y>0 A.0 B.1 C.2 D.3 B.当x<0时，y<0 图1 3.若点(1，y1),(2,y2)都在二次函数y= C.当x=1时，y取得最大值3 数理报社试题研究中心 ax2(a>0)的图象上，则 D.当x>1时，y随x的增大而减小 (参考答案见下期) 数理报 素养·测评 5 18.(10分)如图5，在正方形ABCD中，已知 步 达 检测题（三 点A,B在抛物线y=2x2上，点C,D在x轴上. 标 (1)求点A的坐标； (2)连接BD,交抛物线于点P,求点P的坐 【检测范围22.1.1-22.1.3】 茶 (满分：120分) 11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +5与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 物线y=了2于点B,C,则BC的长为 题号123 456 78 答案 y(m)个 1.下列函数中是二次函数的是 A.y=8x2+1 B.y=8x-1 c=是 D=+1 D x(m) x 网1 图2 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点 (-1,2),则a的值是 ( 12.已知抛物线y=(x-1)产经过点A(n-2, 19.(12分)如图6，二次函数y=(x+4)2的 A.2 B.-2 D.- ),B(n+行)，若为<2，则n的值可以为 图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. 3.抛物线y=2(x-1)2-3的顶点所在的象 (写出一个符合条件的值即可)· (1)求点A,B的坐标； 限是 ( 13.某圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点 (2)在对称轴上是否存在一点P,使以P,4, A.第一象限 B.第二象限 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.0，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求 C.第三象限 D.第四象限 如图2，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点出点P的坐标；若不存在，请说明理由· 4.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公 C,D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限 司第-个月投放10个拉圾桶，计刘第个月投部分的正数表达式为y=-右（x-5)2+6,则两个 放垃圾桶y个，设该公司第二、三个月投放垃圾桶 水柱的最高点M,N之间的距离为 数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系 式是 ( 14.如图3，已知Rt△ABC的 图6 A.y=1000(1+x)2 顶点坐标为A(1,2),B(2,2), B.y=1000(1-x)2 C(2,1),若抛物线y=ax2(a> C.y=(1-x)2+1000 0)与该直角三角形无交点，则a D.y=x2+1000 的取值范围是 三、耐心解一解（本大题6小 图3 5.抛物线y=3x2和y=-3x2+5共有的特征 是 题，共64分) A.开口向上 B.都有最高点 15.(10分)已知y=(m+2)x+m-4+1是关 于x的二次函数 C.对称轴都是y轴 D.顶点都是原点 20.(12分)如图7，抛物线y=a(x-h)2+ (1)求满足条件的m的值； 6.已知点A(x1y1),B(x2,2)在抛物线y= k(a<0,k>0)的顶点为A,对称轴与x轴交于点 -(x-4)2+m(m是常数)上若名<与<4，则个最低点的坐标 (2)m为何值时，抛物线有最低点？请求出这 C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶 下列大小比较正确的是 点B,D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线 A.y>y2>m B.y2 >y>m 称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正 C.m >y1>y2 D.m y2>y 方形. 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax (1)当抛物线y=ax2+2是“美丽抛物线” +c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为 时，则a= ； 16.(10分)已知抛物线y=a(x-h)2的对称 轴为直线x=-2,且过点(1，-3). (2)当抛物线y=- 2(x-1)2+k是“美丽抛 1 (1)求该抛物线的解析式； 物线”时，则= (2)当x在什么范围内时，y随x的增大而减 (3)若抛物线y=α(x-h)2+k是“美丽抛物 、7 线”，求a,k之间的数量关系. 8.已知平面上一个图形G与图形外一点P(x, y),当x<0时，P'的坐标为(-x,y),当x≥0时， p'的坐标为(-y,x),若点P'在图形G上，则称P 是点P与图形G的联系点.设抛物线C:y=-(x 17.(10分)如图4，已知一次函数y=kx+b的 m)2+2(m为常数)顶点为E,点E关于x轴的对称图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和 点为F,若抛物线上存在点F'是点F与图形C的联B(-2,4). 系点，则所有可能的m的和为 ( (1)求这两个函数的解析式； A.3 B.2C.1 D.0 (2)求△AOB的面积 二、细心填一填（每小题4分，共24分） -o 9.二次函数y=(2x-1)(1-x)化为一般式 为 10.把抛物线y=-(x-2)2-2先向右平移 x+b 2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛 数理报社试题研究中心 物线的解析式为 (参考答案见下期)